人教版九年级数学上册专题讲义 专题4 21.2解一元二次方程-直接开平方法（含答案）

人教版九年级数学上册专题讲义 专题4 21.1解一元二次方程-直接开平方法
方法 运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；
思想 领会降次──转化的数学思想．
一、可化为型方程的解法
例题1.一元二次方程x2﹣3=0的根为（　　）
A．x=3 B．x= C．x1=，x2=﹣ D．x1=3，x2=﹣3
【答案】C
【解析】移项得x2=3，开方得x1=，x2=﹣．
例题2.一元二次方程x2=c有解的条件是（　　）
A．c＜0 B．c＞0 C．c≤0 D．c≥0
【答案】D
【解析】利用直接开平方法解方程时，本题中的被开方数c必须为非负数，方程才有实数根．即c≥0．
例题3.方程3x2+9=0的根是（　　）
A．x=-3 B．x=3 C．x=±3 D． 无实数根
【答案】D
【解析】∵3x2+9=0，∴x2=-3，
∵负数没有平方根，∴原方程没有实数根．
例题4.方程x2-2=0的解为（　　）
A． 2 B． C． 2与-2 D．与-
【答案】D
【解析】移项得x2=2，解得x=±．故选D．
例题5.方程x2=9的根是（　　）
A．x=3 B．x=-3 C．x1=3，x2=-3 D．x1=x2=3
【答案】C
【解析】因为x2=9，x=±3，所以x1=3，x2=-3．
例题6.方程4x2=16的解是（　　）
A．x=±4 B．x=4 C．x=-4 D．x=±2
【答案】D
【解析】4x2=16，x2=4，x=±2．
例题7.已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（　　）
A．n=0 B．mn同号 C．n是m的整数倍 D．mn异号
【答案】D
【解析】mx2+n=0，mx2=-n，x2=-，∵x2≥0，m≠0，∴mn异号．
例题8.若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m-4，则=（　　）
A． -4 B． 1 C． 2 D． 4
【答案】D
【解析】∵x2=，∴x=±，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m-4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b的两个根分别是2与-2，
∴=2，∴=4．
例题9.一元二次方程2x2-2=0的解是__________．
【答案】x1=1，x2=-1
【解析】方程整理得x2=1，开方得x=±1，解得x1=1，x2=-1．
例题10.在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2-b2，则方程（2★3）★x=9的根为____________．
【答案】x1=4，x2=-4
【解析】根据新定义可以列方程：
（22-32）★x=9，（-5）2-x2=9，25-x2=9，x2=16，x1=4，x2=-4．
例题11.若2x2+3与2x2-4互为相反数，则x为__________.
【答案】±
【解析】由题意得2x2+3+2x2-4=0，4x2-1=0，4x2=1，x=±.
例题12.解方程：
（1）4x2-16=0；
（2）12y2-25=0．
【答案】解：（1）4x2-16=0.
移项得：4x2=16，
两边同时除以4得：x2=4，
两边直接开平方得：x=±2，
则x1=2，x2=-2．
（2）12y2-25=0．
移项得12y2=25，
两边同时除以12得y2=，
两边直接开平方得y=±，
则x1=，x2=-．
【解析】先移项，写成x2=a的形式，然后再两边直接开方即可．
例题13.若2（x2+3）的值与3（1-x2）的值互为相反数，求的值．
【答案】解：根据题意得2（x2+3）+3（1-x2）=0，
整理得x2=9，
所以x1=3，x2=-3，
当x=3时，==，
当x=-3时，==0．
【解析】根据相反数对应得到2（x2+3）+3（1-x2）=0，
整理得x2=9，再利用直接开平方法解方程，
然后把x的值分别代入中计算即可．

二、形如型方程的解法
例题1.方程（x﹣3）2=0的根是（　　）

A．x=﹣3 B．x=3 C．x=±3 D．x=
【答案】B
【解析】直接开方可得x﹣3=0，所以x=3．
例题2.若方程（x-4）2=a有实数解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D． 无法确定
【答案】B
【解析】∵方程（x-4）2=a有实数解，∴x-4=±，∴a≥0．
例题3.若（a2+b2-2）2=25，则a2+b2的值为（　　）
A． 7 B． 7或-3 C． -3 D． 27
【答案】A
【解析】∵（a2+b2-2）2=25，∴a2+b2-2=±5，∴a2+b2=7或a2+b2=-3（舍去），即a2+b2的值为7．
例题4.x1、x2是一元二次方程3（x-1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　）
A．x1小于-1，x2大于3 B．x1小于-2，x2大于3
C．x1，x2在-1和3之间 D．x1，x2都小于3
【答案】A
【解析】∵x1、x2是一元二次方程3（x-1）2=15的两个解，且x1＜x2，
∴（x-1）2=5，
∴x-1=±，
∴x2=1+＞3，x1=1-＜-1．
例题5.已知a2-2ab+b2=6，则a-b的值是（　　）
A． B．或? C． 3 D． ?
