人教版九年级数学上册专题讲义 专题3 21.1一元二次方程的解（含答案）

人教版九年级数学上册专题讲义 专题3 21.1一元二次方程的解
一、直接利用一元二次方程的解
例题1.下列方程中，有一个根为-1的方程是（　　）
A．x2-x=0 B．x2-7x+6=0 C． 2x2-3x-5=0 D． 3x2+2x-5=0
【答案】C
【解析】将x=-1依次代入验证可的选项C是正确的．
对应练习1.请检验下列各数哪个为方程x2-2x-3=0的解（　　）
A． 3 B． 2 C． 1 D． 0
例题2.若a为方程x2+x-5=0的解，则a2+a+7的值为（　　）
A． 6 B． 16 C． 9 D． 12
【答案】D
【解析】∵a为方程x2+x-5=0的解，
∴a2+a-5=0，∴a2+a=5，
∴a2+a+7=5+7=12．
对应练习2.一元二次方程x2+2x=0的解是（　　）
A． 0 B． 0或-2 C． -2 D． 没有实数根
对应练习3.下列关于x的方程中一定有实数根-1的是（　　）
A．x2-x+2=0 B．x2+x-2=0 C．x2-x-2=0 D．x2+1=0
例题3.已知方程ax2+bx+c=0的一个根是-1，则a-b+c=_______．
【答案】0.
【解析】把x=-1代入方程，可得a-b+c=0.
对应练习4.一元二次方程有一根为1，此方程可以是__________（写出一个即可）．
对应练习5.下列哪些数是方程x2+2x－8=0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．

二、求未知字母或代数式的值
例题4.已知x=-1是方程x2+mx+1=0的一个实数根，则m的值是（　　）
A． 0 B． 1 C． 2 D． -2
【答案】C
【解析】把x=-1代入方程x2+mx+1=0得：1-m+1=0，解得：m=2.
对应练习6.关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根0，则a值为（　　）
A． 1 B． -1 C． ±1 D． 0
对应练习7.关于x的一元二次方程ax2-bx+3=0的一个根为x=2，则代数式4b-8a+3的值为（　　）
A． -3 B． 3 C． 6 D． 9
例题5.已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（　　）
A． 0 B． 1 C． -1 D． 2
【答案】B
【解析】将x=1代入为原方程可得a+b+c=0，
所以该方程一定有一个根为1．
对应练习8.已知关于x的方程x2-3mx+5m-2=0的一个根为x=2，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　）
A． 8 B． 10 C． 8或10 D． 6或10
例题6.如果a是关于x的一元二次方程x2-x+m+6=0的一个根，-a是关于x的一元二次方程x2+x-m=0的一个根，则m的值是_______．
【答案】-3
【解析】∵a是关于x的一元二次方程x2-x+m+6=0的一个根，
∴a2-a+m+6=0，∴a2-a=-m-6．①,
又∵-a是关于x的一元二次方程x2+x-m=0的一个根，
∴a2-a-m=0，②,
把①代入②得到,m+6=-m，解得m=-3．
对应练习9.关于m的一元二次方程nm2-n2m-2=0的一个根为2，则n2+n-2=___________．
对应练习10.将关于x的一元二次方程x2+bx+c=0变形为x2=-bx-c，就可得x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2-x-1=0，可用“降次法”求得x4-3x+2019的值是___________．
例题7.先化简，再求值：÷（m+2－）．其中m是方程x2+3x－1=0的根．
【答案】解：原式=÷
=?
==；
∵m是方程x2+3x－1=0的根．
∴m2+3m－1=0，即m2+3m=1，
∴原式=.
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，
同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，
根据m为方程的解，将x=m代入求出m2+2m的值，代入计算即可求出值．
对应练习11.已知m是关于x的一元二次方程x2-2019x+1=0的一个不为0的根，求代数式m2-2018m+的值．

对应练习参考答案与解析
1、【答案】A
【解析】A、把x=3代入方程的左边=0=右边，所以是方程的解；
B、把x=2代入方程的左边=-3≠右边，不是方程的解；
C、把x=1代入方程的左边=-4≠右边，不是方程的解；
D、把x=0代入方程的左边=-3≠右边，不是方程的解．
2、【答案】B
【解析】将选项中的数值代入验证即可.
3、【答案】C
【解析】把x=-1代入各个方程成立的只有x2-x-2=0，
因而关于x的方程中一定有实数根-1的是x2-x-2=0．故本题选C．
4、【答案】x2-x=0
【解析】有一个根是1的一元二次方程有无数个，
只要含有因式（x-1）的一元二次方程都有一个根是1．
5、【答案】解：将x=－4代入方程x2+2x－8=0，
左边=（－4）2+（－4）×2－8=0，即左边=右边，
故x=－4是方程x2+2x－8=0的根．
同理可得，x=－3，－2，－1，0，1，3，4．时，
都不是方程x2+2x－8=0的根，
当x=2时，左边=右边，
故x=－4，2都是方程x2+2x－8=0的根.
【解析】代入依次验证即可．
6、【答案】B
【解析】把x=0代入方程得a2-1=0，解得a=±1，
∵（a-1）x2+ax+a2-1=0是关于x的一元二次方程，
∴a-1≠0，即a≠1，∴a的值是-1．
7、【答案】D
【解析】把x=2代入，得4a-2b+3=0，所以4a-2b=-3，
所以4b-8a+3=-2（4a-2b）+3=-2×（-3）+3=9．
8、【答案】B
【解析】把x=2代入方程得4-6m+5m-2=0，解得m=2，
则原方程为x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
① 当△ABC的腰为4，底边为2，则△ABC的周长为4+4+2=10；
②当△ABC的腰为2，底边为4时，不能构成三角形．
综上所述，该三角形的周长的10．
9、【答案】26
【解析】把m=2代入nm2-n2m-2=0得4n-2n2-2=0，
所以n+=2，
所以原式=（n+）2-2=（2）2-2=26．
10、【答案】2018
【解析】∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，
∴x4-3x+2019
=（x+1）2-3x+2019
=x2+2x+1-3x+2019
=x2-x+2020=1+2020
=2021.
11、【答案】解：∵m是方程x2-2019x+1=0的一个根，
∴m2-2019m+1=0，
∴m2+1=2019m，m2-2018m=m-1，m+=2019，
∴m2-2018m+
=m-1+=2019-1=2018．
【解析】把x=m代入方程m2-2019m+1=0
求出m2-2018m=m-1，m+=2019，
再代入代数式m2-2018m+求出答案即可．