人教版八年级数学上册12.3 角的平分线的性质 同步测试（有答案）

人教版八年级数学上册 第12章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 同步测试

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB的距离是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．5
2．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE＝10，BC＝5，则DE等于（　　）

A．10 B．7 C．5 D．4
3．如图，点D为∠AOB的平分线OC上的一点，DE⊥AO于点E．若DE＝4，则D到OB的距离为（　　）

A．5 B．4 C．3.5 D．3
4．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝6cm，则点D到AB的距离为（　　）

A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1cm
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，点D到AB的距离为4，则BC的长是（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16
6．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（　　）

A．12 B．15 C．16 D．18
7．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．24 B．30 C．36 D．42
8．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD＝2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为（　　）

A． B．1 C． D．2
9．如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，BD＝4，则点O到边AC的距离是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．3
10．如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，连接AB，得到以下结论：（1）PA=PB；（2）OA=OB；（3）OP与AB互相垂直平分；（4）OP平分∠APB，正确的个数是（　　）

A．1????????????????????????B．2??????????????????????????C．3????????????????????????D．4
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝40，DE＝4，AC＝12，则AB长是　 　．

12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3cm，则点D到AB边的距离为　 　．

13．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有　 　个．

14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD为的∠BAC角平分线，与BC相交于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是　 　．

15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM⊥AB于M，若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是　 　．

16．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　 　°．

17．如图，△ABC中∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝10，BD＝6，则D到AB的距离为　 　．

18．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为　 　．

三．解答题（共7小题，共66分）
19．求证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
20．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

21．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．

22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．

23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，CD＝3．
（1）求DE的长；
（2）若AC＝6，BC＝8，求△ADB的面积．

24．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，
求证：AD是∠BAC的平分线．

25．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．













参考答案
一．选择题
1．解：如图，作DH⊥AB于H．

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DH（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝4，
∴DH＝4，即点D到AB的距离是4．
故选：A．
2．解：作EF⊥BC于F，
∵S△BCE＝10，
∴×BC×EF＝10，即×5×EF＝10，
解得，EF＝4，
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴DE＝EF＝4，
故选：D．

3．解：如图，作DH⊥OB于H．
∵OC平分∠AOB，DE⊥OA，DH⊥OB，
∴DE＝DH＝4，
故选：B．

4．解：作DE⊥AB于E，
∵BD＝2CD，BC＝6，
∴CD＝2，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，即点D到AB的距离为2cm，
故选：C．

5．解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵D到AB的距离等于4，
∴CD＝DE＝4，
又∵BD＝2CD，
∴BD＝8，
∴BC＝4+8＝12，
故选：C．

6．解：∵点O是三条角平分线的交点，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．
∵△ABO的面积为20，
∴△ACO的面积为15．
故选：B．
7．解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB?DH+BC?CD＝×6×4+×9×4＝30，
故选：B．

8．解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD＝2，
∵PE⊥OB，MN⊥OB，
∴PE∥MN，又M为OP的中点，
∴MN＝PE＝1，即点M到射线OB的距离为1，
故选：B．

9．解：过O作OE⊥AC于E，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，
∴OB＝OE＝OD，
∵BD＝4，
∴OB＝OE＝OD＝2，
∴点O到边AC的距离是2，
故选：C．

10．解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB，故（1）正确；
在Rt△APO和Rt△BPO中，
，
∴Rt△APO≌Rt△BPO（HL），
∴∠APO=∠BPO，OA=OB，故（2）正确，
∴PO平分∠APB，故（4）正确，
OP垂直平分AB，但AB不一定垂直平分OP，故（3）错误，
故选：C．
二．填空题
11．解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝4，
∵S△ABD+S△ADC＝S△ABC，
∴?4?AB+?12?4＝40，
∴AB＝8．
故答案为8．

12．解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝3cm，
∴DE＝3cm．
故答案为3cm．
13．解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，
∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．
故答案为：4
14．解：作DE⊥AB于E，
∵AD为的∠BAC角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，
故答案为：15．

15．解：∵点O是三角形三条角平分线的交点，OM⊥AB于点M，
∴点O到三边的距离等于OM的长，
∵S△ABC＝180，
∴（AB+BC+CA）?OM＝180，
即（AB+BC+CA）×4＝180，
∴AB+BC+CA＝90，
故答案为：90．
16．解：作MN⊥AD于N，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN＝MC，
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝∠DAB＝35°，
故答案为：35

17．解：∵CB＝10，BD＝6，
∴CD＝10﹣6＝4．
∵∠1＝∠2．
所以D点到AC和AB的距离相等．
∵CD表示D点到AC的距离，
∴D到AB的距离为4．
故答案为4．
18．解：作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝EF＝5，即点P到AC的距离为5，
故答案为：5．

三．解答题
19．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，
求证：PE＝PF
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POE＝∠POF，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PEO＝∠PFO，
在△POE和△POF中

∴△POE≌△POF（AAS），
∴PE＝PF．
20．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝×10×3+×8×3＝27．

21．证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．

22．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
23．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，CD＝3，
∴DE＝CD＝3；
（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10．
∵由（1）知，DE＝3，
∴S△ABD＝AB?DE＝×10×3＝15
24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED＝∠CFD，
∴△BDE与△CDF是直角三角形，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∴AD是∠BAC的平分线．
25．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．
∴CF＝EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE．
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．