习题课 直线、平面平行与垂直
【课时目标】 1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进一步体会化归思想在证明中的应用．
a、b、c表示直线，α、β、γ表示平面．
位置关系
判定定理(符号语言)
性质定理(符号语言)
直线与平面平行
a∥b且________?a∥α
a∥α，________________?a∥b
平面与平面平行
a∥α，b∥α，且________________?α∥β
α∥β，________________?a∥b
直线与平面垂直
l⊥a，l⊥b，且________________?l⊥α
a⊥α，b⊥α?________
平面与平面垂直
α⊥β，α∩β＝a，____________
?b⊥β
一、选择题
1．不同直线M、n和不同平面α、β．给出下列命题：
①?M∥β； ②?n∥β；
③?M，n异面； ④?M⊥β．
其中假命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数有( )
A．4 B．1 C．2 D．3
3．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( )
①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；
③a∥α，a⊥b?b⊥α．
A．1 B．2 C．3 D．0
4．过平面外一点P：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段
D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段
6．已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC外，PH⊥面ABC于H，则垂足H是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
二、填空题
7．三棱锥D－ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角A－BC－D的大小为________．
8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是________．(填序号)
三、解答题
10．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA．
11．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．
(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求的值．
能力提升
12．四棱锥P—ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：
(1)根据图中的信息，在四棱锥P—ABCD的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种)：
①一对互相垂直的异面直线________；
②一对互相垂直的平面________；
③一对互相垂直的直线和平面________；
(2)四棱锥P—ABCD的表面积为________．
13．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB；
(3)求四面体B－DEF的体积．
转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为
即利用线线平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明面面平行(垂直)；反过来，又利用面面平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直)，甚至平行与垂直之间的转化．这样，来来往往，就如同运用“四渡赤水”的战略战术，达到了出奇制胜的目的．
习题课 直线、平面平行与垂直 答案
知识梳理
a?α，b?α a?β，α∩β＝b a?β，b?β，a∩b＝P α∩γ＝a，β∩γ＝b a?α，b?α，a∩b＝P a∥b a?β b⊥a，b?α
作业设计
1．D [命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能n?β；命题③不正确，如果m、n有一条是α、β的交线，则m、n共面；命题④不正确，m与β的关系不确定．]
2．C [(2)和(4)对．]
3．A [①正确．]
4．B [①④正确．]
5．A [
连接AC，AB1，B1C，
∵BD⊥AC，AC⊥DD1，
BD∩DD1＝D，
∴AC⊥面BDD1，∴AC⊥BD1，
同理可证BD1⊥B1C，
∴BD1⊥面AB1C．
∴P∈B1C时，始终AP⊥BD1，选A．]
6．C [
如图所示，由已知可得PA⊥面PBC，PA⊥BC，又PH⊥BC，
∴BC⊥面APH，BC⊥AH．
同理证得CH⊥AB，∴H为垂心．]
7．90°
解析
由题意画出图形，数据如图，取BC的中点E，
连接AE、DE，易知∠AED为二面角A—BC—D的平面角．
可求得AE＝DE＝，由此得AE2＋DE2＝AD2．
故∠AED＝90°．
8．36
解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．
9．①④
10．证明 (1)如图所示，
取EC的中点F，连接DF，∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BC，又由已知得DF∥BC，∴DF⊥EC．
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵EF＝EC＝BD，
FD＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA，
故ED＝DA．
(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则MN綊EC，
∴MN∥BD，∴N在平面BDM内，
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又CA⊥BN，
∴BN⊥平面ECA，BN?平面MNBD，
∴平面MNBD⊥平面ECA．
即平面BDM⊥平面ECA．
(3)∵BD綊EC，MN綊EC，
∴BD綊MN，
∴MNBD为平行四边形，
∴DM∥BN，∵BN⊥平面ECA，
∴DM⊥平面ECA，又DM?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．
11．(1)证明 因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1．
又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1．又B1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．
(2)解 设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，
即＝1．
12．(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD) ②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB) ③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)
(2)2a2＋a2
解析 (2)依题意：正方形的面积是a2，
S△PAB＝S△PAD＝a2．
又PB＝PD＝a，∴S△PBC＝S△PCD＝a2．
所以四棱锥P—ABCD的表面积是S＝2a2＋a2．
13．
(1)证明 如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H为BC的中点，
