人教版七年级数学上册第四章几何图形4.3 角专题（习题含答案解析）

知识
1．角的概念：
（1）有公共端点的两条___________组成的图形叫做角．
这个公共端点是角的___________，这两条射线是角的___________．
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边．
（2）角有以下的表示方法：
①用三个大写字母及符号“___________”表示．
三个大写字母分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在___________．
②用一个大写字母表示角，这个字母就是___________．
表示方法
图标
记法
注意事项
（1）用三个大写字母
∠AOB或
∠BOA
顶点字母要写在中间
（2）用一个大写字母
∠O
顶点处只能有一个角．
（3）用希腊字母
∠α
在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，并写上希腊字母
注意：当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．
③用一个___________或一个___________表示．在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上希腊字母或数字．
④角的大小与边的长短无关，因为角的两边是射线，不可以度量．角的大小只与构成角的两边张开的大小有关．角既可以度量，也可以比较大小，还可以参与运算．如无特殊说明，所说的角都是小于平角的角．
2．角度制及换算：
（1）把圆周角等分成360等分，每一份就是___________，记作___________．
（2）把1度的角等分成60等分，每一份就是___________，记作___________．
（3）把1分的角等分成60等分，每一份就是___________，记作___________．
（4）由此我们可以得出：
①1°=60′，1′=60″．②1周角=___________，1平角=___________．
（5）以度、分、秒为单位的角的度量制叫做___________．
3．角的比较：
（1）方法1（度量法）：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
（2）方法2（叠合法）：把两个角的顶点和一边重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．
4．余角和补角：
（1）一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为___________，称其中的一个角是另一个角的余角．
（2）一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为___________，称其中一个角是另一个角的补角．
5．制作长方体形状的包装纸盒：
（1）先在一张软纸上画出长方体包装盒展开图的草图，简单设计一下，裁纸、折叠，观察效果．如果发现问题，应调整原来的设计，直至达到满意的初步设计．
（2）在硬纸板上，按照初步设计，画好长方体包装盒的展开图．注意要预留出黏合处，并要适当减去棱角．在展开图上进行图案与文字的美术设计．
（3）裁下展开图，折叠并粘好黏合处，得到长方体包装盒．
知识参考答案：
1．（1）射线，顶点，两条边；（2）∠，中间，顶点，数字，希腊字母
2．（1）1度的角，1°；（2）1分的角，1′；（3）1秒的角，1″；（4）360°，180°；（5）角度制
4．（1）余角；（2）补角
重点
—重点
余角和补角
—难点
角度的单位及其表示方法
—易错
角度的单位换算
一、角
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边．
【例1】下列关于平角、周角的说法正确的是
A．平角是一条直线
B．周角是一条射线
C．反向延长射线OA，就形成一个平角
D．两个锐角的和不一定小于平角
【答案】C
二、角的比较与运算
1．角的比较有两种方法：度量法；叠合法．
2．注意度、分、秒之间的换算．
【例2】如图，射线OC、OD分别在∠AOB的内部、外部，下列各式错误的是
A．∠AOB<∠AOD B．∠BOC<∠AOB
C．∠COD<∠AOD D．∠AOB<∠AOC
【答案】D
【例3】在同一平面内，∠AOB=45°且∠BOC=30°，则∠AOC的大小是
A．75° B．15°
C．75°或15° D．以上都不对
【答案】C
【解析】分两种情况讨论：①OC在∠AOB的内部；②OC在∠AOB的外部．
∠AOC=∠AOB–∠BOC=45°–30°=15°，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+30°=75°．故选C．
三、余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说两个角互为余角，即其中一个角是另外一个角的余角．
（2）余角的性质：同角(等角)的余角相等．
（3）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这个两个角互为补角，即其中一个角是另外一个角的补角．
（4）补角的性质：同角（等角）的补角相等．
【例4】已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么
A．∠2>∠4 B．∠2<∠4
C．∠2=∠4 D．∠2与∠4大小不确定
【答案】C
【解析】根据等角的补角相等得∠2=∠4，故选C．
【例5】下列说法中，正确的是
A．一个角的补角一定大于这个角
B．任何一个角都有补角
C．若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互余
D．一个角如果有余角，则这个角的补角与它的余角的差为90°
