几何体与展开图（习题）
? 例题示范
例：已知一不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个数字，如图是我们能看到的三种情况，那么2，3，4的对面数字分别是_______，_______，_______.
思路分析
正方体六个面中，每一个面和四个面相邻，和一个面相对．
从图中出现次数最多的面找起，先找出和它相邻的面，进而确定和它相对的面．具体操作如下：
所以，剩余的“4”和“5”是相对面．
? 巩固练习
1. 将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的几何体是（ ）
A． B． C． D．
2. 下列立体图形中，有五个面的是（ ）
A．四棱锥 B．五棱锥 C．四棱柱 D．五棱柱
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．棱柱的各条棱都相等
C．正方体的各条棱都相等
D．六个大小一样的正方形所拼成的图形是正方体的表面展
开图
4. 如图是正方体的表面展开图，每一个面标有一个汉字，则与“和”相对的面上的字是（ ）
A．构 B．建 C．社 D．会
第4题图 第5题图 第6题图
5. 一个正方体的每个面上都写着一个汉字，其表面展开图如图所示，那么在该正方体中，与“享”相对的面上的字是（ ）
A．众 B．视 C．在 D．频
6. 一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个数，并且相对两个面上所写的两个数之和都相等，那么（ ）A．a=3，b=5 B．a=5，b=7
C．a=3，b=7 D．a=5，b=6
7. 如图，下列四个图形折叠后，能得到如图所示正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
8. 骰子是一种特殊的数字立方体，它符合规则：相对两面的点数之和总是7，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（ ）
A． B． C． D．
9. 快速旋转一枚竖立的硬币（假定旋转轴在原地不动），旋转形成的几何体是____________.
10. 正方体有_________个顶点，经过每个顶点有________条棱．
11. 长方体有_________个顶点，有_________条棱，有________
个面，这些面的形状都是___________.
12. （1）三棱锥有________条棱，十棱柱有________条棱；
（2）__________棱锥有30条棱，_______棱柱有60条棱；
（3）一个棱锥的棱数是10，则这个棱锥的面数是_________．
13. 表面展开图如图所示的几何体是______________．
第13题图 第14题图
14. 若要使得图中表面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为10，则xyz=_________．
15. 一个正方体六个面上分别写着1，2，3，4，5，6，从三个不同角度看正方体如图所示，请判断：1对面的数字是______，2对面的数字是______，3对面的数字是______．
16. 一个正方体的六个面分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，从三个不同角度看正方体如图所示，那么标有数字2的面的对面数字是______．
? 思考小结
1. 图形都是由______、_______、_______组成，而我们在研究一个几何体的过程中，往往是按照_______、______、______的顺序来进行的．
2. 如图是一个直角三角形，现将它绕直线l旋转，则旋转后可以得到一个圆锥的是图___________．
3. 将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，你剪开了_____条棱，你是怎样思考的？
4. 一个正方体的六个面上写着六个连续的整数，且相对面上的两个数之和相等，如图所示，你能看到的数为7，10，11，则六个整数的和为（ ）
A．51 B．52
C．57 D．58
【参考答案】
? 例题示范
1，6，5
? 巩固练习
1. D
2. A
3. C
4. D
5. D
6. C
7. A
8. C
9. 球体
10. 8，3
11. 8，12，6，长方形
12. （1）6，30；（2）十五，二十；（3）6
13. 三棱柱
14. 56
15. 5，4，6
16. 5
? 思考小结
1. 点，线，面；面，棱，顶点
2. ①②
3. 7，正方体表面展开图中有六个面，被5条棱连着，正方体共12条棱，5条连接各面，因此剪开的棱有7条．
4. C
几何体与展开图（讲义）
? 课前预习
1. 在生活中，我们经常见到正方体的盒子．请你找到一个正方体盒子，尝试进行下列操作：
①将正方体盒子相对的面上画上相同的图案并沿某些棱剪开，展成一个平面图形．请画出你展开后的图形，并在小正方形上画上相应的图案．
②观察展开图中画有相同图案的小正方形，发现画有相同图案的小正方形都_________（填“相邻”或“不相邻” ）．
2. 生活中我们经常见到圆柱或圆锥形的盒子，请你找到一个圆柱或圆锥形的盒子，并把它们进行表面展开，请分别画出你展开后的图形．
? 知识点睛
1. 几何体可分为四类：_______、_______、_______、_______.棱柱与圆柱的异同：
相同点：都有_____个底面．
不同点：
①底面不同：棱柱的底面是_______，圆柱的底面是________；
②侧面不同：棱柱的侧面是_______，圆柱的侧面是_______；
③棱不同：棱柱有棱，圆柱无棱；
④顶点不同：棱柱有顶点，圆柱无顶点．
棱柱与棱锥的区别：
①底面不同：棱柱有_____个底面，棱锥有______个底面；
②侧面不同：棱柱的侧面都是______，棱锥的侧面都是_____．
2. n棱柱有_______个面________条棱_______个顶点．
n棱锥有_______个面________条棱_______个顶点．
3. 图形是由_______、_______、_______构成的，面与面相交得到_______，线与线相交得到_______．点动成_______，线动成_______，面动成_______．
4. 正方体的十一种表面展开图．
? 精讲精练
1. 将下列几何体分类.
