三角形的三线及面积（习题）
? 例题示范
例1：已知在4×4的正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为__________个．
【思路分析】
连接AB，则AB作为△ABC的底，要使△ABC的面积为1，利用同底等高，即平行转移面积即可．具体操作：
①先在AB的一侧找一个点C，使△ABC的面积为1，过点C作AB的平行线；
②再在AB的另一侧找一个点C，使△ABC的面积为1，过点C作AB的平行线．
如图所示：
共6个．
? 巩固练习
1. 如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，则A，B间的距离不可能是（ ）
A．20米 B．15米 C．10米 D．5米
第1题图 第2题图
2. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（ ）
A．AC是△ABC的高 B．DE是△BCD的高
C．DE是△ABE的高 D．AD是△ACD的高
3. 在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．都有可能
4. 如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④∠BDC=
∠BAC．其中正确的有______________（填序号）．
第4题图 第5题图
5. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2，则满足条件的格点C的个数是_______个．
6. 如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为___________．
7. 如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4 cm2，那么阴影部分的面积是_________．
8. 已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，BD=2CD，AD，BE，CF交于一点G，S△BGD=8，S△AGE=3，那么△ABC的面积是____________．
9. 如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至D，E，F，且使BD=AB，CE=2BC，AF=3AC．若S△ABC=1，则S△DEF=____．
10. 如图，两条对角线把梯形分割成四个三角形，若S△EDC=6，S△BEC=18，则△AEB的面积是____________，△AED的面积是___________．
11. 如图所示，在△ABC中，点D是AB的中点，点E在边BC上，CE=2BE，若△ABC的面积为6，则△BDE的面积是____．
12. 四边形ABCD与AEFG均为正方形，若△ABH的面积为6 cm2，则图中阴影部分的面积是______________．
【参考答案】
1. D
2. C
3. B
4. ①②③
5. 5
6. 8
7. 1 cm?
8. 30
9. 18
10. 6 2
11. 1
12. 6 cm?
三角形的三线及面积（讲义）
? 课前预习
1. 三角形有关的性质和定理：
定义：
由___________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形，三角形可以用符号“_______”表示．
性质：
边：三角形两边之和______第三边，两边之差______第三边；
角：三角形的内角和等于_______；
直角三角形两锐角________；
三角形的一个外角等于______________________________．
2. 如图，在△ABC中，
（1）若点D是BC的中点，则S△ABD:S△ACD=__________；
（2）若BD:CD=2:1，则S△ABD:S△ACD=__________；
（3）若BD:CD=a:b，则S△ABD:S△ACD=__________．
? 知识点睛
1. 三角形的三线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．
（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．
如图，在△ABC中，作出AC边上的高线．
________即为所求．
2. 面积问题：
（1）处理面积问题的思路
①_____________________________；
②_____________________________；
③_____________________________．
（2）处理面积问题方法举例
①利用平行转移面积
如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．
②利用等分点转移面积
两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．
? 精讲精练
1. 如图，△ABC的角平分线AD、中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中（ ）
A．①②都正确 B．①②都不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
第1题图 第2题图
2. 如图所示，在△ABC中，BC边上的高是_______，AB边上的高是_______；在△BCE中，BE边上的高是________，EC边上的高是_________；在△ACD中，AC边上的高是________，CD边上的高是________．
3. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，过点C作CF⊥AD于点H，交AB于点F．下列说法：①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的中线；③CH为△ACD边AD上的高；④AH是△ACH边CH上的高；⑤AH是△ACF的角平分线．其中正确的说法有_______（填序号）．
第3题图 第4题图
4. 如图，在正方形ABCD中，BC=2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于_________．
5. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，延长DC到E，使CE=AB，连接BD，BE．若梯形ABCD的面积为25 cm2，则△BDE的面积为__________．
第5题图 第6题图
6. 正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为____________．
7. 在如图所示4×4的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数是_______．
第7题图 第8题图
8. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2，则满足条件的格点C的个数是_______．
9. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=16，则S△DEF=_____________．
10. 如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF-S△BEF=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第10题图 第11题图
11. 如图所示，S△ABC=6，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=______．
12. 如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是3，7，7，则△EDF的面积是_______，△AEF的面积是______．