【答案】D
【名师点睛】（1）一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．
（2）一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．
基础训练
1．如图所示，下列表示角的方法错误的是
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
2．下列算式：①33.33°=33°3'3″；②33.33°=33°19'48″；③50°40'33″=50.43°；④50°40'33″≈50.676°．其中正确的是
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
3．下列角中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是
A．角的边越长，角度就越大
B．周角就是一条射线
C．一条直线可以看成平角
D．平角的两边可以构成一条直线
5．如图所示，以C为顶点的角(小于平角)共有
A．4个 B．8个 C．10个 D．18个
6．4点10分时，时针与分针所夹的小于平角的角为
A．55° B．65° C．70° D．以上度数都不对
7．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为
A．20° B．26° C．30° D．36°
8．小明离家时发现，钟面上时针与分针的夹角为75°，这个时间可能是
A．1:30 B．2:30 C．3:30 D．4:30
9．两个锐角的和一定是
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上都有可能
10．3°=
A．180′ B．18′ C．30′ D．3′
11．如图是一块手表早上8时的时针、分针的位置图，那么分针与时针所成的角的度数是
A．60° B．80° C．120° D．150°
12．3.76°=__________度__________分__________秒；22°32′24″=__________度．
13．小雨在广场喷泉的北偏西30°方向，距离喷泉70米处，那么喷泉在小雨的__________处．
14．如图，O是直线l上一点，∠1+∠2=78°42′，则∠AOB=__________．
15．已知∠α=30°，∠α的余角为__________．
16．已知∠A和∠B互为余角，∠A=60°，则∠B的度数是__________，∠A的补角是__________．
17．已知∠α=76°，∠β=41°31′，求：
（1）∠β的余角；
（2）∠α的2倍与∠β的的差．
18．一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？
能力测试
19．下列时刻中，时针与分针之间的夹角为30°的是
A．早晨6点 B．下午1点
C．中午12点 D．上午9点
20．将31.62°化成度分秒表示，结果是
A．3106'2'' B．31037'12"
C．31037'2" D．31°37'
21．如图，AB是街道，点O表示一家超市，点C、D是两个居民小区，设计人员不小心把∠1、∠2、∠3的度数弄丢了，身边没有量角器，只知道∠1–∠2=∠2–∠3，则∠2的度数是__________．
22．如图1所示∠AOB的纸片，OC平分∠AOB，如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB（OA与OB重合），从O点引一条射线OE，使∠BOE=∠EOC，再沿OE把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°，则∠AOB=__________°．
23．如下图，（1）若射线OC平分∠AOB，则∠AOC=__________；
（2）若∠AOB=2__________，则OC为∠AOB的平分线．
24．如图，O，D，E三点在同一直线上，∠AOB=90°．
（1）图中∠AOD的补角是__________，∠AOC的余角是__________；
（2）如果OB平分∠COE，∠AOC=35°，请计算出∠BOD的度数．
25．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=__________；
（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求旋转角
∠BON=__________；∠CON=__________．
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC=5°，求∠AOM．
真题练习
26．（2018·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为__________．
27．（2018·昆明）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为__________．
28．（2018·黔东南）∠α=35°，则∠α的补角为__________度．
参考答案
1．【答案】D
【解析】如果从同一个顶点出发有好几个角，那么我们就不能用单独的一个大写字母来表示一个角，故选D．
2．【答案】D
3．【答案】C
【解析】A．可用∠1，∠ACB表示，但不能用∠C表示，故A项不符合题意．
B．可用∠1，∠ACB表示，但不能用∠C表示，故B项不符合题意．
C．可用∠1，∠ACB，∠C表示，故C项符合题意．
D．可用∠1，∠ACB表示，但不能用∠C表示，故D项不符合题意．
故选C．
4．【答案】D
【解析】A．由于角的大小与角的两边的长度无关，则A错误；
B．周角应该是两条射线共一个端点组成的图形，则B错误；
C．一条直线没有顶点，不可以看成平角，角是有顶点的，则C错误；
D．根据平角的概念可知：平角的两边在一条直线上，则D正确.
