高中数学人教A版考点练习（必修一）：二次函数的解析式与图象性质

二次函数的解析式与图象性质
一、二次函数的解析式
1. 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．





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2．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．


3．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4 cm，最低点C在x轴上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，则右轮廓线DFE所在的二次函数的解析式为(　　)

A．y＝(x＋3)2 B．y＝－(x－3)2
C．y＝－(x＋3)2 D．y＝(x－3)2


4. 对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）．
A．是的零点 B．1是的极值点
C．3是的极值 D. 点在曲线上




二、二次函数的图象与性质
1. 若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是(　　)
A．－4 B．4
C．－2 D．2


2．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1A．f(x1)B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定


3. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③


4．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，且实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]


5. 设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)

6. （1）函数与的图象可能是（ ）



（2）在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是


7. 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　)
A．0 B．m
C．2m D．4m


8. 已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　　)
A．a>c>b>d B．a>b>c>d


9. 设函数f(x)＝若存在实数b，使得函数y＝f(x)－bx恰有2个零点，则实数a的取值范围为_______．


10. 设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.


11. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)的图象经过点A(m1，f(m1))和点B(m2，f(m2))，f(1)＝0.若a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，则(　　)
A．b≥0 B．b<0
C．3a＋c≤0 D．3a－c<0


12. 设函数f(x)＝2ax2＋2bx，若存在实数x0∈(0，t)，使得对任意不为零的实数a，b，均有f(x0)＝a＋b成立，则t的取值范围是________．



13. 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：
①?x∈R，f(x)<0或g(x)<0；
②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.
则m的取值范围是________．



三、值域问题
1. 函数f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是(　　)
A．[－20,4] B．(－20,4)
C. D.


2. 若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．


3. 若对任意a∈[－1,1]，函数F(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
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4. 已知函数，设，若关于x的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.



参考答案
二次函数的解析式与图象性质
一、二次函数的解析式
1. [解]　法一：用“一般式”解题设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：用“顶点式”解题
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝＝，
∴m＝.
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：用“零点式”解题
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

2． 解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16，f(2)＝4a＋c＝4，解得a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.
答案：f(x)＝x2

3．解析：选D　由题图可知，对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4 cm，最低点C在x轴上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，所以点C的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C(－3,0)，因为点F与点C关于y轴对称，所以F(3,0)，因为点F是右轮廓线DFE所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y＝a(x－3)2(a>0)，将点D(1,1)代入得，a＝，即y＝(x－3)2.

4. 解析 观察四个选项会发现B,C这两个选项是“配套”的，所以以此为切入点，假设B,C正确，即为的顶点.由于抛物线开口向下时，D肯定错；抛物线开口向上时，A肯定错. 由此说明A与D中必有一个错误.假设A正确，
则有，与条件为整数矛盾，说明A错误. 故选A.


二、二次函数的图象与性质
1. 解析：选C　∵二次函数的图象的顶点在x轴上，∴Δ＝16＋8t＝0，可得t＝－2.

2． 解析：选A　f(x)的对称轴为x＝－1，因为1若x1<－1，x2≥－1，则|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a>0(1此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；
若－1≤x1－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)
3. 解析：选B　∵二次函数的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a，
又函数图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a
4．解析：选D　二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.

5. 解析：选A　∵f(1)＝3，∴不等式f(x)>f(1)，即f(x)>3.
∴或解得x>3或－3[来源:Z。xx。k.Com]
6. C D

7. 解析：选B　∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．
当m为偶数时，i＝2×＝m；
当m为奇数时，i＝2×＋1＝m.故选B.

8. 解析：选D　f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.

