一元一次方程每日一练（三）
1. 一客车以60千米/时的速度从甲地出发驶向乙地，经过45分钟后，一辆小汽车以每小时比客车快10千米的速度从乙地出发驶向甲地．若两车刚好在甲、乙两地的中点相遇，求甲、乙两地的距离．
2. 从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路．如果骑自行车保持平路每小时行15 km，上坡路每小时行10 km，下坡路每小时行18 km，那么从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟．则从甲地到乙地的路程是多少？
3. 甲、乙两个城市之间的城际铁路将于2016年8月1日开通运营，预计高速列车在甲市、乙市间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由甲市到乙市的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由乙市返回甲市的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由乙市返回甲市比去时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由甲市到乙市的平均速度是每小时多少千米？
4. 某校“春之声”广播室小记者谭艳同学为了及时报道学校参加全市中学生篮球比赛情况，从领队韦老师那里了解到校队共参加了16场比赛，积分28分．按规定赢一场得2分，输一场得1分．可是小谭忘记了输赢各多少场了，请你根据上面提供的信息分别求出输、赢各多少场．
5. 小王去新华书店买书，书店规定花20元办优惠卡后购书可享受八五折优惠．小王办卡后购买了一些书，购书优惠后的价格加上办卡费用比这些书的原价还少了10元钱，问小王购买这些书的原价是多少元？
6．某玩具厂要生产500个芭比娃娃，此生产任务由甲、乙、丙三台机器承担，甲机器每小时生产12个，乙、丙两台机器的每小时生产个数之比为4：5．若甲、乙、丙三台机器同时生产，刚好在10小时25分钟完成任务．
（1）求乙、丙两台机器每小时各生产多少个？
（2）由于某种原因，三台机器只能按一定次序循环交替生产，且每台机器在每个循环中只能生产1小时，即每个循环需要3小时．
①若生产次序为甲、乙、丙，则最后一个芭比娃娃由 机器生产完成，整个生产过程共需 小时；
②若想使完成生产任务的时间最少，直接写出三台机器的生产次序及完成生产任务的最少时间．
7．寒假将至，某班家委会组织学生到北京旅游，现联系了一家旅社，这家旅行杜报价为4000元/人，但根据具体报名情况推出了优惠举措：
人数 10人及以下（含10人） 超过10人不超过20人的部分 超过20人的部分
收费标准 原价（不优惠） 3500元/人 3000元/人
（1）如果一开始参加旅游的人数为13人，则预计总费用为 元：
（2）在（1）问前提下，后来又有部分同学要求参加，设这分同学加入后总共参与旅游的人数为x人，若总人数x还是不超过20人，则总费用为 元；若总人数x超过了20人，则总费用为 元；（结果均用含x的代数式表示）
（3）若最后家委会支付给旅行社人均费用为原价的九折，问共有多少人参加了本次旅游？
8．以下是两张不同类型火车的车票：（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：
（1）根据车票中的信息填空：两车行驶方向 ，出发时刻 （填“相同”或“不同”）；
（2）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离；
（3）在（2）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km？
【参考答案】
1. 甲、乙两地的距离为630千米．
2. 从甲地到乙地的路程为千米．
3. 从甲市到乙市的平均速度为每小时200千米．
4. 赢了12场，输了4场．
5. 小王购买这些书的原价是200元．
6．解：（1）设乙机器每小时生产4x个，则丙机器每小时生产5x个，10小时25分钟＝小时．依题意得：
（12+4x+5x）＝500
解得：x＝4，
乙机器每小时生产4x＝16个，
丙机器每小时生产5x＝20个，
答：乙机器每小时生产16个，丙机器每小时生产20个，
（2）500÷（12+16+20）＝10……20，
按甲、乙、丙次序交替生产循环10次，共10×3＝30小时，最后20个先由甲生产1小时12个，余下8个由乙生产8÷16＝0.5小时，
∴整个生产过程共需30+1+0.5＝31.5小时，
故答案为：乙；31.5
（3）使完成生产任务的时间最少，按丙、乙、甲次序交替生产循环，生产循环10次，共10×3＝30小时，最后20个由丙生产1小时即可，共需30+1＝31小时．
答：使完成生产任务的时间最少，按丙、乙、甲次序交替生产循环共需31小时．
7．解：（1）根据题意得，4000×10+3500×（13﹣10）＝50500（元），
故答案为：50500；
（2）根据题意得，
①若总人数x还是不超过20人，则总费用为：
4000×10+3500（x﹣10）＝3500x+5000（元）；
②若总人数x超过了20人，则总费用为：
4000×10+3500×（20﹣10）+3000（x﹣20）＝3000x+15000（元），
故答案为：（3500x+5000）；（3000x+15000）．
