三角形综合应用（习题）
? 例题示范
例1：如图，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，CE⊥BD交BD的延长线于点E．
求证：∠DCE=∠CAD．
【思路分析】
①看到条件BD，CD平分∠ABC，可知AD也平分∠BAC，得到：，，；
②根据CE⊥BD，得，所以；
③题目所求为∠DCE=∠CAD，若能够说明即可；
④根据三角形的内角和定理得：，所以，再根据三角形的外角定理可知，所以，证明成立．
【过程书写】
证明：如图，
∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB
∴，，
在△ABC中，
∴
∵∠EDC是△BCD的一个外角
∴
∴
∵CE⊥BE
∴
∴
∴∠DCE=∠CAD
? 巩固练习
1. 现有2 cm，4 cm，6 cm，8 cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠B+∠A=∠C
B．∠A:∠B:∠C=2:3:5
C．∠A=2∠B=3∠C
D．一个外角等于和它相邻的一个内角
3. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=___________．
4. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________．
第4题图 第5题图
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠CAB与∠CBA的平分线相交于点O，则∠AOB=__________．
6. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与外角平分线CE的反向延长线交于点D，若∠A=30°，则∠D=________．
7. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC于E，若∠B=40°，∠C=70°，则∠DFE=________．
第7题图 第8题图
8. 如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，且满足BE⊥AC，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H．下列结论：①线段AG是△ABE的角平分线；②BE是△ABC的中线；③线段AE是△ABG的边BG上的高；
④△ABG与△DBG的面积相等．其中正确的结论有________（填序号）．
9. 如图，在△ABC中，若AB=2 cm，BC=4 cm，则△ABC的高AD与CE的比是__________．
10. 如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=60°，求∠CAD及∠AOB的度数．
? 思考小结
1. 三角形有关性质：
研究方面 性质
边 两边之和_______第三边；两边之差_______第三边．
角 三角形的内角和是________． 三角形的一个外角等于_______________________．
线（中线、高线、角平分线） 看到三角形中线，考虑利用________转化面积； 看到三角形角平分线，考虑通过________简化计算； 看到三角形的高线，考虑________或_________．
2. 三角形中的一些常见结论，尝试进行证明
（1）“X型”：
∠A+∠B=∠C+∠D
（2）“角平分线模型”
【参考答案】
? 巩固练习
1. A
2. C
3. 270°
4. 360°
5. 135°
6. 15°
7. 15°
8. ①③④
9. 1:2
10. ∠CAD=30°，∠AOB=120°
? 思考小结
1. 大于，小于，180°，和它不相邻的两个内角的和
2. 略
三角形综合应用（讲义）
? 知识点睛
在三角形背景下处理问题的思考方向：
1. 三角形中的隐含条件是：
边：_______________________________________________．
角：①______________________________________________；
②_____________________________________________．
2. 角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题．
3. 高线出现时考虑__________或__________．
? 精讲精练
1. 现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．10
3. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；
②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）．
4. 如图，在三角形纸片ABC中，∠A=60°，∠B=55°．将纸片一角折叠使点C落在△ABC内，则∠1+∠2=_________．
第4题图 第5题图
5. 如图，一个五角星的五个角的和是________．
6. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________．
7. 如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，BC，我们把形如图1的图形称之为“X型”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：_____________________________；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，则∠APC=_______；
（3）在图2中，若∠D=α，∠B=β，则∠APC=__________．
8. 探究：
（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，猜想∠P和∠A有何数量关系？
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系？
（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE，猜想∠P和∠A有何数量关系？
图1 图2 图3
9. 如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．
（1）∠ABO+∠BCO+∠CAO=____________；
（2）∠BOD和∠COE的数量关系是________________．
第9题图 第10题图
10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D．
（1）若AB=6，AC=8，BC=10，则AD=____________；
（2）若AB=2，BC=3，则AC:AD=____________．
11. 如图，在△ABC中，若AB=2 cm，AC=3 cm，BC=4 cm，AD，BF，CE为△ABC的三条高，则这三条高的比AD:BF:CE=____________________．
12. 如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．
（1）若AB=8，△ABC的面积为14，则PD+PE的值是多少？（2）过点B作BF⊥AC于点F，求证：PD+PE=BF．
【参考答案】
? 知识点睛
1. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
三角形内角和等于180°；
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2. 设元
3. 互余，面积
? 精讲精练
1. B
2. C
3. ①③⑤
4. 130°
5. 180°
6. 360°
7. （1）∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）35°； （3）(α+β)
8. （1）∠P=90°+∠A； （2）∠P=∠A；
（3）∠P=90°?∠A
9. （1）90° （2）∠BOD=∠COE
10. （1） （2）3:2
11. 3:4:6
12. （1） （2）证明略
三角形综合应用（随堂测试）
1. 现有2cm，3cm，4cm，5cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________．
3. 如图，点E，D分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，CF，EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠B=65°，∠D=45°，则∠F的度数为________．
4．已知：如图，∠A＝35°，∠B＝40°，∠C＝45°．求∠DFE的度数．
5．如图，∠A＝64°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠AEC'＝22°，求∠BDC'的度数．
6．在△ABC中，已知∠B＝40°，∠C＝60°，AD平分∠BAC，点E为AD延长线上的点，EF⊥BC于F，求∠DEF的度数．
7．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．
8．如图，AD∥BC，连接BD，点E在BC上，点F在DC上，连接EF，且∠1＝∠2．
（1）求证：EF∥BD；
（2）若BD平分∠ABC，∠A＝130o，∠C＝70o，求∠CFE的度数．
9．（1）思考探究：如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系是 ．
（2）类比探究：如图②，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，α+β＞180°，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线相交于点P．求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）
（3）拓展迁移：如图③，将（2）中α+β＞180°改为α+β＜180°，其它条件不变，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P＝ ．（用α，β的代数式表示）