第12题图 第13题图
13. 如图，对面积为1的△ABC进行以下操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，则△A1B1C1的面积为______．
14. 如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC的面积分别为25 cm2和35 cm2，那么梯形的面积是_____________．
15. 如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为20 cm2，△CDQ的面积为35 cm2，则阴影四边形EPFQ的面积是_________．
16. 如图，若梯形ABCD面积为6，E，F为AB的三等分点，M，N为DC的三等分点，则四边形EFNM的面积是_________．
【参考答案】
? 课前预习
1. 不在同一条直线上，首尾顺次相接，△
大于，小于
180°
互余
和它不相邻的两个内角的和
2. （1）1:1
（2）2:1
（3）a:b
? 知识点睛
1. （1）线段，在三角形内部，重心．
（2）线段，在三角形内部，内心．
（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部．
作图略
2. （1）①公式法；②割补法；③转化法．
（2）②对应高，对应底．
? 精讲精练
1. C
2. AF，CE；CE，BE；DC，AC．
3. ③④⑤
4. 2
5. 25 cm2
6. 16
7. 6
8. 5
9. 2
10. B
11. 1
12. 3，15
13. 19
14. 144 cm2
15. 55 cm2
16. 2
三角形的三线及面积（随堂测试）
1. 下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（ ）
A． B． C． D．
2. 如图，正方形ABCD和正方形BEFG的位置如图所示，点E在线段AB上，已知正方形ABCD的面积为50 cm2，则△AFC的面积是___________．
3. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数是_______个（在图中标出点C的位置）．
4. 如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF，若△ABC的面积是8cm2，则△BEF的面积是______．
5．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．
6．如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？
7．如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
9．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
10．如图，D是△ABC中BC上的一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且∠ADE＝∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由．
11．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
12．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
13．我们知道，三角形三条高所在直线交于一点．
规定：三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．
如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G．
（1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？
请写出一组： ．
（2）点G是△ 的垂心．
（3）点A是△ 的垂心．
14．如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）试说明CD是△ABC的高；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
【参考答案】
1. D
2. 25 cm?
3. 6
4. 2 cm?
5．解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝70°﹣20°＝50°，
综上所述，∠BAC的度数为90°或50°．
6．解：AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线；
BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线．
7．解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，
∴AB＝2AF＝2×3＝6，
AC＝2AE＝2×2＝4，
∵△ABC的周长为15，
∴BC＝15﹣6﹣4＝5．
8．解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm．
即AC的长度是9cm．
9．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
10．解：AD是△ABC的角平分线．
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠ADE＝∠DAF，∠ADF＝∠EAD，
又∵∠ADE＝∠ADF，
∴∠DAF＝∠EAD，
又∵∠DAF+∠EAD＝∠BAC，
∴AD是∠BAC的角平分线．
11．解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，
∠ECD＝90°﹣70°＝20°
12．解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，
分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，
则4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48，AB＝28；
②AC+CD＝40，AB+BD＝60，
则4x+x＝40，x+y＝60，
解得：x＝8，y＝52，
即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，
此时不符合三角形三边关系定理；
综合上述：AC＝48，AB＝28．
13．解：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE+∠BAE＝∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF，
同理可得，∠BAD＝∠BCF，∠CAD＝∠CBE，
故答案为：∠ABE＝∠ACF或∠BAD＝∠BCF或∠CAD＝∠CBE；
（2）∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G，
∴点G是△ABC的垂心，
故答案为：△ABC；
（3）∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BF，CE交于点A，
∴点A是△BCG的垂心，
故答案为：△BCG．
14．解：（1）∵∠1+∠BCD＝90°，∠1＝∠B
∴∠B+∠BCD＝90°
∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，
∴CD是△ABC的高；
（2）∵∠ACB＝∠CDB＝90°
∴S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴CD＝＝＝．
