人教版九年级数学上册专题讲义 专题1 21.1一元二次方程的概念（含答案）

人教版九年级数学上册专题讲义 专题1 21.1一元二次方程的概念
一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一元二次方程的相关概念：一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
知识点
1、一元二次方程的辨别
例题1.下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． 3x2+=0 B． 2x-3y+1=0 C． （x-3）（x-2）=x2 D． （3x-1）（3x+1）=3
【答案】D
【解析】选项A、3x2+=0是分式方程，错误；
选项B、2x-3y+1=0为二元一次方程，错误；
选项C、（x-3）（x-2）=x2是一元一次方程，错误；
选项D、（3x-1）（3x+1）=3是一元二次方程，正确．
对应练习1.下列方程中，一元二次方程共有（　　）个①x2-2x-1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x-5=0；
④-x2=0；⑤（x-1）2+y2=2；⑥（x-1）（x-3）=x2．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
例题2.ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程的条件是（　　）
A．a，b，c为任意实数 B．a，b不同时为0
C．a不为0 D．b，c不同时为0
【答案】C
【解析】∵ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，∴a≠0．
对应练习2.关于x的方程（a-2）x2-3x+7=0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≠-2 C．a≠2 D．a≠±2
例题3.将一元二次方程（3x-2）（x+1）=x（2x-1）化成一般形式后，它的一次项系数是（　　）
A． -2 B． 2 C． -3 D． -1
【答案】B
【解析】去括号得3x2+3x-2x-2=2x2-x，
移项得3x2+3x-2x-2-2x2+x=0，
合并得x2+2x-2=0，
所以一元二次方程的一次项系数为2．
对应练习3.若关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-4=0的常数项为0，则m的值等于（　　）
A． -2 B． 2 C． -2或2 D． 0
对应练习4.关于x的方程（m+n）x2+-（m-n）x=0（m+n≠0）的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为（　　）
A． B． C． D．
2、利用一元二次方程的一般形式确定各项系数
例题4.已知（m-1）x|m|+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______．
【答案】-1
【解析】∵方程（m-1）x|m|+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m-1≠0，解得m=-1．
对应练习5.已知?x+=0是关于x的一元二次方程，则k为________．
例题6.关于x的一元二次方程x2+3x-bx=ax+2中不含一次项，则a+b=_____．
【答案】3
【解析】x2+3x-bx=ax+2，
x2+3x-bx-ax-2=0，
x2+（3-b-a）x-2=0，
∵不含一次项，∴3-b-a=0，∴a+b=3.
例题7.已知关于x的方程（k+1）+（k-3）x-1=0
（1）当k取何值时，它是一元一次方程？
（2）当k取何值时，它是一元二次方程？
【答案】解：（1）由关于x的（k+1）+（k-3）x-1=0一元一次方程，
得或，
解得k=-1或k=0，
当k=-1或k=0时，关于x的（k+1）xk2+1+（k-3）x-1=0一元一次方程；
（2）由关于x的（k+1）+（k-3）x-1=0一元二次方程，
得，解得k=1，
当k=1时，关于x的（k+1）+（k-3）x-1=0一元二次方程．
【解析】（1）根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程解答；
（2）根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数解答．
对应练习6.已知关于x的方程：3x+＝2x、2x2+y=3、2x-x2=3、+x2＝3、x=27x2．
（1）其中为一元二次方程的有哪些；
（2）对比各方程的特征请说明：判断一个方程为一元二次方程应从哪几方面考虑．
例题8.把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）
①x2-x-2=0；②-x2+x+2=0；③x2-2x=4；
④-x2+2x+4=0；⑤x2-2x-4=0．
（2）方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？
【答案】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），
因此①，②，④，⑤是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式．（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），
在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．
其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
若设方程x2-x=2的二次项系数为a（a≠0），
则一次项系数为-2a，常数项为-4a，
因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．综述, 这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．
【解析】（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以-1，-2，2即可变形得到正确选项；
（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．
对应练习7.关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见：甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程；乙认为：原方程序中二次项系数m2-8m+19肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程．你认为甲、乙两同学的意见，谁正确？证明你的结论．

























对应练习参考答案
1、【答案】B
【解析】①x2-2x-1=0，符合一元二次方程的定义；
②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；
③+3x-5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
④-x2=0，符合一元二次方程的定义；
⑤（x-1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
⑥（x-1）（x-3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．一元二次方程共有2个．
2、【答案】C
【解析】由关于x的方程（a-2）x2-3x+7=0是一元二次方程，
得a-2≠0，解得a≠2．
3、【答案】A
【解析】由题意得m2-4=0，解得m=±2，
∵m-2≠0，∴m≠2，
∴m=-2．
4、【答案】A
【解析】方程的二次项系数与一次项系数和常数项
分别为（m+n）和-（m-n）还有．
根据题意得，
解得，
所以常数项为==．
5、【答案】-2
【解析】由?x+=0是关于x的一元二次方程，
得k2-2=2，且1-k≥0，解得k=-2．
6、【答案】解：（1）是一元二次方程的是：2x-x2=3和x=27x2；
（2）一元二次方程必须满足四个条件：
①未知数的最高次数是2；
②二次项系数不为0；
③是整式方程；
④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解析】根据一元二次方程的定义解答．
7、【答案】答：乙正确，
证明：m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3≠0，
故可以确定这个方程一定是一元二次方程，故乙正确．
【解析】利用配方法求出m2-8m+19=m2-8m+16+3=（m-4）2+3即可得出这个方程一定是一元二次方程．