10．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处
【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 ；
【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为 ．
11．如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）请说明：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）点M在OD上，点N在OB上，AM与CN相交于点P，且∠DAP＝∠DAB．∠DCP＝∠DCB，其中n为大于1的自然数（如图2）．
①当n＝2时，试探索∠P与∠D、∠B之间的数量关系，并请说明理由；
②对于大于1的任意自然数n，∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系？请直接写出你的探索结果，不必说明理由．
12．问题情景：如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C，试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ 度，∠PBC+∠PCB＝ 度，∠ABP+∠ACP＝ 度．
（2）类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系；
（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置：使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
13．综合与探究：
直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．
【参考答案】
1. C
2. 180°
3. 55°
4．解：∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠B+∠C＝40°+45°＝85°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和），
∵∠DFE是△ADF的外角，
∴∠DFE＝∠A+∠ADF＝35°+85°＝120°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和）．
5．解：如图设AE交DC′于F．
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣64°﹣76°＝40°，
由折叠可知∠C'＝40°，
∴∠DFE＝∠AEC'+∠C＝22°+40°＝62°，
∴∠BDC'＝∠DFE+∠C＝62°+40°＝102°．
6．解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，
∴∠EDF＝∠ADC＝80°，
∵EF⊥BC，
∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF＝90°﹣80°＝10°．
7．（1）证明：∵FG∥AE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝80°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4＝∠ABD＝40°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1＝90°﹣40°＝50°．
8．（1）证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝∠CBD（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠CBD＝∠2（等量代换），
∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：∵AD∥BC（已知），
∴∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°，（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°，
∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110°，
∵BD平分∠ABC（已知），
∴∠CBD＝∠ABC＝×50°＝25°（角平分线的定义），
∴∠1＝∠CBD＝25°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠1＝110°﹣25°＝85°，
∵EF∥BD，
∴∠CFE＝∠BDC＝85°（两直线平行，同位角相等）．
9．解：（1）如图1中，结论：2∠P＝∠A．
理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，
∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，
2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，
2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，
∴2∠P＝∠A；
（2）如图2中，
解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得，∠DCE＝∠A+∠D+∠ABC，∠PCE＝∠P+∠PBC，
∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠DCE，
∴∠P+∠PBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，
∴∠P＝（∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A＝α，∠D＝β，
∴∠P＝（α+β）﹣90°；
解法二：延长BA交CD的延长线于F．
∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，
由（1）可知：∠P＝∠F，
∴∠P＝（α+β）﹣90°；
②如图3，延长AB交DC的延长线于F．
∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，
∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α﹣β．
故答案为：2∠P＝∠A；90°﹣α﹣β．
10．解：（1）如图①，∠1＝2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；
∵∠1＝∠A+∠EA′D，
∴∠1＝2∠A．
（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．
理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，
∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，
∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，
由折叠知识可得：∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2．
（3）如图③，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，
解得∠A＝28°．
故答案为：∠1＝2∠A；28°．
11．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠B+∠C+∠BOC＝180°，
又∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C．
（2）①由（1）可知，∠1+∠D＝∠P+∠3，①
∠4+∠B＝∠2+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
②结论：∠P与∠D、∠B之间存在的关系为∠P＝．
∵∠1+∠D＝∠P+∠3，①
∠4+∠B＝∠2+∠P，②
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（n﹣1）①+②得：（n﹣1）（∠1+∠D）+∠4+∠B＝（n﹣1）（∠P+∠3）+∠2+∠P，
即n∠P＝（n﹣1）?∠D+∠B，
∴∠P＝．
12．解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝140°﹣90°＝50°，
故答案为140，90，50．
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
证明：∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
（3）不成立；
存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
理由：设AB交PC于O．
∵∠AOC＝∠POB，
∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
13．解：（1）结论：∠AEB的大小不变．
理由：∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠EAB＝∠OAB，∠EBA＝∠OBA，
∴∠EAB+∠EBA＝（∠OAB+∠OBA）＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．
（2）结论：∠ACB的大小不变．
理由：∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠BAP+∠ABM＝270°
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的外角的平分线，
∴∠CAB＝∠PAB，∠CBA＝∠MBA，
∴∠CAB+∠CBA＝（∠PAB+∠MBA）＝135°°，
∴∠ACB＝180°﹣135°＝45°．