（3）4000×90%＝3600，显然x＞10，
①当人数不超过20人时，有
3500X+5000＝3600x，
解得x＝50＞20（不合题意，舍去）；
②当人数超过20人时，有
3000x+15000＝3600x，
解得，x＝25（人），
答：本次共有25人参加．
8．解：（1）车票中的信息即可看到两张票都是从A地到B地，所以方向相同；
两车出发时间分别是20：00与21：00，所以出发时刻不同；
故答案为相同，不同．
（2）设A，B两地之间的距离为s，根据题意可得
﹣1＝
解得s＝600
答：A，B两地之间的距离为600km．
（3）设在高铁出发t小时后两车相距100km，分追及前与追及后两种情况
①200（t+1）﹣300t＝100 解得 t＝1；
②300t﹣200（t+1）＝100 解得t＝3
但是在（2）的条件下，600÷300＝2
即高铁仅需2小时可到达B地，所以第②种情况不符合实际，应该舍去．
答：在（2）的条件下，在高铁出发1h时两车相距100km．
行程问题（习题）
? 巩固练习
1. 小明每天要在8:00前赶到学校上学．一天，小明以70米/分的速度出发去上学，11分钟后，小明的爸爸发现儿子忘了带数学作业，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且与小明同时到达学校．请问小明家距学校有多远的距离？
s v t
小明
爸爸
2. 一个邮递员骑自行车要在规定时间内把特快专递送到某单位．他如果每小时行15千米，可以早到10分钟；如果每小时行12千米，就会迟到10分钟，则规定的时间是多少小时？他行驶的路程是多少千米？
3. 家住郑州的李明和家住开封的好友张华分别沿郑开大道匀速赶往对方家中．已知两人在上午8:00时同时出发，到上午8:40时，两人还相距12 km，到上午9:00时，两人正好相遇．求两家之间的距离．
4. 小明和小刚从两地同时相向而行，两地相距2 km，小明每小时走7 km，小刚每小时走6 km，如果小明带一只狗和他同时出发，狗以每小时10 km的速度向小刚方向跑去，遇到小刚后又立即回头跑向小明，遇到小明后又立即回头跑向小刚，这样往返直到二人相遇．
（1）两个人经过多少小时相遇？
（2）这只狗共跑了多少千米？
5. 一队学生去校外进行训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，则通讯员追上学生队伍时行进了多少千米？通讯员用了多长时间？（用两种不同的方法）
6. 一列火车匀速行驶经过一条隧道、从车头进入隧道到车尾离开隧道共需45 s，而整列火车在隧道内的时间为33 s，且火车的长度为180 m，求隧道的长度和火车的速度．
7. 甲、乙两人在与铁路平行的马路上背向而行，甲骑车每小时行驶36千米，乙步行每小时走3.6千米，一列火车匀速向甲驶来，列车在甲旁开过用了10秒钟，而在乙旁开过用了21秒钟，则这列火车的长是多少米？
8. 丢番图（Diophantus）是古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家．丢番图是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜．你知道他的寿命有多长吗？他的墓上有以下文字，记载了他的一生：他的童年占一生的，接着是少年时期，又过了的时光，他找到了终生伴侣．5年之后，婚姻之神赐给他一个儿子，可是儿子命运不济，只活到父亲寿数的一半，就匆匆离去．这对他是一个沉重的打击，后来4年，丢番图因为失去爱子而伤悲，终于告别数学，离开了人世．请你根据以上文字记载，算一算丢番图的寿命．
9．列一元一次方程解应用题：
“民生在勤，勤则不匮”，劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．热爱劳动是中华民族的优秀传统，绵延至今．倡议大家“热爱劳动，从我做起”．（摘自2019年全国高考作文材料）
参加社会实践劳动，不仅可以学到很多在课堂上学不到的东西，也可以把课堂上学到的理论知识同社会实践联系起来，加深对课堂学习内容的理解，我市某校六年级学生在农场进行社会实践劳动时，采摘了黄瓜和茄子共80千克，了解到这些蔬菜的种植成本共180元，还了解到如下信息：
黄瓜的种植成本是2元/千克，售价是3元千克；
茄子的种植成本是2.4元/千克，售价是4元/千克．
（1）求采摘的黄瓜和茄子各多少千克？
（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？
10．某学校打算假期组织老师外出旅游，初步统计，参加旅游的人数约在30～60人左右．该校联系了两家报价均为1200元的旅行社，甲旅行社的优惠措施是30人以内（包括30人）全额收费，超出部分每人打六折；乙旅行社的优惠措施是每人打九折，若人数在30人（包括30人）以上，还可免去两个人的费用．
（1）该校选择哪一家旅行社合算？
（2）若该校最终确定参加旅游的人数为48人，学校可给每位参加旅游的教师补贴200元，则参加旅游的教师每人至少要花多少钱？
【参考答案】
? 巩固练习
1. 1 260米
2. 规定时间是小时，行驶的路程为20千米
3. 36 km
4. （1）小时 （2）千米
5. 通讯员追上学生队伍时行进了千米，通讯员用了小时
6. 隧道的长度为1170米，火车的速度是30m/s.