故选D．
5．【答案】C
【解析】小于平角的共有4+3+2+1=10个三角形，故选C．
6．【答案】B
【解析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，4点10分时，分针从12到2转动两个格转动角度为：30°×2=60°，时针转动×30°=5°，4点10分时，分针与时针的夹角是2×30°+5°=65°．故选B．
7．【答案】C
【解析】因为一小时60分钟，5分钟为小时，一小时分针转360度，小时转30度，故选C．
8．【答案】C
9．【答案】D
【解析】当α=10°，β=20°时，α+β=30°，即两锐角的和为锐角；
当α=30°，β=60°时，α+β=90°，即两锐角的和为直角；
当α=60°，β=70°时，α+β=130°，即两锐角的和为钝角；
综上所述，两锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角．
故选D．
10．【答案】A
【解析】故选A．
11．【答案】C
【解析】根据图形，8点整分针与时针的夹角正好是故选C．
12．【答案】3，45，36，22.54
【解析】3.76°=3°+0.76×60′=3°+45.6′=3°+45′+0.6×60″=3°45′36″；
24″=（24÷60）″=0.4′，32′+0.4′=32.4′，32.4′=32.4÷60=0.54°，
所以，22°32′24″=22.54°．
故答案为：3，45，36，22.54．
13．【答案】喷泉在小雨的南偏东30°方向，距离小雨70米
【解析】雨在广场喷泉的北偏西30°方向，距离喷泉70米处，那么喷泉在小雨的南偏东30°方向，距离小雨70米处．
故答案为：喷泉在小雨的南偏东30°方向，距离小雨70米.
14．【答案】101°18′
【解析】O是直线l上一点，∠1+∠2=78?42′，
所以
所以
故答案为：101°18′．
18．【解析】设这个角为x，
由题意得3（90°–x）=180°–x–24°，
解得x=57°．
答：这个角的度数为57°．
19．【答案】B
【解析】A、早晨6点时针与分针之间的夹角是180°，故A错误；
B、下午13点时针与分针之间的夹角是30°，故B正确；
C、中午12点时针与分针之间的夹角是0度，故C错误；
D、上午9点时针与分针之间的夹角是90°，故D错误；
故选B．
20．【答案】B
【解析】因为0.62°=0.62×60′=37.2′，0.2×60″=12″，所以31.62°=31°37′12″．故选B．
21．【答案】60°
【解析】因为∠1–∠2=∠2–∠3，所以∠1＋∠3=2∠2.
又因为∠1＋∠2＋∠3=180°，所以3∠2=180°，∠2=60°.
故答案为：60°.
22．【答案】114
23．【答案】∠AOB；∠AOC或∠BOC
【解析】（1）因为OC平分∠AOB，所以∠AOC=∠AOB；
（2）由角平分线的定义知，若∠AOB=2∠AOC或∠BOC，则OC为∠AOB的平分线．
故答案为：（1）∠AOB；（2）∠AOC或∠BOC．
24．【解析】（1）图中∠AOD的补角是∠AOE，∠AOC的余角是∠BOC，故答案为：∠AOE，∠BOC；
（2）因为∠AOC=35°，∠AOB=90°，
所以∠BOC=∠AOB–∠AOC=90°–35°=55°，
因为OB平分∠COE，
所以∠BOE=∠BOC=55°，
所以∠BOD=180°–∠BOE=180°–55°=125°.
25．【解析】（1）∠MOC=∠MON–∠BOC=90°–65°=25°，故答案为：25°；
（2）因为OC是∠MOB的平分线，
所以∠MOB=2∠BOC=2×65°=130°，
所以旋转角∠BON=∠MOB–∠MON=130°–90°=40°，
26．【答案】140°
【解析】因为直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，所以∠EOB=90°，
因为∠EOD=50°，所以∠BOD=40°，则∠BOC的度数为：180°–40°=140°．故答案为：140°．
27．【答案】150°42′
【解析】因为∠BOC=29°18′，所以∠AOC的度数为：180°–29°18′=150°42′．故答案为：150°42′．
28．【答案】145
【解析】180°–35°=145°，则∠α的补角为145°，故答案为：145．