1.2 函数概念及其表示 学案

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1.2　函数及其表示
1.函数的有关概念
函数的概念 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法 y＝f(x)，x∈A
定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域[来源:Z#xx#k.Com]
值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域
2.区间的概念及表示
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a温馨提示：在应用区间表示集合时要注意区间端点是否可以取到.
3.函数相等
(1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.
4.函数的表示方法

温馨提示：(1)不是所有的函数都能用解析法表示；(2)函数的三种表示法各有优缺点，在使用时要根据具体情况合理选用.



类型一　函数概念的理解
【例1】 (1)给定的下列四个式子中能确定y是x的函数的是(　　)
①x2－y2＝1；　②|x－1|＋＝0；　③y＝|x|＋1，x∈R；　④y＝＋.
A.① B.②
C.③ D.④
(2)下列图象中表示函数图象的是(　　)

解析　(1)①中对x＝时，有y＝±1与之对应，不表示函数.
②中x＝1时，有y＝±1与之对应，不表示函数.
③中对任意x∈R，有唯一的y值对应，表示函数.
④中，找不到x使根式有意义，不表示函数.
(2)在四个曲线中，只有C中每一个x值有唯一的y值与之对应.
答案　(1)C　(2)C
【训练1】 (1)下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是(　　)
A.x＝y2＋1 B.y＝2x2＋1
C.x－2y＝6 D.x＝
(2)下列函数中与函数y＝x相等的是________(填序号).
①y＝()2；②y＝；③y＝；④y＝.
解析　(1)选项A中由x＝y2＋1，得y＝±，当x≥1时，任意一个x对应两个y值，不是函数.其余三个都可以表示为函数y＝f(x).[来源:学科网]
(2)①y＝()2＝x(x≥0)，与函数y＝x的定义域不同，所以两函数不相等.
②y＝＝x(x∈R)，与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同且定义域也都相同，所以两函数相等.
③y＝＝|x|＝它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同，所以两函数不相等.
④y＝的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x(x∈R)的定义域不相同，所以两函数不相等.
答案　(1)A　(2)②
类型二　求函数的定义域
【例2】 (1)函数y＝的定义域是________.
(2)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A. B.(－2，＋∞)
C.∪ D.
解析　(1)要使原函数有意义，需且仅需3－2x－x2≥0.结合二次函数图象解得－3≤x≤1.故函数定义域为[－3，1].
(2)要使函数式有意义，必有x－≠0且x＋2>0，解得x>－2且x≠.
答案　(1)[－3，1]　(2)C
【训练2】 (1)函数y＝·的定义域是________；
(2)函数y＝(x－1)0＋的定义域是________.
解析　(1)函数有意义，当且仅当
解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.
(2)函数有意义，当且仅当
解得x>－1，且x≠1.
所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}.
答案　(1){x|1≤x≤3}　(2){x|x>－1，且x≠1}
类型三　求函数值和值域
【例3】 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)、g(2)的值；
(2)求f[g(2)]的值；
(3)求f(x)、g(x)的值域.
解　(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)f[g(2)]＝f(6)＝＝.
(3)f(x)＝＝＝1－.
易知f(x)的定义域为{x|x≠－1}，且≠0，∴f(x)≠1，所以函数f(x)的值域是(－∞，1)∪(1，＋∞).
g(x)＝x2＋2的定义域是R，最小值为2，所以值域是[2，＋∞).
【训练3】 求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝；
(5)y＝x－；(6)y＝x＋.
解　(1)(观察法)因为x2≥0，所以2＋x2≥2，则0<≤.所以函数的值域为.
(2)(配方法)∵x2＋x＋1＝＋≥，
∴y≥，∴值域为.
(3)(分离常数法)∵y＝＝＝5＋，且≠0，
∴y≠5，∴函数的值域是{y|y≠5}.
(4)(分离常数法)y＝＝＝－＋，
因为≠0，所以y≠－，所以函数y＝的值域为.
(5)(换元法)令u＝(u≥0)，则x＝－u2＋，
∴y＝－u2－u＋＝－(u＋1)2＋1，
由图象可知，当u≥0时，y≤，
∴函数的值域为.
(6)令＝t(t≥0)，则x＝.
∵y＝＋t＝－(t－1)2＋1≤1，
∴值域为(－∞，1].
类型四　求函数的解析式
【例四】 求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋1)＝x2＋x＋1，求f(x)；
(2)若二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(2)＝f(－2)，且方程f(x)＝0的一个根为1.求函数f(x)的解析式.
解　(1)(法一　换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
(法二　配凑法)f(x＋1)＝x2＋x＋1＝x2＋2x＋1－x－1＋1＝(x＋1)2－(x＋1)＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)∵f(x)＝x2＋bx＋c，且f(2)＝f(－2)，
∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称.
因此－＝0，则b＝0.
又f(x)＝0的一个根为1，∴f(1)＝1＋c＝0，∴c＝－1.
故函数f(x)＝x2－1.
【训练4】.已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数y＝f(x)的解析式.
解　∵f(0)＝c＝0，∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)
＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
又f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1，
∴?∴f(x)＝x2＋x.

