1.3.1 函数单调性 学案

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1.3.1函数单调性
1.定义域为I的函数f(x)的增减性

温馨提示：定义中x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换.
2.函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
温馨提示：(1)函数的单调性是对于定义域内某个区间而言的“局部”性质，在单独的一点处没有单调性；(2)若函数y＝f(x)在区间A、B上都是增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.

类型一　求函数的单调区间
【例1】画出函数y＝的图象，并指出函数的单调区间.

解　作函数y＝的图象(如图)，由左至右，函数在区间(－∞，
－1]，(－1，0]上图象均上升，在区间(0，＋∞)上图象下降.因此y＝的单调增区间是(－∞，－1]，(－1，0)；单调减区间为[0，＋∞).
【训练1】.如图所示为函数y＝f(x)在[－4，7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________.

解析　由图象知，y＝f(x)在区间[－4，－2]与[4，7]上图象均上升.因此f(x)的增区间是[－4，－2]，[4，7].
答案　[－4，－2]，[4，7]
【例2】判断函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上的单调性，并加以证明.
解　函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＝(x1－x2)＋＝，
因为24，x1x2－4>0，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数.
【训练2】 证明函数f(x)＝在区间(－1，＋∞)上是增函数.
证明　任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝
因为x2>x1>－1.所以x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
因此f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)类型三　函数单调性的简单应用
【例3】已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)解　由题意可知
解得0又f(x)在(－1，1)上是减函数，且f(1－a)∴1－a>2a－1，即a<，②
由①②可知0【训练3】 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2.
(1)若f(x)在区间[4，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若y＝f(x)的单调增区间是[4，＋∞)，则实数a为何值？
解　(1)∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2＋2－(a－1)2
∴二次函数f(x)的图象关于直线x＝1－a对称.
因此f(x)的单调增区间是[1－a，＋∞)，又f(x)在[4，＋∞)上是增函数，∴1－a≤4，解得a≥－3，故实数a的取值范围为[－3，＋∞).
(2)由(1)知y＝f(x)的增区间为[1－a，＋∞),又y＝f(x)的单调增区间是[4，＋∞)，
∴1－a＝4，从而a＝－3，因此实数a的值为－3.
课时同步练习
1.已知[0，3]是函数f(x)定义域内的一个区间，若f(1)A.是增函数 B.是减函数
C.既是增函数又是减函数 D.单调性不确定
解析　由于仅知道f(1)答案　D
2.函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)
A.f(－1)C.f(－1)>f(3) D.f(－1)≥f(3)
解析　因为函数f(x)在R上是减函数，且－1<3，所以f(－1)>f(3).
答案　C

3.函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是(　　)
A.递减函数 B.递增函数
C.先递减再递增 D.先递增再递减
解析　该函数图象的对称轴为x＝3，根据图象(图略)可知函数在(2，4)上是先递减再递增的.
答案　C[来源:学§科§网Z§X§X§K]
4.设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　)
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a2＋a)
解析　∵y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且a＋1>a－2，∴f(a＋1)答案　D
5.在如图所示的函数图象中满足在(0，2)上是增函数的是(　　)

解析　由图象知B项中y＝f(x)在(0，2)上是增函数.
答案　B

6.函数f(x)＝1－|x|的单调递减区间是________.
解析　f(x)＝图象如图所示，单调递减区间为[0，＋∞).
答案　[0，＋∞)
7.已知f(x)是R上的减函数，则满足f(2x－1)>f(1)的实数x的取值范围是________.
解析　因为f(x)在R上是减函数，且f(2x－1)>f(1)，所以2x－1<1，即x<1.
答案　(－∞，1)
8.函数f(x)＝的减区间是________.
解析　由反比例函数性质，y＝在(0，1]上是减函数.所以f(x)的减区间(0，1].
答案　(0，1]
9.作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间.
解　f(x)＝的图象如图所示.

由图可知函数的单调减区间为(－∞，1]和(1，2)；单调增区间为[2，＋∞).[来源:学*科*网Z*X*X*K]
10.判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性.
解　函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数.证明如下：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x10，又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数.
11.作出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并根据函数的图象求出单调减区间.
解　y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示.

根据图象知函数的单调减区间是[－1，0]和[1，＋∞).
12.已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)解　由题意得解得1≤x≤2.①
因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)由①②得1≤x<，所以实数x的取值范围是.

13.函数y＝－x2的单调递增区间为(　　)
A.(－∞，0] B.[0，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－∞，＋∞)
解析　根据二次函数的性质，y＝－x2的单调增区间是(－∞，0].
答案　A
14.如果函数y＝(2a－1)x＋b在R上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　依题意，2a－1>0，∴a>.
答案　A
15.下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A.y＝1 B.y＝－＋2
C.y＝－x2－2x－1 D.y＝1＋x2
解析　函数y＝1不具备单调性；函数y＝－x2－2x－1在(－∞，－1)上单调递增；函数y＝1＋x2在(－∞，0)单调递减；只有函数y＝－＋2在(－∞，0)上为增函数.
答案　B
16.函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋1在区间[5，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A.[6，＋∞) B.(6，＋∞)
C.(－∞，6] D.(－∞，6)
解析　函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋1的图象关于x＝a－1对称.∴f(x)的增区间是[a－1，＋∞)，又f(x)在区间[5，＋∞)上是增函数，∴a－1≤5，∴a≤6.[来源:学#科#网]
答案　C
17.设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________.
解析　由题设，f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，又－3>－π，因此f(－3)>f(－π).
答案　f(－3)>f(－π)
18.已知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则实数a的值等于________.
解析　当x≥－时，f(x)＝2x＋a是增函数.
当x<－时，f(x)＝－2x－a是减函数.
因此－＝3，∴a＝－6.
答案　－6
19.已知函数f(x)＝x－，且函数的图象过点(1，0).
(1)求实数m的值；
(2)试证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
(1)解　 ∵函数f(x)＝x－的图象过点(1，0).∴f(1)＝0，即1－m＝0，则m＝1.
(2)证明　由m＝1，知f(x)＝x－，设任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＝(x2－x1)＋＝(x2－x1)
∵0∴x2－x1>0，x1x2>0，1＋>0，
因此f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
20.已知函数f(x)＝
(1)若f(2)＝f(1)，求a的值；
(2)若f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围.
解　(1)因为f(2)＝f(1)，所以22＝4－－1，所以a＝－2.
(2)当x>1时，f(x)＝x2是增函数，若f(x)是R上的增函数，则f(x)＝x－1在
(－∞，1]上是增函数，且满足×1－1≤12，因此解得4≤a<8.
故f(x)是R上的增函数时，实数a的取值范围是[4，8).





























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