中点及角平分线（习题）
? 巩固练习
1. 已知线段AB=2 cm，延长AB到C，使BC=2AB，若点D为AB的中点，则线段CD的长为_________．
2. 已知点C为线段AB的中点，点D为线段BC的中点，若AB=10 cm，则线段AD的长是_________．
3. 已知：如图，线段AB的中点是C，BC的中点是D，AD的中点是E，若AB=24 cm，则AE=_______．
4. 已知两根木条分别长60 cm，100 cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间的距离是______cm．
5. 如图，B，O，C在同一条直线上，OE平分∠AOB，OD平分
∠AOC，则∠EOD=_______．
6. 若点C在线段AB上，则下列等式：①AB；②AC=CB；③AB=2AC；④AC+CB=AB，其中能说明点C是线段AB中点的是_________________（填序号）．
7. 点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8. 如图，点D为∠BAC内一点，则下列等式：
①
②；
③；
④．
其中能说明射线AD是∠BAC平分线的有________（填序号）．
9. 已知：如图，线段BC=6 cm，点C是线段AB的中点，求AC的长．
10. 如图，点C，D是线段AB上两点，点D是AC的中点，若BC=6 cm，BD=10 cm，求AB的长．
11. 已知：如图，线段AD=8 cm，线段BC=4 cm，点E，F分别是AB，CD的中点，求EF的长．
12. 已知：如图，∠AOB=68°，OC平分∠AOB，求∠BOC的度数．
13. 已知：如图，∠AOE=140°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠COD=30°，求∠AOB的度数．
14. 如图，AB，CO相交于点O，∠AOC=90°，∠BOD=30°，ON平分∠COD，OM平分∠AOD，求∠MON的度数．
? 思考小结
1. 如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是____________________________________________________
___________________________________________________．
（1）已知∠AOC=30°，求∠AOB，则表示方法为：________
______________________．
（2）已知∠AOB=60°，求∠BOC，则表示方法为：________
_________________________．
2. 按要求回答问题：
（1）请借助一副三角板进行拼摆，画出一个75°的角．
（2）借助这副三角板，你还能做出哪些角？
答：_____________________________________．
这些角有什么共同特征？
答：_____________________________________．
【参考答案】
? 巩固练习
1. 5 cm
2. 7.5 cm
3. 9 cm
4. 80或20
5. 90°
6. ①②③
7. D
8. ①③
9. 6 cm
10. 14 cm
11. 6 cm
12. 34°
13. 40°
14. 45°
? 思考小结
1. ∠AOC=∠BOC，∠BOC=∠AOC
∠AOC=∠AOB，∠BOC=∠AOB
∠AOB=2∠AOC，∠AOB=2∠BOC
（1）∠AOB=2∠AOC
（2）∠BOC=∠AOB
2. （1）略
（2）15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，
135°，150°，165°
它们都是15°的倍数
中点及角平分线（讲义）
? 知识点睛
1. 线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________．
2. 如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是____________________________________________________
___________________________________________________．
3. 从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个相等的角，这条_______叫做这个角的平分线．
4. 如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是___________________________________________________
__________________________________________________．
? 精讲精练
1. 已知：如图，线段AB=10 cm，点C是线段AB的中点，求AC的长．
2. 已知：如图，点C是线段AB的中点，AC=4 cm，求AB的长．
3. 已知：如图，线段AB=10 cm，AD=6 cm，点C是线段AD的中点，求BC的长．
4. 如图，线段AB=4，点O是线段AB上一点，点C，D分别是线段OA，OB的中点，求CD的长．
5. 已知：如图，∠AOB=70°，OC平分∠AOB，求∠AOC的度数．
6. 如图，已知OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，且∠COD=25°，求∠AOB的度数．
7. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=50°，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数．
8. 如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）通过计算说明OE是否平分∠BOC．
【参考答案】
? 知识点睛
1. 中点
2. AC=BC，BC=AC
，
AB=2AC，AB=2BC
3. 射线，射线
4. ∠AOC=∠BOC，∠BOC=∠AOC，
∠AOC=∠AOB，∠BOC=∠AOB
∠AOB=2∠AOC，∠AOB=2∠BOC
? 精讲精练
1. 5 cm
2. 8 cm
3. 7 cm
4. 2
5. 35°
6. 100°
7. 45°
8. （1）155°；（2）平分，理由略
中点及角平分线（随堂测试）
1. 已知线段AB=10 cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，求线段CD的长．
2. 已知：如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
3．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．
4．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．
5．如图，已知CD是△ABC的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周长之差是多少？
6．如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？
7．如图，△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．
8．已知BD是△ABC的中线，AC长为5cm，△ABD比△BDC的周长多2cm，AB长为15cm，求BC的长和△ABC的周长．
9．如图，AD、AE、AF分别是△ABC的中线、角平分线和高，请你指出图中相等的角及相等的线段．
10．如图所示的三个△ABC中的∠ABC有什么不同？这三个△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？
11．如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．
（1）在△BOC中，OB边上的高是 ，OC边上的高是 ，BC边上的高是 ．
（2）在△AOC中，OA边上的高是 ，OC边上的高是 ，AC边上的高是 ．
（3）在△AOB中，OA边上的高是 ，OB边上的高是 ，AB边上的高是 ．
【参考答案】
1. 2.5 cm
2. 45°
3．解：由题意画图可得：
4．解：如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E．∵ BC?AE＝AC?BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，
∴×4AE＝×8×3，
则AE＝6．
5．解：
∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝BD，
∵△ACD周长＝AC+CD+AD，△BCD周长＝BC+CD+BD，
∴△ACD周长﹣△BCD周长＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）＝AC﹣BC＝9﹣3＝6（cm），
即△ACD和△BCD的周长之差是6cm．
6．解：AD⊥AE，理由如下：
∵AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，
∴∠DAE＝∠DAC+∠EAC
＝∠BAC+∠CAF
＝（∠BAC+∠CAF）
＝×180°＝90°，
∴AD⊥AE．
7．解：设AC＝x，则AB＝2x，
∵BD是中线，
∴AD＝DC＝x，
由题意得，2x+x＝30，
解得，x＝12，
则AC＝12，AB＝24，
BC＝20﹣×12＝14．
答：AB＝24，BC＝14．
8．解：如图所示：
∵BD是△ABC的中线，AC长为5cm，
∴AD＝DC＝2.5cm，
∵△ABD比△BDC的周长多2cm，
∴AB比BC多2cm，
∵AB长为15cm，
∴BC＝13cm，
∴△ABC的周长为：15+13+5＝33（cm）．
答：BC的长为13cm，△ABC的周长为：33cm．
9．解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAE＝∠CAE，
AF是△ABC的和高，∠AFB＝∠AFC＝90°，
∴图中相等的角：∠BAE＝∠CAE，∠AFB＝∠AFC，
相等的线段：BD＝DC．
10．解：图（1）中的∠ABC是锐角，图（2）中的∠ABC是直角，图（3）中的∠ABC是钝角；
图（1）中△ABC的边BC上的高AD在三角形的内部，图（2）中△ABC的边BC上的高AD在三角形的边上，图（3）中△ABC的边BC上的高AD在三角形的外部；
规律：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
11．解：（1）由图可得，在△BOC中，OB边上的高是CE，OC边上的高是BF，BC边上的高是OD．（2）由图可得，在△AOC中，OA边上的高是CD，OC边上的高是AF，AC边上的高是OE．
（3）由图可得，在△AOB中，OA边上的高是BD，OB边上的高是AE，AB边上的高是OF．
故答案为：CE，BF，OD；CD，AF，OE；BD，AE，OF．
