人教版九年级数学上册专题讲义 专题8 21.2解一元二次方程-用因式分解法解一元二次方程（含答案）

人教版九年级数学上册专题讲义 专题8 21.2解一元二次方程-用因式分解法解一元二次方程
因式分解的方法

用因式分解法解一元二次方程 首先把方程化为一般形式，然后把方程左边分解因式化为两个一次因式的积的形式，再把方程两边开平方得到两个一次方程，分别求得方程的解便得到一元二次方程的解。
一、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程
1.方程x2-2x=0的根是（　　）
A．x1=x2=0 B．x1=x2=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=-2
【答案】C
【解析】x2-2x=0,
x（x-2）=0，
解得x1=0，x2=2．
2.方程x（x-3）=5（x-3）的解的情况是（　　）
A．x=3 B．x=5 C．x1=3，x2=5 D． 无解
【答案】C
【解析】x（x-3）=5（x-3），
x（x-3）-5（x-3）=0，
（x-3）（x-5）=0，
∴x-3=0或x-5=0，
∴x1=3，x2=5．
3.方程x（x-5）=0的根是（　　）
A．x=0 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=-5
【答案】C
【解析】方程x（x-5）=0，
可得x=0或x-5=0，
解得x1=0，x2=5．
4.方程x2=6x的根是（　　）
A．x1=0，x2=-6 B．x1=0，x2=6 C．x=6 D．x=0
【答案】B
【解析】方程化为x2-6x=0，
∴x（x-6）=0，
∴x=0或x-6=0，
∴x1=0，x2=6．
5.根据图中的程序，当输入方程x2=2x的解x时，输出结果y=（　　）

A． -4 B． 2 C． -4或2 D． 2或-2
【答案】C
【解析】x2=2x，
x2-2x=0，
x（x-2）=0，
∴x=0或x=2，
当x=0时，y=x-4=0-4=-4，
当x=2时，y=-x+4=-2+4=2．
6.我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（　　）
A． 转化思想 B． 函数思想 C． 数形结合思想 D． 公理化思想
【答案】A
【解析】我们解一元二次方程3x2-6x=0时，
可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是转化思想．
7.方程x2=-x的解是__________．
【答案】0或-1
【解析】原方程变形为x2+x=0，x（x+1）=0，x=0或x=-1．
8.方程（x-3）2=x-3的根是________________.
【答案】x1=3，x2=4
【解析】（x-3）2=x-3，（x-3）2-（x-3）=0，（x-3）（x-3-1）=0，∴x1=3，x2=4．
9.方程x（x-2）=-（x-2）的根是____________________.
【答案】x1=2，x2=-1
【解析】x（x-2）=-（x-2）移项得x（x-2）+（x-2）=0，∴（x-2）（x+1）=0，解得x1=2，x2=-1．
10.已知关于x的一元二次方程3（x-1）（x-m）=0的两个根是1和2，则m的值是________________．
【答案】2
【解析】∵3（x-1）（x-m）=0，∴x-1=0，x-m=0，∴x1=1，x2=m，∵关于x的一元二次方程3（x-1）（x-m）=0的两个根是1和2，∴m=2．
11.解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）．
【答案】解：由原方程，得
（3x+2）（x﹣2）=0，
所以3x+2=0或x﹣2=0，
解得x1=﹣，x2=2．
【解析】先移项，然后提取公因式（x﹣2），对等式的左边进行因式分解．
12.解方程x（x+3）=7（x+3）．
【答案】解：方程变形得x（x+3）﹣7（x+3）=0，
分解因式得（x+3）（x﹣7）=0，
解得x1=﹣3；x2=7．
【解析】方程变形后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
13.解方程：（3x+1）（2x﹣5）=﹣2（2x﹣5）．
【答案】解：移项得（3x+1）（2x﹣5）+2（2x﹣5）=0，
（2x﹣5）（3x+1+2）=0，
2x﹣5=0，3x+1+2=0，
x1=，x2=﹣1．
【解析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出即可．
14.解方程：（x+3）2=（1﹣2x）2．
【答案】解：移项得（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，
（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）=0，
（﹣x+4）（3x+2）=0，
﹣x+4=0或3x+2=0，
∴x1=4，x2=﹣．
【解析】首先移项，把方程的右边化成0，左边分解因式，
即可化成两个一元一次方程，即可求解．

二、用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程

1.方程x2+x-12=0的两个根为（　　）
A．x1=-2，x2=6 B．x1=-6，x2=2 C．x1=-3，x2=4 D．x1=-4，x2=3
【答案】D
【解析】x2+x-12=（x+4）（x-3）=0，则x+4=0，或x-3=0，解得x1=-4，x2=3．
2.已知3是关于x的方程x2-（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）
A． 7 B． 10 C． 11 D． 10或11
【答案】D
【解析】把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．
3.已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则△ABC的周长是 （　　）
A． 10 B． 8 C． 6 D． 8或10
【答案】A
【解析】x2-6x+8=0，∴（x-2）（x-4）=0，∴x1=2，x2=4．由三角形的三边关系（两边之和大于第三边）可得∴腰长是4，底边是2，所以周长是4+4+2=10．故选A．
4.一元二次方程x2-4x=12的根是（　　）
A．x1=2，x2=-6 B．x1=-2，x2=6 C．x1=-2，x2=-6 D．x1=2，x2=6
【答案】B
【解析】方程整理得x2-4x-12=0，分解因式得（x+2）（x-6）=0，解得x1=-2，x2=6.
5.已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2-8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为_____________．
【答案】19或21或23
【解析】由方程x2-8x+15=0得（x-3）（x-5）=0，∴x-3=0或x-5=0，解得x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23.
6.三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是____________．
【答案】24或8
【解析】∵x2-16x+60=0，∴（x-6）（x-10）=0，解得x1=6，x2=10，当x=6时，则三角形是等腰三角形，
如图①：AB=AC=6，BC=8，AD是高，∴BD=4，AD==2，∴S△ABC=BC?AD=×8×2=8；当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，S△ABC=BC?AC=×8×6=24．∴该三角形的面积是：24或8．

7.方程x2+4x-5=0的解是_________________.
【答案】x1=-5，x2=1
【解析】∵x2+4x-5=0，∴（x+5）（x-1）=0，∴x+5=0或x-1=0，∴x1=-5，x2=1．
8.把方程x2-2xy-3y2=0化为两个二元一次方程，它们_________是和________.
【答案】x-3y=0x+y=0
【解析】∵x2-2xy-3y2=0，∴（x-3y）（x+y）=0，∴x-3y=0或x+y=0．
9.解方程：2x2-7x+3=0．
【答案】解：原方程可变形为（2x-1）（x-3）=0∴2x-1=0或x-3=0，∴x1＝，x2＝3．
【解析】本题可以运用因式分解法解方程．
因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，
右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．