人教版九年级数学上册专题讲义 专题6 21.2解一元二次方程-公式法之根的判别式（含答案）

人教版九年级数学上册专题讲义 专题6 21.2解一元二次方程-公式法之根的判别式
知识点：
一、不解方程判断根的情况
1.一元二次方程2x2-3x+1=0根的情况是（　　）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根
C． 只有一个实数根 D． 没有实数根
【答案】A
【解析】∵a=2，b=-3，c=1，∴△=b2-4ac=（-3）2-4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．
2.一元二次方程（x+1）2-2（x-1）2=7的根的情况是（　　）
A． 无实数根 B． 有一正根一负根 C． 有两个正根 D． 有两个负根
【答案】C
【解析】∵（x+1）2-2（x-1）2=7，∴x2+2x+1-2（x2-2x+1）=7，整理得-x2+6x-8=0，则x2-6x+8=0，（x-4）（x-2）=0，解得x1=4，x2=2，故方程有两个正根．
3.以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（　　）
A． ∵b2-4ac=-8，∴方程有解 B． ∵b2-4ac=-8，∴方程无解
C． ∵b2-4ac=8，∴方程有解 D． ∵b2-4ac=8，∴方程无解
【答案】B
【解析】本题中△=b2-4ac=-8，∴方程无解．
4.下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2-1=0 D．x2-2x-1=0
【答案】B
【解析】A、△=22-4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12-4×1×2=-7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0-4×1×（-1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、△（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
5.关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式是_______________．
【答案】p2﹣4q
【解析】根据根的判别式公式△=b2﹣4ac解答．
∵方程x2+px+q=0的二次项系数a=1，一次项系数b=p，常数项c=q，
∴△=b2﹣4ac=p2﹣4q．
6.写一个有两个相等的实数根的一元二次方程________________．
【答案】x2-4x+4=0
【解析】对于x2-4x+4=0，△=（-4）2-4×1×4=0，所以x2-4x+4=0有两个相等的实数根．
7.不解方程，判断方程2x2+3x-2=0的根的情况是__________________．
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】∵a=2，b=3，c=-2，∴△=b2-4ac=9+16=25＞0，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
8.关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根，k的取值范围____________．
【答案】k≤
【解析】当k=0，方程变形为-4x+3=0，
此一元一次方程的解为x=；当k≠0，△=16-4k×3≥0，解得k≤，且k≠0时，
方程有两个实数根，综上所述，实数k的取值范围为k≤．
9.不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）2x2+3x+5=0；（2）x2-2x+2=0．
【答案】解：（1）∵△=32-4×2×5=-31＜0，∴方程没有实数根；（2）∵△=（-2）2-4×1×2=0，∴方程有两个相等的实数根．
【解析】直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况.
10.定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：-3☆2=（-3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2-bx+a=0的根的情况．
【答案】解：∵2☆a的值小于0，∴22a+a=5a＜0，解得a＜0．在方程2x2-bx+a=0中，△=（-b）2-8a≥-8a＞0，∴方程2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根．
【解析】根据2☆a的值小于0结合新运算可得出关于a的一元一次不等式，
解不等式可得出a的取值范围，
再由根的判别式得出△=（-b）2-8a，结合a的取值范围即可得知△的正负，
由此即可得出结论．

二、确定字母的取值
1.若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＜1且k≠0 D．k≥1
【答案】B
【解析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于k的不等式，
求出k的取值范围．
由题意知，△=4﹣4k＞0，解得k＜1．
2.已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△＞0，即22﹣4?m?（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0
有两个不相等的实数根．
3.关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣5 B．a＞﹣ 5且a≠﹣1 C．a＜﹣5 D．a≥﹣5且a≠﹣1
【答案】B
【解析】∵x的一元二次方程（a+1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=16+4a+4＞0，
解得a＞﹣5．∵a+1≠0，∴a≠﹣1．
4.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（　　）
A．k=-4 B．k=4 C．k≥-4 D．k≥4
【答案】B
【解析】∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，∴△=42-4k=0，解得k=4．
5.若关于x的一元二次方程（x-k）2=1-2k有实数根，则k的取值范围是________.
【答案】k≤
【解析】根据题意得1-2k≥0，
解得k≤．
6.已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则偶数k的最小取值为________．
【答案】4
【解析】由已知得，解得k＞且k≠2，∵k为偶数，∴k的最小值为4．
7.关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=_______，b=______．
【答案】1；1
【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有实数根，∴，解得．满足该条件．
8.若实数a、b满足|b-1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，
则k的取值范围是_____________.
【答案】k≤4且k≠0
【解析】∵实数a、b满足|b-1|+=0，∴b-1=0，8-2a=0，∴b=1，a=4，∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，即方程kx2+4x+1=0有两个实数根，∴△≥0且k≠0，∴△=42-4k≥0，∴k≤4，且k≠0.
9.已知关于x的方程x2+（2m-1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】解：∵x2+（2m-1）x+4=0有两个相等的实数根，∴△=（2m-1）2-4×4=0，解得m=-或m=．
【解析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0
即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可．
10.已知关于x的方程x2+mx+m-2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m-2=0，得1+m+m-2=0，解得m=；（2）证明：∵△=m2-4×1×（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解析】（1）直接把x=1代入方程x2+mx+m-2=0求出m的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
11.m是什么实数时，方程x2-4|x|+5=m有4个互不相等的实数根？
【答案】解：∵△=b2-4ac=16-4（5-m）=4m-4＞0，∴m＞1．当x≥0时，方程是x2-4x+5-m=0，方程有两个不同的根，
则两个的积一定大于等于0，即5-m≥0，则m≤5，∴1＜m≤5．当x＜0时，方程是x2+4x+5-m=0，方程有两个不同的根，
则两个根的积一定大于0，即5-m＞0，则m＜5，则1＜m＜5．∴1＜m＜5时，方程x2-4|x|+5=m有4个互不相等的实数根．
【解析】此方程只有当△＞0时才会有4个不相等的实数根．首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，所以要利用根的判别式来求m的范围．

