高中数学统编版第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件（33张）

课件33张PPT。2.3　二次函数与一元二次方程、不等式一二一、一元二次不等式的概念
1.从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?
提示:它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.一二2.填空
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.一二3.做一做
已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④ >0.其中是一元二次不等式的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.
答案:A一二二、一元二次不等式的解法
1.(1)什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?
提示:把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.一二(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?
提示:①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.
(4)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置有哪些情况?如何用一元二次方程来说明这些位置关系?
提示:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴可能有两个交点(相交),一个交点(相切),没有交点(相离).可以通过对应一元二次方程的判别式Δ与0的关系来判断.一二2.填空 一二3.做一做
(1)不等式x2-2x>0的解集是　　　　　.?
(2)不等式x2+3x+6<0的解集是　　　　　.?
答案:(1){x|x>2或x<0}　(2)?探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练一元二次不等式的求解
例1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1解下列不等式:
(1)4x2-20x<-25;
(2)(x-3)(x-7)<0;
(3)-3x2+5x-4<0;
(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是?.
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3(3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练已知不等式的解集求参数值
例2求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:
(1)[-1,2];
(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);
(3)[-1,+∞).
分析:根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等式对应方程根的情况,利用根与系数的关系进行求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟 1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.
2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x10时,其解集是{x|xx2},当a<0时,其解集是{x|x10的解集.
解:∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),
∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两根.
将其代入所求不等式bx2+ax+1>0,得2x2-3x+1>0.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练含参数的一元二次不等式的解法
例3解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
分析:先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟 解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.
(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论.
(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论.
(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).
解:由于x2+3ax-4a2<0可化为(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a.
当a=-4a,即a=0时,不等式的解集为?;
当a>-4a,即a>0时,解不等式为-4a当a<-4a,即a<0时,解不等式为a综上所述,当a=0时,不等式的解集为?;
当a>0时,不等式的解集为{x|-4a当a<0时,不等式的解集为{x|a例4行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系:
(1)求n的值;
(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少?探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练分析:(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系.
2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.
3.解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究 本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65 m,试问该车是否超速行驶?
解:由题意知s≥25.65,即 ≥25.65,即v2+24v-10 260≥0,解得v≥90或v≤-114.由于v≥0,所以速度v的取值范围是v≥90>80,因此该车超速行驶.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法
1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练当未说明不等式为一元二次不等式时,有
2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练典例若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
解:当m2-2m-3=0时,m=3或m=-1.
若m=3,不等式化为-1<0,显然对于x∈R恒成立,满足题意;
若m=-1,不等式化为4x-1<0,显然不满足对于x∈R恒成立.
当m2-2m-3≠0时,探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
(1)求函数的解析式;
(2)若对于任意的x∈[-2,2],y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.
∴y=3x2+6x.
(2)y+m≤3即m≤-3x2-6x+3,而x∈[-2,2]时,函数t=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21,
∴m≤-21,实数m的最大值为-21.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练1.不等式x2-9<0的解集为(　　)
A.{x|x<-3} B.{x|x<3}
C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-3解析:由x2-9<0,可得x2<9,解得-3答案:D
2.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-16,0) B.(-16,0]
C.(-∞,0) D.(-8,8)
解析:不等式4x2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练3.已知关于x的不等式x2-ax+b≤0的解集为[2,3],则a+b=　　　　　.?
解析:关于x的不等式x2-ax+b≤0的解集为[2,3],
∴关于x的方程x2-ax+b=0的实数根为2和3,
答案:11探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练4.某地年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样木材的年销售量减少 t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是　　　　　.?
解析:设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,
解得3≤t≤5.
故t的取值范围是[3,5].
答案:[3,5]探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练5.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.
解方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.
函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以
当a<-1时,原不等式的解集为{x|a当a=-1时,原不等式的解集为?;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1