【答案】B
【解析】∵a2-2ab+b2=6，∴（a-b）2=6，∴a-b=±．
例题6.方程（x﹣2）2=9的解是（　　）
A．x1=5，x2=﹣1 B．x1=﹣5，x2=1 C．x1=11，x2=﹣7 D．x1=﹣11，x2=7
【答案】A
【解析】开方得x﹣2=±3，解得x1=5，x2=﹣1．
例题7.一元二次方程（x﹣1）2=2的解是（　　）
A．x1=﹣1﹣，x2=﹣1+ B．x1=1﹣，x2=1+
C．x1=3，x2=﹣1 D．x1=1，x2=﹣3
【答案】B
【解析】∵（x﹣1）2=2，∴x﹣1=±，∴x=1±．
例题8.用直接开平方法解方程（x﹣3）2=8，得方程的根为（　　）
A．x=3+2 B．x1=3+2，x2=3﹣2
C．x=3﹣2 D．x1=3+2，x2=3﹣2
【答案】B
【解析】∵（x﹣3）2=8，∴x﹣3=±，∴x1=3+2，x2=3﹣2．
例题9.如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为（　　）

A． 3或-3 B． 4或-2 C． 1或3 D． 27
【答案】B
【解析】根据题意得：
简单的数值运算程序为（x-1）2×（-3）=-27，
化简得（x-1）2=9，
∴x-1=±3，
解得x=4或x=-2．
例题10.若关于x的方程（x+1）2=1-k没有实根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜-1 C．k≥1 D．k＞1
【答案】D
【解析】∵（x+1）2=1-k没有实根，∴1-k＜0，∴k＞1．
例题11.关于x的一元二次方程（x-k）2+k=0，当k＞0时的解为（　　）
A．k+ B．k? C．k± D． 无实数解
【答案】D
【解析】（x-k）2+k=0，移项得（x-k）2=-k，∵k＞0，∴-k＜0，∴无实数解．
例题12.用直接开平方法解方程（x+m）2=n，下列结论正确的是（　　）
A． 有两个根，为x=± B． 当n＞0时，有两个根，为x=±-m
C． 当x＞0时，有两个根，为x=±+m D． 当n＜0时，无实数根
【答案】B
【解析】∵（x+m）2≥0，∴n≥0．∴当n＞0，方程（x+m）2=n有两个不相等的根x=±-m．
例题13.一元二次方程（x+1）2=9可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1=3，则另一个一元一次方程是（　　）
A．x-1=-3 B．x-1=3 C．x+1=3 D．x+1=-3
【答案】D
【解析】∵（x+1）2=9，∴x+1=±3，∴x+1=3或x+1=-3．
例题14.关于x的一元二次方程a（x+3）2+3=0的解的情况是（　　）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 没有实数根 D． 无法确定
【答案】D
【解析】由原方程，得a（x+3）2=-3，当a＞0时，（x+3）2＜0，该方程无解；当a＜0时，该方程为（x+3）2=-，有2个解．综上所述，原方程的解的情况无法确定．
例题15.已知一元二次方程（x-3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）
A． 10 B． 10或8 C． 9 D． 8
【答案】A
【解析】∵（x-3）2=1，∴x-3=±1，解得x1=4，x2=2，∵一元二次方程（x-3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4=2+2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，∴△ABC的周长为2+4+4=10．
例题16.若一元二次方程式a（x-b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（　　）
A． B． C． 3 D． 5
【答案】B
【解析】a（x-b）2=7，