故GH綊AB．
又EF綊AB，∴EF綊GH．∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH．而EG?平面EDB，FH?平面EDB，
∴FH∥平面EDB．
(2)证明 由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC．
又EF∥AB，∴EF⊥BC．
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．
∴EF⊥FH．∴AB⊥FH．
又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．
∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．
又FH∥EG，∴AC⊥EG．又AC⊥BD，EG∩BD＝G，
∴AC⊥平面EDB．
(3)解 ∵EF⊥FB，∠BFC＝90°∴BF⊥平面CDEF．
∴BF为四面体B－DEF的高．
又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝．
VB－DEF＝××1××＝．
第二章 章末检测（A）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则( )
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P一定在直线AC或BD上
D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上
2．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A∈l，l?α?A∈α
3．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
4．在空间中，下列说法中不正确的是( )
A．两组对边相等的四边形是平行四边形
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊥α，n⊥α，则n⊥m
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
D．若α⊥β，m?α，则m⊥β
8．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有( )
A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
9．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行
B．相交且垂直
C．异面直线
D．相交成60°角
10．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为( )
A．π B．π C．π D．π
11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
12．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．
14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
16．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b?α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b?α，则b∥α．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)
如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？
18．(12分) 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．
求证：(1)EF∥面ACD；
(2)面EFC⊥面BCD．
19．(12分) 如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．
20．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
21．(12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．
(1)求证：BC′⊥平面AC′D；
(2)求点A到平面BC′D的距离．
22．(12分) 如图，在五面体ABC－DEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°．
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明CD⊥平面ABF；
(3)求二面角B－EF－A的正切值．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系(A) 答案
1．B [(如图)，∵P∈HG，HG?面ACD，
∴P∈面ACD，同理P∈面BAC，
面BAC∩面ACD＝AC；
∴P∈AC，选B．]
2．C [若直线l∩α＝A，显然有l?α，A∈l，但A∈α．]
3．D [当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．]
4．A
5．D [由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°．]
6．B
7．C [A中还有可能n?α；B中n∥m；D中还有可能m∥β或m?β或相交不垂直；C中，由于m∥β，设过m的平面γ与β交于b，则m∥b，又m⊥α，则b⊥α，又b?β，则α⊥β，所以C正确．]
8．A [∵四边形SG1G2G3是正方形，
∴SG1⊥G1E，EG1⊥G2F，FG3⊥SG3．
当正方形折成四面体之后，上述三个垂直关系仍保持不变，
EG，GF成为四面体的面EGF的相邻两条边，
因此，在四面体S－EFG中侧棱SG⊥GE，SG⊥GF，
∴SG⊥平面EFG．]
9．D [恢复成正方体(如图)，
易知△ABC为等边三角形，
所以∠ABC＝60°．选D．]
10．C [球心O为AC中点，半径为R＝AC＝，
V＝πR3＝π．选C．]
11．B [证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．]
12．A [连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，
则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，
所以∠B′DC＝90°．]
13．9
解析 由面面平行的性质得AC∥BD，＝，
解得SD＝9．
14．a>6
解析 (如图)
由题意知：PA⊥DE，
又PE⊥DE，
所以DE⊥面PAE，∴DE⊥AE．
易证△ABE∽△ECD．
设BE＝x，则＝，即＝．
∴x2－ax＋9＝0，由Δ>0，解得a>6．
15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
解析 由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，
只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，
还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．
16．④
解析 ①中b可能在α内；②a与b可能异面；③a可能与α内的直线异面．
17．解 直线MN∥平面A1BC1，
证明如下：
∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1．
∴MN?平面A1BC1．
