1.3.2 函数最大值最小值 学案

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1.3.2函数的最大(小)值

1.函数的最大值、最小值

温馨提示：函数最大(小)值是相对于定义域来说的，而不是定义域中某局部的高点和低点.
2.求函数最值的常用方法
(1)图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
(2)运用已学的一次函数、二次函数、反比例函数的性质与值域.
(3)运用函数的单调性
①若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a).
②若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b).

类型一　利用图象求函数的最值
【例1】已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值.
解　作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.

【训练1】 画出函数y＝x－|x－1|的图象，并求其最值.
解　∵y＝x－|x－1|＝
其图象如图所示：

由图可知该函数有最大值1，无最小值.
类型二　利用单调性求函数的最值
【例2】已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞)).
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围.
解　(1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)，
因为x2>x1≥2，所以x1－x2<0，x1x2>4，
则1－>0.从而(x1－x2)<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以当x＝2时，f(x)有最小值，最小值为f(2)＝.
(2)因为f(x)的最小值为f(2)＝，所以f(x)>a恒成立，只须f(x)min>a，得a<.即a的取值范围是.
【训练2】判断函数f(x)＝在区间[2，5]上的单调性并求其最大值与最小值.
解　任取x1，x2∈[2，5]，且x1则f(x1)＝，f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵x1，x2∈[2，5]，x1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)∴f(x)＝在区间[2，5]上是减函数.
∴f(x)max＝f(2)＝＝2，f(x)min＝f(5)＝＝.
类型三　二次函数的最大(小)值
【例3】已知二次函数f(x)的图象过点A(－1，0)、B(3，0)、C(1，－8).
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在x∈[0，3]上的最值.
解　(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)（a≠0），将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a＝2.
故f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x2－4x－6.
(2)f(x)＝2(x－1)2－8，x∈[0，3]，
由二次函数的图象知对称轴x＝1∈[0，3]，
∴f(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数，
因此f(x)min＝f(1)＝－8.
又f(0)＝－6，f(3)＝0，故f(x)max＝f(3)＝0.
所以f(x)在x∈[0，3]上的最大值为0，最小值为－8.
【训练3】1.函数y＝2x2－1，x∈N*的最值情况是(　　)
A.无最大值，最小值是1 B.无最大值，最小值是－1
C.无最大值，也无最小值 D.不能确定最大、最小值
解析　因为x∈N*，且函数在(0，＋∞)上单调递增，故函数在x＝1时取得最小值，最小值为1，无最大值.
答案　A
2.函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)[来源:Z。xx。k.Com]
A.f(－2)，0 B.0，2
C.f(－2)，2 D.f(2)，2
解析　由图象可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.
答案　C



课时同步训练

1.函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数在[－2，3]上的最小值、最大值分别是(　　)
A.f(－2)，f(3) B.0，2
C.f(－2)，2 D.f(2)，2
解析　由图象可知，x＝－2时，f(x)取得最小值为f(－2)，x＝3时，f(x)取得最大值f(3)＝3.
答案　A
2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.2
解析　f(x)＝－(x－2)2＋a＋4，∴f(x)在[0，1]上单调递增.
∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
答案　C
3.已知函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于(　　)
A. B.－ C.1 D.－1
解析　可知函数f(x)＝在[1，2]上单调递减.
∴A＝f(1)＝1，B＝f(2)＝，∴A－B＝.
答案　A
4.函数y＝在区间[4，5]上的最小值为(　　)[来源:Zxxk.Com]
A.2 B. C. D.－
解析　作出图象可知y＝在区间[4，5]上是减函数，所以其最小值为＝.
答案　B