三、根的判别式的综合应用
1.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4-4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确.
2.若关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x-m的图象不经过（　　）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
【答案】C
【解析】根据题意得m≠0且△=（-2）2-4m×（-1）＜0，解得m＜-1，所以一次函数y=（m+1）x-m的图象第一、二、四象限．
3.等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根，则k的值为（　　）
A． 30 B． 34或30 C． 36或30 D． 34
【答案】B
【解析】∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴a=b，或a、b中有一个数为4．当a=b时，有b2-4ac=（-12）2-4（k+2）=0，解得k=34；当a、b中有一个数为4时，有42-12×4+k+2=0，解得k=30．
4.给出下列说法，其中正确的是（　　）①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若b2-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0一定没有实数根；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若a+b+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有实数根；③若x=a是方程x2+bx-a=0的根，则a+b=1；④若a，b，c为三角形三边，方程（a+c）x2-2bx+a-c=0有两个相等实数根，则该三角形为直角三角形．
A． ①② B． ①④ C． ①②④ D． ①③④
【答案】C
【解析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
若b2-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0一定没有实数根，所以①正确；关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若a+b+c=0，
则△=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，
则方程ax2+bx+c=0必有实数根，所以②正确；若x=a是方程x2+bx-a=0的根，则a2+ab-a=0，
当a≠0时，则a+b=1，所以③错误；若a，b，c为三角形三边，
方程（a+c）x2-2bx+a-c=0有两个相等实数根，
则4b2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，
则该三角形为直角三角形，所以④正确．
5.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是________．
【答案】无解
【解析】△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．∵a，b，c分别是三角形的三边，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c-a-b＜0∴△＜0，则方程没有实数根．
6.已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+1=0有两个相等的实数根，关于x的一元二次方程mx2-mx-2014=0的两个实数根为a、b，则a2+b的值为________．
【答案】2015
【解析】∵关于x的一元二次方程mx2+2mx+1=0有两个相等的实数根，∴4m2-4m=0，∴m=0或1，∵m≠0，∴m=1，把m=1代入关于x的一元二次方程mx2-mx-2014=0，
得x2-x-2014=0，∵关于x的一元二次方程mx2-mx-2014=0的两个实数根为a、b，∴a+b=1，a2-a-2014=0，∴a2+b=a+2014+b=1+2014=2015.
7.已知a，b为整数，且x2-ax+3-b=0有两个不相等的实数根，x2+（6-a）x+7-b=0有两个相等的实数根；x2+（4-a）x+5-b=0没有实数根，则a+b=______．
【答案】5
【解析】根据题意得，△1=a2-4（3-b）=a2+4b-12＞0，即a2+4b＞12①；△2=（6-a）2-4（7-b）=a2+4b-12a+8=0，即a2+4b=12a-8②；△3=（4-a）2-4（5-b）=a2+4b-8a-4＜0，即a2+4b＜8a+4③；把②分别代入①③得，解不等式组得＜a＜3，而a为整数，所以a=2，再代入②得4+4b=12×2-8，解得b=3，所以a+b=2+3=5．
8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（c≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
则①a=c，②a=b，③b=c，④a=b=c，
其中正确的结论序号是________．
【答案】①
【解析】∵方程有两个相等实数根，且a+b+c=0，
∴b2-4ac=0，b=-a-c，
将b=-a-c代入得：a2+2ac+c2-4ac=（a-c）2=0，
则a=c．
9.已知关于x的一元二次方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长．
【答案】（1）证明：∵△=b2-4ac=（3k+1）2-4（2k2+2k）
=9k2+6k+1-8k2-8k=k2-2k+1=（k-1）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根．（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，
则b=c，则△=0．∴（k-1）2=0，解得k=1．此时原方程化为x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，即b=c=2．此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；②若a=6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6，代入方程：62-6（3k+1）+2k2+2k=0，解得k=3或5，则原方程化为x2-10x+24=0或x2-16x+60=0，解得x1=4，x2=6或x1=6，x2=10，即b=6，c=4，或b=6，c=10，此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形，周长为6+6+4=16或6+6+10=22．
【解析】（1）计算方程的根的判别式，若△=b2-4ac≥0，则证明方程总有实数根；（2）已知a=6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．