如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1．
∵NO1綊D1C1，
MB綊D1C1，∴NO1綊MB．
∴四边形NO1BM为平行四边形．∴MN∥BO1．
又∵BO1?平面A1BC1，
∴MN∥平面A1BC1．
18．证明 (1)∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF?面ACD，AD?面ACD，∴EF∥面ACD．
(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD．
∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．
又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC．∵BD?面BCD，
∴面EFC⊥面BCD．
19．证明 (1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，
∴SA⊥BC，
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC．
∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．
又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC．
∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF．
∴AF⊥SC．
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC．
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD．
∴DC⊥AG．
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?面AEF，
∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．
20．(1)证明
连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC中点，
∴OE∥PA．
∵OE?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥面BDE．
∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．
又∵BD?面BDE，∴面PAC⊥面BDE．
(2)解 取OC中点F，连接EF．
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．
又∵PO⊥面ABCD，
∴EF⊥面ABCD
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，
∴∠EOF＝30°．
在Rt△OEF中，
OF＝OC＝AC＝a，
∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a．
∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3．
21．(1)证明 ∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上，
∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA．
又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，
∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′．
又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D．
∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D．
(2)解
如图所示，
过A作AE⊥C′D，垂足为E，连接BE．
∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE．
∴AE⊥平面BC′D．
故AE的长就是A点到平面BC′D的距离．
∵AD⊥AB，DA⊥BC′，
∴AD⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′．
在Rt△AC′B中，AC′＝＝3．
在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝3．
在Rt△C′AD中，由面积关系，得
AE＝＝＝．
∴点A到平面BC′D的距离是．
22．(1)解 因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．
所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．
在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝2，
CE＝＝3，
所以cos ∠CED＝＝．
所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为．
(2)证明 如图，过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°．
由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB．
又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF．
(3)解 由(2)及已知，可得AG＝，即G为AD的中点．
取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF．
因为BC∥AD，所以BC∥EF．
过点N作NM⊥EF，交BC于点M，
则∠GNM为二面角B－EF－A的平面角．
连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM，
从而BC⊥GM．
由已知，可得GM＝．
由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．
在Rt△NGM中，tan ∠GNM＝＝．
所以二面角B－EF－A的正切值为．
第二章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．给出下列语句：
①一个平面长3 m，宽2 m；
②平面内有无数个点，平面可以看成点的集合；
③空间图形是由空间的点、线、面所构成的．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．a∥β，则a平行于β内的( )
A．一条确定的直线 B．任意一条直线
C．所有直线 D．无数多条直线
3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是( )
4．下列命题正确的是( )
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行
D．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
5．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB与∠A1O1B1( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．以上均不对
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
7．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是( )