5.已知函数f(x)＝＋x，则y=f(x)的最小值是(　　)
A.0 B.1 C. D.无最小值
解析　∵函数f(x)＝＋x的定义域是，且是增函数，
∴f(x)min＝f ＝.
答案　C
6.若函数y＝(k>0)在[2，4]上的最小值为5，则k＝______.
解析　因为k>0，所以函数y＝在[2，4]上是减函数，所以当x＝4时，y＝最小，由题意知＝5，k＝20.
答案　20
7.函数f(x)＝x2＋4x＋a在区间(－3，3)上的最小值为________.
解析　f(x)＝x2＋4x＋a＝(x＋2)2＋a－4，因为－3答案　a－4
8函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)
A.8，4 B.8，6
C.6，4 D.以上都不对
解析　f(x)在[－1，2]上单调递增，所以最大值为f(2)＝8，最小值为f(－1)＝4.
答案　A
9.函数f(x)＝在区间[1，5]上的最大值为________，最小值为________.
解析　函数f(x)＝在区间[1，5]上为减函数，
∴f(x)max＝f(1)＝3，f(x)min＝.
答案　3　
10.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是________.
解析　a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；a<0时，
a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2，因此a＝±2.
答案　±2
11.画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间及最小值.
解　f(x)的图象如图所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.


12.已知函数f(x)＝，x∈[3，5].
(1)用定义证明函数f(x)在区间[3，5]上的单调性；
(2)求函数f(x)在x∈[3，5]上的最大值和最小值.
解　(1)f(x)在区间[3，5]上是增函数.
证明：设x1，x2是区间[3，5]上的两个任意实数，
且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵3≤x1∴f(x1)(2)∵f(x)在区间[3，5]上是增函数，
∴当x＝3时，f(x)取得最小值为－4，
当x＝5时，f(x)取得最大值为－2.

13.已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围.
解　(1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈，对称轴是x＝1，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f ＝，f(3)＝5，
∴f(x)在区间上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞).
14.设函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a的值是________.[来源:Z_xx_k.Com]
解析　当a≥0时，f(a)＝－1＝a，得a＝－2(舍去).
当a<0时，f(a)＝＝a，得a＝±1，a＝1不满足a<0，舍去，所以a＝－1.
答案　－1
15.已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是________.
解析　∵f(x)＝(x－1)2＋2，其对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，f(x)min＝2，故m≥1.
又∵f(0)＝3，∴f(2)＝3，∴m≤2.故1≤m≤2.
答案　[1，2]
16.函数f(x)＝的值域为(　　)
A.R B.[－9，＋∞)
C.[－8，1] D.[－9，1]
解析　当0∴－3≤f(x)≤1.
当－2≤x≤0时，f(x)＝x2＋6x＝(x＋3)2－9，
∴－8≤f(x)≤0，因此函数f(x)的值域为[－8，1].
答案　C

17.若定义运算a?b＝则函数f(x)＝x?(2－x)的解析式是________.
解析　当x<2－x，即x<1时，f(x)＝x；
当x≥2－x，即x≥1时，f(x)＝2－x.[来源:Zxxk.Com]
所以f(x)＝
答案　f(x)＝
18.函数f(x)＝的最大值是________.
解析　u＝x2－x＋1＝＋≥，所以≤.得f(x)的最大值为.
答案　
19.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有两等根.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0，t]上的最大值.
解　(1)因为方程f(x)＝2x有两等根，即方程ax2＋(b－2)x＝0有两等根，所以Δ＝(b－2)2＝0，得b＝2，因为f(x－1)＝f(3－x)，得＝1，所以x＝1是函数图象的对称轴，所以－＝1，所以a＝－1，所以f(x)＝－x2＋2x.
(2)因为函数f(x)＝－x2＋2x的图象对称轴为x＝1，x∈[0，t]，所以当t≤1时，f(x)在[0，t]上是增函数，所以f(x)的最大值为f(t)＝－t2＋2t.
当t>1时f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，所以f(x)的最大值为f(1)＝1.
综上知f(x)的最大值为f(x)max＝
20.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域.
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
解　 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴x＝－∈[－2，3]，所以f(x)min＝f ＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，所以值域为.
(2)对称轴为x＝－.[来源:学科网]
①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，即a＝－满足题意.
②当－>1，即a<－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1.
所以－2a－1＝1，即a＝－1满足题意.
综上可知a＝－或－1.






























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