①正方体 ②圆柱 ③长方体
④球 ⑤圆锥 ⑥三棱锥
（1）柱体是_________________；
（2）锥体是_________________；
（3）只有曲面围成的几何体是__________________.
2. 在乒乓球、篮球、足球、羽毛球、排球、保龄球、橄榄球、冰球中，是球体的有________________________________.
3. 圆锥是由_____个面围成，其中_____个平面，_____个曲面.
4. 图中的几何体有_____个面，面面相交成_____线．
5. 六棱柱有______个顶点，______个面；七棱锥有_____个顶点，
_____个面．
6. ______棱锥有20条棱；______棱柱有48条棱；______棱柱有8个面；______棱锥有10个面．
7. 流星划过天空，形成了一道美丽的弧线，这说明了________
_____________；汽车的雨刷刷过玻璃时，形成了一个扇形，这说明了______________；薄薄的硬币在桌面上转动时，看上去像球，这说明了___________________．
8. 把一块学生用的三角板以一条直角边为轴旋转一周形成的几何体是_______________.
9. 如图，上排的平面图形绕轴旋转一周，可以得到下排的几何体，那么与甲、乙、丙、丁各平面图形顺序对应的几何体的编号应为（ ）
① ② ③ ④
A．③④①② B．①②③④ C．③②④① D．④③②①
10. 圆柱的侧面是___________，侧面展开图是_____________.
11. 圆锥的侧面是___________，侧面展开图是_____________.
12. 直棱柱的侧面展开图是__________.
13. 指出下列平面图形是什么几何体的表面展开图．
①______________； ②_____________； ③_____________；
④______________； ⑤_____________．
14. 下列图形是正方体的表面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
15. 下列各图经过折叠后不能围成正方体的是（ ）
A． B． C． D．
16. 从如图的纸板上11个无阴影的正方形中选1个（将其余10个都剪去），与图中5个有阴影的正方形折成一个正方体，不同的选法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
17. 图中表面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x=____________，y=____________.
18. 图中表面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和相同，则“众”代表的数字是______，“享”代表的数字是______.
19. 小丽制作了一个如下图所示的正方体礼品盒，其相对面的图案都相同，那么这个正方体的表面展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
20. 下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体纸盒的是（ ）
A． B．
C． D．
21. 将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
22. 一个小立方块的六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，如图是从三个不同方向看到的情形，请说出A，B，E对面分别是_________，_________，_________.