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m?α，n∥α，则m∥n
D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n
8．给出以下四个命题( )
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
其中真命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
9．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l?β
B．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
11．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
12．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直线AB与CD交于O，若AO＝8，BO＝9，CD＝34，则CO＝________．
14．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．①若AC＝BD，则四边形EFGH是________；②若AC⊥BD，则四边形EFGH是________．
15．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝a，这时二面角B－AD－C的大小为________．
16．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分) 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足＝＝，＝＝2．
(1)求证：四边形EFGH是梯形；
(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位线的长．
18．(12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；
②证明：面PBD⊥面AGC．
19．(12分) 如图所示，在四面体ABCD中，若棱CD＝，其余各棱长都为1，试问：在这个四面体中，是否存在两个面互相垂直？证明你的结论．
20．(12分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．
21．(12分) 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1．
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE．
22．(12分) 如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
(1)求证：OD∥平面PAB；
(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系(B) 答案
1．B
2．D [直线a平行于过a且与α相交的平面的交线，在平面α内与交线平行的直线有无数条．]
3．C [
易知A、B中的直线是平行的，故一定共面，D选项的四个点恰好在一个六边形的截面上(如图所示)．]
4．C [可以以正方体为载体作出判断．]
5．C
6．B [因为AD1⊥A1D，且AD1⊥A1B1．]
7．C [关键在于“共面的直线m、n”，且直线m，n没有公共点，故一定平行．]
8．B [①②④正确．]
9．C [当l⊥α，α⊥β时不一定有l?β，还有可能l∥β，故A不对，当l∥α，α∥β时，l?β或l∥β，故B不对，若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此C正确，若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l?β，故D不对．]
10．D [∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．
∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．从而B一定正确．
∵A∈α，AB∥l，l?α，∴B∈α．
∴AB?β，l?β．∴AB∥β．故C也正确．
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，
当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．]
11．D [对于选项D，∵BC∥AD，∴∠B1CB即为AD与CB1所成角，此角为45°，故D错．]
12．D [如图所示，在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E．连接BE．
?C1E⊥平面BDD1B1．
∴∠C1BE的正弦值就是所求值．
∵BC1＝＝，C1E＝＝．
∴sin∠C1BE＝＝＝．]
13．16或272
解析 当AB与CD的交点O在两平面之间时CO＝16；当AB与CD的交点O在两平面之外时，CO＝272．
14．菱形 矩形
15．60°
解析 如图所示可知，∠CDB为二面角B－AD－C的平面角，由CD＝BD＝BC＝a，可知∠CDB＝60°．
16．E是SA的中点
解析 连接AC交BD于O，
则O为AC中点，
∴EO∥SC
EO?面EBD，SC?面EBD，
∴SC∥面EBD．
17．(1)证明 因为＝＝，
所以EH∥BD，且EH＝BD．
因为＝＝2，
所以FG∥BD，且FG＝BD．
因而EH∥FG，且EH＝FG，
故四边形EFGH是梯形．
(2)解 因为BD＝a，所以EH＝a，FG＝a，所以梯形EFGH的中位线的长为(EH＋FG)＝a．
18．(1)解 该几何体的直观图如图所示
(2)①证明 连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD．
又OG?面AGC，PD?面AGC，所以PD∥面AGC．
②证明 连接PO，由三视图，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO．
又AO⊥BO，所以AO⊥面PBD．
因为AO?面AGC，
所以面PBD⊥面AGC．
19．解 存在两个互相垂直的平面，
即平面ACD⊥平面BCD．
过A作AE⊥CD，∵AD＝AC＝1，DC＝，
∴∠DAC＝90°，
∴AE＝，连接BE，
∵BD＝BC＝1，CD＝，BE⊥DC，BE＝，
∴∠AEB是二面角A—CD—B的平面角．
∵AB＝1，∴AB2＝AE2＋BE2，
∴∠AEB＝90°，
∴平面ACD⊥平面BCD．
20．(1)解 ∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，
且平面ABCD∩平面PBO＝BO，
∴BO∥CD．
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．
则BC＝DO，而AD＝3BC，
∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．
(2)证明 ∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，
且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
∴AB⊥PD．
又PA⊥PD，且AB∩PA＝A，
∴PD⊥平面PAB．
又PD?平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD．
21．
证明 (1)如图设AC与BD交于点G．
因为EF∥AG，且EF＝1，
AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG．