7. 这列火车的长是210米.
8. 丢番图的寿命是84岁
9．解：（1）设采摘黄瓜x千克，则采摘茄子（80﹣x）千克，
依题意，得：2x+2.4（80﹣x）＝180，
解得：x＝30，
∴80﹣x＝50．
答：采摘黄瓜30千克，茄子50千克．
（2）（3﹣2）×30+（4﹣2.4）×50＝110（元）．
答：这些采摘的黄瓜和茄子可赚110元．
10．解：（1）设参加旅游的人数为x人（30＜x＜60），甲旅行社费用为y1元，乙旅行社费用为y2元，得：
y1＝1200×30+1200×0.6（x﹣30）＝720x+14400
y2＝1200×0.9（x﹣2）＝1080x﹣2160
当y1＝y2时，720x+14400＝1080x﹣2160
解得：x＝46
当y1＞y2时，720x+14400＞1080x﹣2160
解得：x＜46
当y1＜y2时，720x+14400＜1080x﹣2160
解得：x＞46
答：当旅游人数小于46人时，选乙旅行社；人数为46人时，两家旅行社费用一样；人数大于46人时，选甲旅行社．
（2）由（1）得，人数为48人时选甲旅行社费用更低．
∴（720×48+14400﹣200×48）÷48＝820（元）
答：参加旅游的教师每人至少要花820元．
行程问题（讲义）
? 课前预习
1. 小学我们已经学过行程问题，那么行程问题中的基本关系是
_________=________×________．
2. 已知小明家离学校2千米，一天小明在下午5:00放学之后开始步行回家，同时爸爸骑自行车从家出发去接小明，已知小明步行的速度是60米/分钟，爸爸骑自行车的速度是140米/分钟，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？设小明爸爸从家出发x分钟后接到小明，分别用含x的代数式表达小明和爸爸所走的路程．
3. 上题中的等量关系是：
_______________+_____________=从家到学校的距离．
可列方程为：_________________________．
? 知识点睛
行程问题：
①理解题意，找关键词，即________、________、________；
②分析运动过程，通常采用____________或____________的方法来进行；
③梳理信息，列表，提取数据，列表时要按照运动状态或者运动过程进行分类；
④根据等量关系列方程．
? 精讲精练
1. 一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合．1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？
s v t
1号队员
其他队员
2. 启明中学举行了一次路程为60千米的远足活动，八年级学生步行，七年级学生乘一辆汽车，两个年级的学生同地出发，这辆汽车开到目的地后，再回头接八年级的学生．若八年级学生的速度为5千米/时，比汽车提前一小时出发，汽车的速度为60千米/时，问八年级学生出发后经过多长时间与回头接他们的汽车相遇？
s v t
汽车（七年级）
步行（八年级）
3. 王力骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36 km，到中午12时，两人又相距36 km．求A，B两地间的路程．
s v t
相遇前
相遇后
4. 汽车上坡时每小时走28千米，下坡时每小时走35千米，去时下坡路程比上坡路程的2倍少14千米，原路返回比去时多用12分钟，则去时上、下坡路程各多少千米？
s v t
去时上坡
去时下坡
返回上坡
返回下坡
5. 某人在上午8时从甲地出发到乙地，按计划在中午12时到达．在上午10时汽车发生故障而停车修理15分钟，修好后司机为了能及时赶到，把每小时的车速又提高了8千米前进，结果在11时55分提前到达乙地，求汽车原来的速度．
6. 一列火车匀速行驶，经过一条长300 m的隧道需要20 s的时间；隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10 s．根据以上数据，你能否求出火车的长度？
7. 甲、乙两人分别后，沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，火车在甲身旁开过，用了15秒，然后在乙身旁开过，用了17秒．已知两人的步行速度都是3.6千米/时，请计算这列火车的长度．
8. 铁路旁的一条平行小路上有一行人和一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6 km/h，骑车人速度为10.8 km/h，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了22秒，通过骑车人用了26秒，问这列火车的车长和火车的速度．
【参考答案】
? 课前预习
1. 路程 速度 时间
2. 140x 60x
3. 爸爸所走路程 小明所走路程
? 知识点睛
1 路程 速度 时间
2 示意图 线段图
? 精讲精练
1.
