§1.3.2利用导数研究函数的极值（一）教学设计
教学目标如下：
1、知识技能目标：
(1)结合函数图象，理解函数极值的概念
(2)了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
(3)会用导数求函数的极值及极值点
2、过程方法目标：
结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系．
引入、剖析、定义函数极值的过程，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动研究函数的极值与导数的关系，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感态度、价值观目标：
（1）感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识．
（2）提高学生的学习能力，养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质，树立学科学，爱科学，用科学的精神。
教学过程：
【创设情境 提出问题】
苏轼在《题西林壁》中这样写道“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描写的是庐山的高低起伏，错落有致的美景．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点……．那么，在数学上是否也有这种类似现象？
【合作探究 分析问题】
探究点一 y
问题1：已知函数， P
观察并分析P、Q两点处的函数值与其附近各函数值 Q
的大小有什么特点 ？ 0
X
一、概括新知
1、极值的定义：
已知函数，设是定义域内任一点，如果对 的所有点，
都有 ，则称函数在点处取 。记作： 。
并称为函数的一个 。
如果对_____的所有点，都有 ，则称函数在点处取 。
记作： 。并称为函数的一个 。
(设计意图：1、部分学生对数学不感兴趣，甚至害怕学数学。为调动学生学习数学的积极性，我由山峰、山谷的实例，引入极大值、极小值、极值、极值点等概念，非常直观，与生活融合起来，从学生的生活实践和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学，不再枯燥。2、 我在这里借助一个函数图像，把生活和数学联系起来，培养学生建模思想和数形结合的能力。）
试一试： 在图①找出该函数极大值点和极小值点。
问题2：小组探讨（1）极值点一定是最值点吗？ (2)函数的极小值一定小于极大值吗？
（3)函数定义域的区间端点可以是极值点吗？
y
① ② x
（设计意图：在这里通过两个函数图象使学生更加明确了极值的概念，极值和极值点的区别、极大值和极小值之间没有必然的大小关系、极值和最值间的区别和联系。）
【精讲点拨，概括质疑】
例1、下面4个命题，其中是真命题序号为
①函数的极大值就是最大值；
②函数的极值点可以多个；
③函数的极小值一定小于极大值。
（设极小值、极大值都存在）；
④函数定义域的区间端点可以是极值点。
（设计意图:巩固新课概念，检验学习效果）
探究点二 如何利用导数研究函数的极值
问题3、函数极值点处的导数值是多少？ 如上图②所示
在函数的极值点处的切线与轴 ，即极值点处切线的斜率，
极值点处的导数
问题4、函数极值点附近左右两侧的导数值符号有何规律？
2、可导函数在点取得极值的条件：
一般地，当函数在点处有定义，且
如果在点的左侧 _______，右侧_______，那么是函数的极大值
如果在点的左侧 _______，右侧_______，那么是函数的极小值
（设计意图:逐层探究，观察归纳出可导函数在点取得极值的条件）
例2、 求函数 的极值
（设计意图:1、这是教材中给出的例题，本例题概括了这一节课的求极值的方法步骤。而且多项式函数的求导、符号判断问题相对简单，教材里安排这个例题是十分恰当的。学生刚刚学过的知识在这里得到了应用，而且操作起来也没有困难，给学生的学习以很大的信心。2、学生上台板演，学生纠错。3、同时利用QQ实时上传下面学生做题情况，资源共享，曝光问题、分析问题、解决问题。）
3、求可导函数极值的步骤：
（1）____________；（2） ；（3）_______________
（4）_______________
变式练习:求函数 的极值.
（设计意图:熟练求极值的步骤，起到巩固知识的作用）
探究点三：导数为0的点与极值点的关系
问题5、可导函数在极值点处的导数为0，反过来，导数为0的点一定是极值点吗？
（设计意图:举例分析，辨析难点）
例3、函数， 在极值 时有极值 -2，求 的值。
（设计意图:学生们在课堂上自己来探讨得出结论，锻炼了他们的逆向思维能力。使学生对本节课所学知识有了更深的理解和更灵活的应用 。进一步掌握导数为0的点与极值点的关系）
【反馈训练，解决问题】
1、下列结论中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值
C．在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极小值
D．在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极大值
函数有( ）
A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3
求函数的极值点
4、设， 函数，是函数的极值点．
求的值。
(设计意图:四个问题涵盖本节重点难点，检验学生掌握情况）
【课堂小结】
课外思维拓展:
函数f(x) 的定义域为开区间 (a，b)，导函数 f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，
则函数f(x) 在开区间 (a，b) 内有极小值点的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(设计意图:课后拓展，思维外延,）
本节课结束语：同学们在这里我想用一段话作为这节课的结束语送给大家。
数学家高斯说过：给我最大快乐的不是已懂得的知识，
而是继续不断的学习；
不是已达到的高度，
而是继续不断地攀登！
人生就是一次次攀登的过程，有时顺利，有时曲折；有时在山峰，有时在山谷。但是，
同学们请记住：年轻就是力量，自信化作动力，越努力就越幸运！愿你们在人生的每个阶段都能把握住进步、前进的机会，顺利登上属于自己的巅峰，绽放属于自己的精彩！
（设计意图：结束语与本节课一开始的实际情景引入相呼应，又紧扣本节极大极小值的主题。旨在教育学生、鼓励学生：学习的过程重在不断进取，无论成绩高低，都要竭尽全力：多与自己的过去比较，突破过去，争取更大的进步，登上属于自己的小巅峰，绽放属于自己的精彩！）
课件23张PPT。 《利用导数研究函数的极值》第一课时
高中数学
高中二年级选修2-2
人民教育出版社B版
苏轼在《题西林壁》这样写到：“横看成岭侧成峰，
远近高低各不同”
描写的是庐山的高低起伏，错落有致的美景．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点……
那么，在数学上是否也有这种类似现象？探究点一 极值概念的引入
问题1：观察分析P、Q两点函数值与其附近各函数值的大小关系构建模型 合作探究 新知概括一：函数的极值定义 （1）如果对X0附近的所有点X，都有f(x) 并把X0称为函数f(x)的一个极大植点。函数的极大值与极小值统称为极值.
