高中数学人教A版考点练习（必修一）：二次函数动轴定区间与定轴动区间问题

二次函数动轴定区间与定轴动区间问题
一、单调性
1. 如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围为(　　)
A．[8，＋∞) B．(－∞，8]
C．[4，＋∞) D．[－4，＋∞)


2. 二次函数y＝3x2＋2(m－1)x＋n在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m＝________.


3. 若函数f(x)＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－1,0) B．[－1,0)
C．(－∞，－1] D．[－1,0]


二、动轴定区间
1. 若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关


2. 求函数在区间上的最小值．






3. 已知二次函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．






4. 已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.
(1)求f(x)的表达式；
(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(－1)，求实数k的取值范围．


[来源:学科网ZXXK]


[来源:学科网ZXXK]

5. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．







6. 函数．
（1）当时，恒成立，求得取值范围；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；







三、定轴动区间
1. 若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为(　　)
A．[－3,3] B．[－1,3]
C．{－3,3} D．{－1，－3,3}


2. 已知a是实数，记函数f(x)＝x2－2x＋2在[a，a＋1]上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．
[来源:学*科*网]

四、综合
1. 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．


2. 若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a>0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．



参考答案
二次函数动轴定区间与定轴动区间问题
一、单调性
1. 解析：选A　函数f(x)图象的对称轴方程为x＝，由题意得≥4，解得a≥8.

2. 解析：二次函数y＝3x2＋2(m－1)x＋n的图象的开口向上，对称轴为直线x＝－，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x＝－＝1，解得m＝－2.
答案：－2

3. 解析：选D　当m＝0时，f(x)＝－2x＋3在R上递减，符合题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x＝≤－1，且m<0，
解得－1≤m<0，
综上，实数m的取值范围为[－1,0]．

二、动轴定区间
1. 解析：选B　f(x)＝2－＋b，
当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，
f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，
∴M－m＝max与a有关，与b无关；
②当－<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，
∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；
③当－>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．
综上所述，M－m与a有关，但与b无关．

2. 【答案】因为，所以的图像是开口向上的抛物线，对称轴是直线．
如图：

当即时，函数在上是增函数，
所以时，；
当时，函数在上先单调递减，在单调递增，
所以，即；
当时，即时函数在上时减函数，
所以时，．
综上所述，当时，函数的最小值为；
当，函数单的最小值为；
当时，函数的最小值为．

3. 解：(1)当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.
①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]内，
∴f(x)在上递减，在上递增．
∴f(x)min＝f＝－＝－.
②当>1，即0∴f(x)在[0,1]上递减．
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
(2)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，
∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上递减．
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝

4. 解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，[来源:Z§xx§k.Com]
设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，
由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，
根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋，
∴|x1－x2|＝＝ ＝2，
解得a＝1，
∴f(x)＝x2＋2x.
(2)由题意得函数g(x)在区间[－1,2]上单调递增，
又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.
∴g(x)的对称轴方程为x＝，
则≤－1，即k≤0，故k的取值范围为(－∞，0]．

5. 解：f(x)＝2－－a＋3，令f(x)在[－2,2]上的最小值为g(a)．
(1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，
∴a≤.
又a>4，∴a不存在．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
g(a)＝f＝－－a＋3≥0，[来源:学科网]
∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4，
∴－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.
又a<－4，∴－7≤a<－4.
综上可知，a的取值范围为[－7,2]．

6. 【答案】恒成立，即恒成立．
只需，即∴．
（2）
当即时，由∴．
当即时，得，∴．
当，即时，，
由得∴．综上得．

三、定轴动区间
1. 解析：选C　∵函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的图象的对称轴为直线x＝1，f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，∴当a≥1时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3；
当a<1故a的取值集合为{－3,3}．故选C.

2. 解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[a，a＋1]，a∈R，对称轴为x＝1.

当a＋1<1，即a<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为减函数，所以最小值为f(a＋1)＝a2＋1；
当a≤1≤a＋1，即0≤a≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当a>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为增函数，所以最小值为f(a)＝a2－2a＋2.
综上可知，g(a)＝

四、综合
1. 略
2. 解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1]关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，即f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(t－1)－f(t)＝－2at＋a－20≥8，两式相加，得a≥8，所以实数a的最小值为8.
答案：8