【备考2020】二轮复习专题七 解三角形(一）学案

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高三专题7之 解三角形（一）
一、基础知识：
1、正弦定理：，其中为外接圆的半径
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
例如：（1）
（2）（恒等式）
（3）
2、余弦定理：
变式：（1）
① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角
当时，，即为锐角；
当（勾股定理）时，，即为直角；
当时，，即为钝角
② 观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出
（2） 此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可
3、三角形面积公式：
（1） （为三角形的底，为对应的高）
（2）
（3） （为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）
（4）海伦公式：
（5）向量方法： （其中为边所构成的向量，方向任意）
证明：
，而

坐标表示：，则
4、三角形内角和（两角可表示另一角）。


5、确定三角形要素的条件：
（1）唯一确定的三角形：
① 已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角
② 已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角
③ 两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边
（2）不唯一确定的三角形
① 已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：
② 已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）
6、解三角形的常用方法：
（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解
（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解
7、三角形的中线定理与角平分线定理
（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则 （知三求一）
证明：在中
①
②
为中点

①②可得：

（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则
证明：过作∥交于

为的角平分线

为等腰三角形
而由可得：

二、典型例题：
例1：（1）的内角所对的边分别为，若，则_____
（2））的内角所对的边分别为，若，则_____
思路：（1）由已知求可联想到使用正弦定理：
代入可解得：。由可得：，所以
答案：
（2）由已知求可联想到使用正弦定理：
代入可解得：，则或，由可得：，所以和均满足条件
答案：或
例2：在中，，若的面积等于，则边长为_________
思路：通过条件可想到利用面积与求出另一条边，再利用余弦定理求出 即可
解：



答案：


例3：已知分别为三个内角的对边，且有
（1）求
（2）若，且的面积为，求
（1）思路：从等式入手，观察每一项关于齐次，考虑利用正弦定理边化角：，所涉及式子与关联较大，从而考虑换掉，展开化简后即可求出
解：



即
或（舍）

（2）思路：由（1）可得，再由，可想到利用面积与关于的余弦定理可列出的两个方程，解出即可
解：

可解得
例4：如图，在中，是边上的点，且，则的值为___________
思路：求的值考虑把放入到三角形中，可选的三角形有 和，在中，已知条件有两边，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在中，三边比例已知，进而可求出，再利用补角关系求出，从而中已知两边一角，可解出
解：由可设则

在中，

在中，由正弦定理可得：
例5：已知中，分别是角所对边的边长，若的面积为，且，则等于___________
思路：由已知可联想到余弦定理关于的内容，而，所以可以得到一个关于的式子，进而求出
解：
而 代入可得：



答案：
例6：在 中，内角所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .
思路：已知求可以联想到余弦定理，但要解出的值，所以寻找解出的条件，，而代入可得，再由可得 ，所以
答案：
例7：设的内角所对边的长分别为，若，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
思路：由可得：，从而，解得，从可联想到余弦定理：，所以有，从而再由可得，所以的值为
答案：C
例8：设的内角所对边的长分别为，且，则（ ）
A. B. C. D. 或
思路：由的结构可以联想到余弦定理：，可以此为突破口，即，代入解得：，进而求出，得到比例代入余弦定理可计算出
解：由可得：，


代入到
可得：




例9：已知的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
思路：不妨考虑，将三个边设为，则，想到正弦定理，再将利用余弦定理用边表示，列方程解出，从而求出
解：设，则

代入可得：
，解得：


答案：A
例10：在中，为边上一点，，若的面积为，则_________
思路：要求出，可在中求解，通过观察条件，可从可解，解出，进而求出，再在中解出，从而三边齐备，利用余弦定理可求出
解：




同理




答案：


























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