课时同步练习
1.　已知函数f(x－1)＝2x2－1，则f(0)＝(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.3
解析　令x－1＝0，则x＝1，所以f(0)＝2×12－1＝1.
答案　C
2.函数y＝的定义域是(　　)
A.{x|x≠0} B.{x|x>0}
C.{x|x<0} D.以上都不正确
解析　要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x，所以x<0.所以函数的定义域为{x|x<0}.
答案　C
3.下列函数完全相同的是(　　)
A.f(x)＝|x|，g(x)＝()2
B.f(s)＝2s＋1，g(t)＝2t＋1
C.f(x)＝|x|，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x＋4
解析　A、C、D中的两函数定义域均不同，选项B的定义域和对应关系分别相同.
答案　B
4.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为(　　)
x 1 2 3
f(x) 2 3 0[来源:学+科+网Z+X+X+K]

A.3 B.2 C.1 D.0
解析　由函数y＝g(x)的图象知g(2)＝1，根据y＝f(x)的对应表格知f(1)＝2，因此f(g(2))＝f(1)＝2.
答案　B
5.若二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可能为(　　)
A.f(x)＝x2－1 B.f(x)＝－(x－1)2＋1
C.f(x)＝(x－1)2＋1 D.f(x)＝(x－1)2－1
解析　设f(x)＝(x－1)2＋c，由于点(0，0)在图象上，所以f(0)＝(0－1)2＋c＝0，所以c＝－1，所以f(x)＝(x－1)2－1.
答案　D
6.若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，则f(2)＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　令x＝2，得2f(2)＋f＝；令x＝，得2f＋f(2)＝.消去f，得f(2)＝.
答案　A
7.已知f(x)是一次函数，且其图象过点A(－2，0)，B(1，5)两点，则f(x)＝________.
解析　据题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，又图象过点A(－2，0)，B(1，5).所以解得a＝，b＝.所以f(x)＝x＋.
答案　x＋
8.已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数y＝f(x)的解析式.
解　∵f(0)＝c＝0，∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)
＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
又f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1，
∴?∴f(x)＝x2＋x.




9.已知函数f(x)＝2x＋3，则f[f(－2)]＋f(3)＝________.
解析　因为f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，f(3)＝2×3＋3＝9，f(－1)＝2×(－1)＋3＝1，所以f[f(－2)]＋f(3)＝f(－1)＋f(3)＝1＋9＝10.
答案　10
10.如果函数f：A→B，其中A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为________.
解析　由题意知，对a∈A，|a|∈B，故函数值域为{1，2，3，4}.
答案　{1，2，3，4}
11.已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.
解　(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)有意义，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
12.已知函数y＝(1解　y＝＝·＝.
∵1因此≤y<1，故函数的值域为.
13.已知函数f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3).若g[f(x)]＝x2＋x＋1，求a的值.
解　∵f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，
∴g[f(x)]＝[(2x＋a)2＋3]＝[(4x2＋4ax＋a2)＋3]＝x2＋ax＋(a2＋3).又g[f(x)]＝x2＋x＋1，
比较系数有解得a＝1.
14.已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.
解析　令2x＋1＝t，则x＝.将x＝代入f(2x＋1)＝3x＋2得f(t)＝3·＋2＝t＋.∴f(a)＝a＋.又f(a)＝4，∴a＋＝4，∴a＝.
答案　
15.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，则函数f(x)的解析式为________.
解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则由3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9得3[a(x＋1)＋b]－(ax＋b)＝2x＋9，即2ax＋3＋2b＝2x＋9，比较对应项系数得解得所以f(x)＝x＋3.
答案　f(x)＝x＋3

16.若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则m的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.(2，4] C.[2，4] D.(0，4)
解析　由题意知，函数的对称轴方程为x＝2.当x＝2时，y＝－8；当x＝0时，y＝－4，根据二次函数的对称性可知，当x＝4时，y＝－4，故m的取值范围是[2，4].
答案　C
17.若f(x)＝ax2－，a为正常数，且f[f()]＝－，则a＝________.
解析　∵f()＝a·()2－＝2a－，
∴f[f()]＝a·(2a－)2－＝－，
∴a·(2a－)2＝0.又∵a为正常数，
∴2a－＝0，∴a＝.
答案　
18.已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是(　　)
A.f(x)＝x＋ B.f(x)＝－2x＋
C.f(x)＝－x＋ D.f(x)＝－x＋
解析　因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①
所以把①中的x换成－x得
f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1.②
由①②解得f(x)＝－x＋.
答案　C

19.已知函数f(x)的定义域为[4，9]，则函数F(x)＝f(x＋1)－2f(x－1)的定义域为______.
解析　∵f(x)的定义域是[4，9]，∴要使F(x)有意义，
当且仅当
解之得5≤x≤8.故函数F(x)的定义域为[5，8].
答案　[5，8]


20.已知函数y＝(a<0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围.
解　要使函数y＝(a<0且a为常数)有意义，
则需x＋1≥0，a<0，
∴x≤－a，即函数的定义域为(－∞，－a]，
∵函数在区间(－∞，1]上有意义

21.画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域.

解　 f(x)＝－(x－1)2＋4的图象，如图所示：
(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(1)>f(0)>f(3).
(2)由图象可以看出，当x1函数f(x)的函数值随着x的增大而增大，
所以f(x1)(3)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，则函数f(x)的值域为(－∞，4].
22.设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式.
解　因为对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1).
又f(0)＝1，
所以f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.





























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