因为EG?平面BDE，AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
(2)连接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG＝1，
∴四边形CEFG为平行四边形，
又∵CE＝EF＝1，∴?CEFG为菱形，
∴EG⊥CF．
在正方形ABCD中，AC⊥BD．
∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，
∴BD⊥平面CEFG．∴BD⊥CF．
又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE．
22．(1)证明 如图，∵O、D分别为AC、PC的中点，
∴OD∥PA．
又PA?平面PAB，OD?平面PAB，
∴OD∥平面PAB．
(2)解 ∵AB⊥BC，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC．
又∵OP⊥平面ABC，
∴PA＝PB＝PC．
取BC的中点E，连接PE，OE，
则BC⊥平面POE，
作OF⊥PE于F，
连接DF，则OF⊥平面PBC，
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
设AB＝BC＝a，
则PA＝PB＝PC＝2a，OA＝OB＝OC＝a，
PO＝a．
在△PBC中，∵PE⊥BC，PB＝PC，
∴PE＝a．∴OF＝a．
又∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD＝＝a．
在Rt△ODF中，sin∠ODF＝＝．
∴OD与平面PBC所成角的正弦值为．
课件50张PPT。第二章复习平面(公理1、公理2、公理3、公理4)空间直线、平面的位置关系直线与
直线的
位置关
系直线与
平面的
位置关
系平面与
平面的
位置关
系本章知识网络直线和平面的位置关系直线和平面的平行关系平面和平面的平行关系本章知识梳理平行问题?a直线和平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点；
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
(2)直线与平面相交——有且只有一个
公共点；
?a?aA直线和平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点；
(2)直线与平面相交——有且只有一个
公共点；
(3)直线与平面平行——没有公共点.?a?aA直线和平面的位置关系直线和平面平行的判定(1) 定义——直线与平面没有公共点.直线和平面平行的判定(1) 定义——直线与平面没有公共点. 定理——如果平面外一条直线和这
个平面的一条直线平行，那么这条直
线和这个平面平行.直线和平面平行的判定(1) 定义——直线与平面没有公共点. 定理——如果平面外一条直线和这
个平面的一条直线平行，那么这条直
线和这个平面平行.(3) 两条平行直线中的一条与平面平行，则另一条也与这个平面平行.直线和平面平行的性质(1)如果一条直线与一个平面平行，
则这条直线与这个平面无公共点.直线和平面平行的性质(1)如果一条直线与一个平面平行，
则这条直线与这个平面无公共点.(2)如果一条直线与一个平面平行，
则这条直线与这个平面内的直线
成异面直线或平行直线.直线和平面平行的性质(1)如果一条直线与一个平面平行，
则这条直线与这个平面无公共点.(2)如果一条直线与一个平面平行，
则这条直线与这个平面内的直线
成异面直线或平行直线.(3)如果一条直线与一个平面平行，
经过这条直线的平面和这个平面相
交，则这条直线与交线平行.直线和平面平行的性质4. 如果平面外的两条平行线中的一条
与这个平面平行，则另一条直线与这
个平面也平行.ab直线和平面平行的性质4. 如果平面外的两条平行线中的一条
与这个平面平行，则另一条直线与这
个平面也平行.abc平面和平面平行的判定1. 两个平面没有公共点.2. 一个平面内有两条相交直线
都平行于另一个平面.3. 一个平面内两条相交直线与
另一平面内两条相交直线分
别平行.两
个
平
面
平
行2. 其中一个平面内的直线平行
于另一个平面.3. 两个平行平面同时和第三个
平面相交，它们的交线平行.4. 夹在两个平行平面间的平行
线段相等.1. 两个平面没有公共点.两
个
平
面
平
行平面和平面平行的性质1. 平行于同一平面的二直线的位置
关系是A. 一定平行B. 平行或相交C. 相交D. 平行，相交，异面( D )练习1. 平行于同一平面的二直线的位置
关系是A. 一定平行B. 平行或相交C. 相交D. 平行，相交，异面( D )练习2. 点A是平面?外的一点，过A和平
面?平行的直线有 条.练习A?2. 点A是平面?外的一点，过A和平
面?平行的直线有 条.A?练习2. 点A是平面?外的一点，过A和平
面?平行的直线有 条.A无数?练习练习Al3. 点A是直线l外的一点，过A和直
线l平行的平面有 条.3. 点A是直线l外的一点，过A和直
线l平行的平面有 条.练习无数练习3. 点A是直线l外的一点，过A和直
线l平行的平面有 条.4. 过两条平行线中的一条和另一条
平行的平面有 个.练习4. 过两条平行线中的一条和另一条
平行的平面有 个.练习4. 过两条平行线中的一条和另一条
平行的平面有 个.无数练习5. 过两条异面直线中的一条和另一
条平行的平面有 个.练习5. 过两条异面直线中的一条和另一
条平行的平面有 个.练习5. 过两条异面直线中的一条和另一
条平行的平面有 个.且仅有一练习6. 如果l1 // l2 , l1 平行于平面?， 则
l2 平面?.练习6. 如果l1 // l2 , l1 平行于平面?， 则
l2 平面?.l1 l2 ?练习6. 如果l1 // l2 , l1 平行于平面?， 则
l2 平面?.l1 l2 ?练习? 或 // l2 7. 如果两直线a,b相交，a平行于
平面?，则b与平面?的位置关系
是 .练习7. 如果两直线a,b相交，a平行于
平面?，则b与平面?的位置关系
是 .a?b练习7. 如果两直线a,b相交，a平行于
平面?，则b与平面?的位置关系
是 .a?bb练习7. 如果两直线a,b相交，a平行于
平面?，则b与平面?的位置关系
是 .a?bb练习相交或平行8. 过直线l外两点 ，作与直线l平行
的平面，这样的平面 ( )A. 有无数个C. 只能作出一个B. 不能作出D. 以上都有可能练习lBA8. 过直线l外两点 ，作与直线l平行
的平面，这样的平面 ( )A. 有无数个C. 只能作出一个B. 不能作出D. 以上都有可能BAl练习8. 过直线l外两点 ，作与直线l平行
的平面，这样的平面 ( )A. 有无数个C. 只能作出一个B. 不能作出D. 以上都有可能BAl练习D判断下列命题是否正确？1. 平行于同一直线的两平面平行.2. 垂直于同一直线的两平面平行.4. 若n??，m??，n∥?，m∥?，
则?∥?.3. 若?∥?, 则平面?内任一直线a,
a∥?.判断下列命题是否正确？1. 平行于同一直线的两平面平行.2. 垂直于同一直线的两平面平行.4. 若n??，m??，n∥?，m∥?，
则?∥?.3. 若?∥?, 则平面?内任一直线a,
a∥?.判断下列命题是否正确？1. 平行于同一直线的两平面平行.2. 垂直于同一直线的两平面平行.4. 若n??，m??，n∥?，m∥?，
则?∥?.3. 若?∥?, 则平面?内任一直线a,
a∥?.判断下列命题是否正确？1. 平行于同一直线的两平面平行.2. 垂直于同一直线的两平面平行.4. 若n??，m??，n∥?，m∥?，
则?∥?.3. 若?∥?, 则平面?内任一直线a,
a∥?.判断下列命题是否正确？1. 平行于同一直线的两平面平行.2. 垂直于同一直线的两平面平行.4. 若n??，m??，n∥?，m∥?，
则?∥?.3. 若?∥?, 则平面?内任一直线a,
a∥?.例1 已知m，n为两条不同的直线，?、
?为两个不同的平面，则下列命题中
正确的是 ( D )A. m??, n??, m∥?, n∥?? ?∥?