9. 解析：显然x＝0是y＝f(x)－bx的一个零点；
当x≠0时，令y＝f(x)－bx＝0得b＝，
令g(x)＝＝则b＝g(x)存在唯一一个解．[来源:Zxxk.Com]
当a<0时，作出函数g(x)的图象，如图所示，

显然当a当a>0时，作出函数g(x)的图象，如图所示，

若要使b＝g(x)存在唯一一个解，则a>a2，即0同理，当a＝0时，显然b＝g(x)有零解或两解，不符合题意．
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．
答案：(－∞，0)∪(0,1)

10. 答案：　[解析] 本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用问题，考查数形结合和转化化归的数学思想．令y1＝x－1，y2＝x2－ax－1，则函数y1＝x－1，y2＝x2－ax－1都过定点P.考查函数y1＝x－1，令y＝0，得M，同时只有a－1>0即a>1时才有可能满足x∈时，y1·y2≥0；
考查函数y2＝x2－ax－1，显然只有过点M时才能满足x∈时，y1·y2≥0，代入得：2－－1＝0，可得2＋a－1＝0,2a2－3a＝0解得a＝或a＝0，舍去a＝0，得答案：a＝.


11. 解析：选A　由f(1)＝0可得a＋b＋c＝0，若a≤0，由a>b>c，得a＋b＋c<0，这与a＋b＋c＝0矛盾，故a>0，若c≥0，则有b>0，a>0，此时a＋b＋c>0，这与a＋b＋c＝0矛盾；所以c<0成立，因为a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，所以(a＋f(m1))(a＋f(m2))＝0，所以m1，m2是方程f(x)＝－a的两个根，Δ＝b2－4a(a＋c)＝b(b＋4a)＝b(3a－c)≥0，而a>0，c<0，所以3a－c>0，所以b≥0.

12. 解析：因为存在实数x0∈(0，t)，使得对任意不为零的实数a，b，均有f(x0)＝a＋b成立，
所以2ax2＋2bx＝a＋b等价于(2x－1)b＝(1－2x2)a.
当x＝时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x≠；
当x≠时，(2x－1)b＝(1－2x2)a等价于＝，
设2x－1＝k，因为x≠，所以k≠0，则x＝，
则＝＝. 设g(k)＝，
则函数g(k)在(－1,0)，(0,2t－1)上的值域为R.
又因为g(k)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以g(k)在(－1，0)，(0,2t－1)上单调递减，
故当k∈(－1,0)时，g(k)当k∈(0,2t－1)时，g(k)>g(2t－1)＝，故要使值域为R，则g(2t－1)1.
答案：(1，＋∞)

13. 答案 (－4，－2)　[解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能．
满足条件①时，由g(x)＝2x－2<0，可得x<1，要使?x∈R，f(x)<0或g(x)<0，必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0恒成立，
当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m<0，要满足条件，必须使方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，即可得m∈(－4,0)．
满足条件②时，因为x∈(－∞，－4)时，g(x)<0，所以要使?x∈(－∞，－4)时，f(x)g(x)<0，只要?x0∈(－∞，－4)时，使f(x0)>0即可，只要使－4比2m，－m－3中较小的一个大即可，当m∈(－1,0)时，2m>－m－3，只要－4>－m－3，解得m>1与m∈(－1,0)的交集为空集；
当m＝－1时，两根为－2；－2>－4，不符合；当m∈(－4，－1)时，2m<－m－3，所以只要－4>2m，
所以m∈(－4，－2)．
综上可知m∈(－4，－2)．

三、值域问题
1. 解析：选C　由函数f(x)＝－2x2＋6x可知，二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，当－2≤x<时，函数f(x)单调递增，当≤x≤2时，函数f(x)单调递减，∴f(x)max＝f＝－2×＋6×＝，又f(－2)＝－8－12＝－20，f(2)＝－8＋12＝4，∴函数f(x)的值域为.

2. 解析：由已知得?

答案：a>0，ac＝4
3. 解析：选B　由题意，令f(a)＝F(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，对任意a∈[－1,1]恒成立，所以解得x<1或x>3.
4. 解析 解法一：易知，由不等式，得， 即，只需要计算在上的最大值和在上的最小值即可，
当时，（当时取等号），
（当时取等号），[来源:学.科.网]
所以；
当时，（当时取等号），
（当时取等号），
所以.
综上所述，得．故选A．
解法二：分别作出函数和的图像，如图所示.
若对于任意，恒成立，则满足且恒成立，即，又，当且仅当时，即时取等号，所以.
且，则，即.
综上所述，的取值范围为.故选A.