23. 已知一不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个数字，如图是我们能看到的三种情况，那么1和5的对面数字分别是_________和_________．
24. 如果正方体的六个面上分别标有：团、结、就、是、力、量．从三个不同的方向看到的情形如下，那么团、结、力对面的字分别是（ ）
A．量，就，是
B．就，是，量
C．量，是，就
D．就，量，是
【参考答案】
? 课前预习
1. ①略；
②不相邻．
2. 略
? 知识点睛
1. 柱体、锥体、球体、台体．
2
①多边形，圆；
②平面，曲面．
1 2，1；
2 长方形，三角形．
2. (n+2)，3n，2n．
(n+1)，2n ，(n+1)．
3. 点、线、面，线，点．线，面，体．
4. 略
? 精讲精练
1. （1）①②③；（2）⑤⑥；（3）④
2. 乒乓球、篮球、足球、排球、保龄球
3. 2 1 1
4. 3 曲
5. 12 8 8 8
6. 十 十六 六 九
7. 点动成线 线动成面 面动成体
8. 圆锥
9. A
10. 曲面 长方形
11. 曲面 扇形
12. 长方形
13. 四棱柱 圆锥 圆柱 四棱锥 三棱锥
14. B
15. D
16. B
17. 5 3
18. 8 7
19. A
20. B
21. C
22. C D F
23. 3 4
24. B
几何体与展开图（随堂测试）
1. 如图是正方体的表面展开图的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2. 填空：
（1）三棱锥有_______条棱，四棱柱有_______条棱，十棱锥
有_________条棱；
（2）__________棱柱有10个面，七棱柱有_________条棱；
（3）若一个棱柱的顶点数是12，则这个棱柱的面数是______．
3. 若要使得图中表面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为5，则x+y=_________．
4．如图是一个用硬纸板制作的长方体包盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12cm．
（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
（2）若1平方米硬纸板价格为5元，则制作10个这的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）
5．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答
（1）如果A面在长方体的底部，那么 面会在上面；
（2）求这个长方体的表面积和体积．
6．一张长方形的硬纸片，长为8厘米，宽为6厘米．如果在四个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形，可把这张硬纸片折成一个无盖的盒子，求这个盒子的体积．
7．给出两个等边三角形纸片如图，要求用其中一个剪成底面是等边三角形的三棱锥，另一个剪成上下底面是等边三角形的直三棱柱．请你设计适合剪拼的方法（假设拼的时候没有边缘损耗）．分别在图上用虚线画出来．
8．从如图所示的13个无字的正方形中，留下2个，将其余11个无字的正方形剪去，使这两个正方形与4个写有“勤”、“思”、“善”、“学”的正方形一起，折叠后能围成一个正方体．
9．求出图中所示的正三棱柱展开图的面积（结果保留根号）
10．如图所示的正方体的棱长为2，我们知道正方体的表面展开图共有11种，请你至少画出其中的3种，并求出它们的面积．
11．小刚在纸上画了一个长方体的展开图，展开图由长方形和正方形构成，淘气的小明在图上又添加了一个四边形，并把这7个面任意标上了①～⑦的序号（如图）．
（1）请找出小明添加的四边形，它的序号是 ．
（2）若每个长方形的宽为2cm，长比宽多acm，请求出折成长方体的表面积；
（3）若折成的长方体表面积是68cm2，求a的值．
12．（1）一个无盖的正方体纸盒，沿某些棱剪开可以展成如图①所示的平面图形．你还能得到哪些不同的平面图形？请将它们表示出来（至少3种）
（2）在4×4的方格硬纸片中，取适当相连的5个小正方形，可以折叠成无盖的正方体纸盒（以纸片中的每一个小方格为一个面）．图②最多可以剪折成几个这样的正方体纸盒？请画出它们的示意图．
13．如图所示是一张裁剪好的铁皮，利用这张铁皮可以折叠成一个立体图形．
（1）写出这个立体图形的名称，并画出草图，在草图上标出各部分的长度．
（2）计算这个立体图形的体积．
【参考答案】
1. B
2. （1）6，12，20；（2）八，21；（3）8
3. 5
4．解：（1）由题意得，2×（12×6+12×6+6×6）＝360cm2；
答：制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板；
（2）360÷10000×5×10＝1.8元，
答：制作10个这的包装盒需花费1.8元钱．
5．解：（1）如图所示，A与F是对面，所以如果A面在长方体的底部，那么 F面会在上面；
故答案是：F；
（2）这个长方体的表面积是：2×（1×3+1×2+2×3）＝22（米2）．
这个长方体的体积是：1×2×3＝6（米3）．
6．解：由题意可知：长方体盒子的体积为：2（8﹣2×2）（6﹣2×2）＝16cm2．
7．解：如图所示，过正三角形的三边的中点就能剪成底面是等边三角形的三棱锥，
正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角．
8．解：如图所示，答案不唯一．
9．解：3×（×）÷2×2+3×5×3
＝9×2+15×3
＝18+45．
故正三棱柱展开图的面积为18+45．
10．解：如图所示：
2×2×6＝24．
答：它们的面积都是24．
11．解：（1）小明添加的四边形，它的序号是④或⑦．
（2）2（a+2）×4+2×2×2＝8a+24（cm2）；
2（a+2）×4+2（a+2）2＝2a2+16a+24（cm2）．
答：折成长方体的表面积（8a+24）cm2或（2a2+16a+24）cm2；
（3）依题意有：
12（a+2）＝68，
解得a＝．
故a的值为．
故答案为：④或⑦．
12．解：（1）如图所示：
（2）最多可以剪折成3个，如图②所示：
13．解：（1）长方体，如下图所示：
（2）长方体的体积为：3×2×1＝6（m3）．