极大值点与极小值点统称为极值点. 已知函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，yyxx00X0X0
问题2：
(1)极值点一定是最值点吗？
(2) 函数的极小值一定小于极大值吗？
(3) 函数定义域的区间端点可以是极值点吗？试一试： 在图①找出该函数极值点。注意：极值是一个局部概念,反映了函数值
在某一点附近的大小情况;函数的极值点一定
在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
例1、 判断下面4个命题，其中是真命题序号为( )
①函数的极大值就是最大值；
②函数的极值点可以多个；
③函数的极小值一定小于极大值。
（设极小值、极大值都存在）；
④函数定义的区间端点可以是极值点。
精讲点拨 概括质疑探究点二 如何利用导数研究函数极值 问题3： y=f(x)在极值点的导数值是多少？
问题4: 在极值点附近左右两侧，y=f(x)的导数
的符号有什么规律？若x0满足 1. f/(x0) = 0. 2.在x0 的两侧导数异号
则x0 是 f(x) 的极值点 , f(x0)是极值 ①若 f /(x) 在x0两侧满足“左正右负”, 则x0 是 f (x) 的极大值点, f(x0) 是极大值;新知概括 二： 取得极值的条件则 x0 是 f (x) 的极小值点, f(x0) 是极小值.②若 f /(x) 在 x0 两侧满足“左负右正”,增增减减极大值极小值新知概括 二： 取得极值条件 精讲点拨 概括质疑 例2、 求函数 的极值. 解: ∵ f?(x)=x2-4, 由 =0 解得 x1=-2,x2=2.∴ 当x=2时,y极大 = , 当 x 变化时, 、 f(x) 的变化情况如下表：当x=-2时, y极小 = 。 求函数y=f(x)的极值的步骤 (1)如果在根x0附近的左侧 f /(x)>0
右侧f /(x)<0 ,那么f(x0)是极大值;
(2)如果在根x0附近的左侧 f/(x)<0
右侧 f/(x)>0 , 那么f(x0)是极小值.
2.解方程 f/ (x)=0 的所有实数根 1.求导数 f/ (x) 3.列表4.结论练习:求函数 的极值.解:令 =0,解得x1=-1,x2=1.当x 变化时 , 与 y 的变化情况如下表: 因此,当x=1时有极大值, y极大值=3;
当x=-1时有极小值, y极小值=- 3. 如图所示 函数 f(x)= x3
f?(x) = 3x2 令 ，
得x =0
但x =0不是该函数的极值点.探究点三:导数为0的点与极值点的关系 问题5：导数值为0的点一定是函数的极值点吗?结论：函数的导数为0的点,
不一定是该函数的极值点.
但是极值点处的导数一定为0例三.已知函数
在 x=1 处有极值为 -2, 求 a、 b 的值.
精讲点拨 逆向挑战函数 f(x) 的定义域为开区间 (a，b)，
导函数 f ′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，
则函数 f (x) 在开区间 (a，b) 内有
极小值点的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4思维拓展题课堂小结：1.极值的定义 3.求极值的步骤:1).求导数 2).解方程 f/(x)=0.
3).列表 4).结论
（1） f / (x0)=0 (2)在x0 两侧导数异号 2.可导函数 y=f(x) 在x0 处有极值的条件：
给我最大快乐的
不是已懂得的知识，
而是不断的学习；
不是已达到的高度，
而是继续不断的攀登！
——数学家高斯
评测练习
1、下列结论中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值
C．在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极小值
D．在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极大值
函数有( ）
A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3
求函数的极值点
4、设，函数，是函数的极值点．
求的值。