两边同时除以a得（x-b）2=，
两边直接开平方可得x-b=±，
则x=±+b，
∵两根为±，
∴a=4，b=，
∴a+b=4=．
例题17.关于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均为常数，m≠0）的解是x1=-2，x2=3，则方程a（x+m-5）2+n=0的解是（　　）
A．x1=-2，x2=3 B．x1=-7，x2=-2 C．x1=3，x2=-2 D．x1=3，x2=8
【答案】D
【解析】∵关于x的方程a（x+m）2+n=0的解是
x1=-2，x2=3，（m，n，p均为常数，m≠0），
∴方程a（x+m-5）2+n=0变形为a[（x-5）+m]2+n=0，
即此方程中x-5=-2或x-5=3，
解得x=3或x=8．
例题18.一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________．
【答案】x1=-1，x2=5
【解析】移项得（4-2x）2=36，开方得4-2x=±6，解得x1=-1，x2=5．
例题19.在关于x的方程(x?)2=m中，对m任取一个数值，使得该方程没有实数根，那么m的值可以是_________．（只需写出一个即可）
【答案】-1
【解析】
例题20.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b，根据这个规则，方程（x-1）*9=0的解为____________.
【答案】x1=-2，x2=4
【解析】∵（x-1）*9=0，∴（x-1）2-9=0，∴x-1=-3，x-1=3，x1=-2，x2=4．
例题21.若a为一元二次方程（x-2）2=4的较大的一个根，b为一元二次方程（y-4）2=18的较小的一个根，则a-b的值为________.
【答案】5-2
【解析】方程（x-2）2=4，
开方得x-2=2或x-2=-2，
解得x1=2+2，x2=2-2，
方程（y-4）2=18，
开方得y-4=3或y-4=-3，
解得y1=4+3，y2=4-3，
∴a=2+2，b=4-3，
则a-b=2+2-4+3=5-2．
例题22.解方程：（x﹣3）2=16．
【答案】解：由原方程直接开平方，得
x﹣3=±4，
∴x=3±4，
∴x1=7，x2=﹣1．
【解析】形如x2=a（a≥0）的形式的方程，利用数的开方直接求解．
例题23.解方程：（3x﹣1）2=6．
【答案】解：由原方程，得
3x﹣1=±，
∴x=，
∴x1=，x2=．
【解析】原问题实际上是求3x﹣1的平方根．
所以利用直接开平发法解方程即可
例题24.（2x+3）2﹣1=3．
【答案】解：（2x+3）2﹣1=3，
（2x+3）2=4，
（2x+3）2=16，
2x+3=4，2x+3=﹣4，
x1=，x2=﹣．
【解析】移项得到（2x+3）2=4，推出（2x+3）2=16，
开方得到2x+3=4，2x+3=﹣4，求出方程的解即可．
例题25.（2x﹣1）2=9．
【答案】解：由原方程，得
2x﹣1=±3，
∴x=，
∴x1=2，x2=﹣1．
【解析】利用直接开平方法解该方程．
例题26.（x﹣1）2=2．
【答案】解：两边开平方得：x﹣1=±，
方程的解是x1=1+，x2=1﹣
【解析】利用直接开平方法求一元二次方程的解即可．
例题27.（3x﹣4）2=（3﹣4x）2．
【答案】解：开方得①3x﹣4=3﹣4x，②3x﹣4=﹣（3﹣4x），
解方程①得3x+4x=3+4，7x=7，x=1，
解方程②得3x﹣4x=﹣3+4，﹣x=1，x=﹣1，
即原方程得解x1=1，x2=﹣1．
【解析】开方得出两个一元一次方程，求出每个方程的解即可．
例题28.若2y=（x-2）2+1，且y的算术平方根是，求：x+2y的值．
【答案】解：∵y的算术平方根是，∴y=5，∵2y=（x-2）2+1，∴10=（x-2）2+1，移项得（x-2）2=9，开方得x-2=±3，可解得x1=-1，x2=5，∴x+2y=15或9．
【解析】先求得y，再求得x代入即可得出x+2y的值．