s v t
1号队员 45t 45 t
其他员 35t 35 t
解：设经过了t小时，根据题意得
45t +35t=10×2
解得
答：1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了小时．
2.
s v t
汽车 60(x-1) 60 x-1
八年级 5x 5 x
解：设八年级出发后经过x小时与回头接他们的汽车相遇，
根据题意得
5x+60(x-1)=2×60
解得
答：八年级学生出发后经过小时与回头接他们的汽车
相遇．
3.
s v t
相遇前 10-8
相遇后 12-8
解：设A，B两地间的路程为x km，根据题意得
=
解得
答：A，B两地间的路程为108 km．
4. 上坡42千米，下坡70千米
5. 40 km/h
6. 火车长为300米．
7. 火车长为255米．
8. 火车长为286米，车速为14 m/s．
行程问题（随堂测试）
1. 暑假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发直奔目的地，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．
（1）若两人同时出发，小张车速为20千米/时，小李车速为
15千米/时，经过多少小时小张能够追上小李？
（2）若小李的车速为10千米/时，小张提前20分钟出发，两
人商定小李出发后半小时二人相遇，则小张的车速应为多少？
2．A、B两地相距240千米，一辆公交车从A地出发，以每小时48千米的速度驶向B地；一辆小轿从B地出发，以每小时72千米的速度沿同条道路驶向A地．若小轿车从B地出发1小时后，公交车从A地出发，两车相向而行，求公交车出发后几小时两车相遇？
3．小明每天要在8：00之前赶到距家1500m的学校上学．一天，小明以1.0m/s的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以1.5m/s的速度去追小明，并且在途中追上了他．
（1）爸爸几分钟后追上小明？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
4．跑的快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
5．挖一条长2020m的水渠，由甲、乙两个施工队从两头相向施工，甲队每天挖130m，乙队每天挖90m，甲队先挖两天，剩下的由两队共同完成，完成这项工程共需多少天？
6．汽车从甲地到乙地，若每小时行使45千米，则要比原计划延误半小时到达；若每小时行驶50千米，则就可以比原计划提前半小时到达．
请你根据以上信息，就汽车行驶的“路程”或“时间”提出一个用一元一次方程解决的问题，并写出解答过程．
（1）问题： ；
（2）解答：
【参考答案】
1. （1）经过2小时小张能够追上小李；
（2）小张的车速应为18千米/时．
2．解：设公交车出发后x小时两车相遇，根据题意得
48x+72（x+1）＝240，
解得x＝1.4．
答：公交车出发后1.4小时两车相遇．
3．解：（1）可设爸爸追上小明用了xmin，
根据题意得：
（1.5×60﹣1×60）x＝1×60×5，
解得x＝10．
答：爸爸追上小明用了10min；
（2）1500﹣1.5×60×10＝1500﹣900＝600（m）．
答：追上小明时，距离学校还有600m远．
4．解：设快马x天可以追上慢马，
据题题意：240x＝150x+12×150，
解得：x＝20．
答：快马20天可以追上慢马
5．解：设完成这项工程共需x天，则乙队工作了（x﹣2）天．
根据题意得：130x+90（x﹣2）＝2020．
解得：x＝10．
答：完成这项工程共需10天．
6．解：（1）问题：求汽车从甲地到乙地的路程；
故答案为：求汽车从甲地到乙地的路程；
（2）设汽车从甲地到乙地的路程为xkm，
则﹣＝+，
解得：x＝450，
答：汽车从甲地到乙地的路程为450km．