B. ?∥?, m??, n??? m∥n
C. m⊥?, m⊥n? n∥?
D. m∥n, n⊥?, ? m⊥?例1 已知m，n为两条不同的直线，?、
?为两个不同的平面，则下列命题中
正确的是 ( D )A. m??, n??, m∥?, n∥?? ?∥?
B. ?∥?, m??, n??? m∥n
C. m⊥?, m⊥n? n∥?
D. m∥n, n⊥?, ? m⊥?例2 如图，在五面体ABCDEF中，点
O是矩形ABCD的对角线的交点，面
CDE是等边三角形，棱EF∥证明FO∥平面CDE.＝OABCDFE线
平
行
线线
平
行
面面
平
行
面线面平行判定线面平行性质面面平行判定面面平行性质三种平行关系的转化课堂小结课后作业1. 阅读本章知识内容，从中体会知
识的发展过程，理会问题解决的思
想方法；
2. 教材P.78A组第4、5 、9题.课件50张PPT。第二章复习教材P.78复习参考题
A组第4、5、9题一、习题讲评二、知识回顾1. 直线和平面垂直的判定及性质；
2. 平面和平面垂直的判定及性质.例1. 如图，在三棱锥V-ABC中，
VA＝VC，AB＝BC，
求证：VB⊥AC．VABC三、例题分析例2. 过△ABC所在平面?外一点P， 作
PO⊥?，垂足为O，连接PA，PB，PC.
(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90o，则点O
是AB边的 点．
(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的
心．
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则
点O是△ABC的 心．例3. 如图，已知空间四边形ABCD的边
BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，
E为垂足，作AH⊥BE于H.
求证： AH⊥平面BCD．EABDCH例4. 已知ABCD是正方形, PA⊥平面ABCD, BE⊥PC, E为垂足.
求证：平面BDE⊥平面PBC．ABCDPE例5. 证明：两两垂直的平面的交线也两两
垂直．??? aAbc例5. 证明：两两垂直的平面的交线也两两
垂直．已知：平面?⊥平面?，平面?⊥平面?，
平面?⊥平面?， ?∩?＝a，?∩? ＝b，
?∩? ＝c，a∩b∩c＝A．求证：a⊥b，b⊥c，
c⊥a.??? aAbc例5. 证明：两两垂直的平面的交线也两两
垂直．课后作业1. 教材P.78A组第7题；
2. 教材P.79B组第1、2题.第二章复习1. 异面直线所成角；
2. 直线与平面所成角；
3. 两平面所成角.知识回顾举例应用例1. 已知空间四边形ABCD中，
P、Q分别是AB、CD的中点，
且PQ＝3，AC＝4，BD＝2 ，
求AC与BD所成角的大小．例2. 已知四面体ABCD的各棱长均
相等，E、F分别为AB、CD的中点，
求EF与AC所成角的大小．例3. 在四面体ABCD中，平面ABD⊥
平面BCD，△ABD为等边三角形，
CD⊥BD，∠DBC＝30o．
(1) 求二面角A-DC-B的大小；
(2) 求二面角A-BC-D的平面角的正切值.例4. 圆台上、下底面半径分别为2、4，
O1A1、OB分别为上、下底面的半径，
二面角A1-OO1-B是60o，圆台母线与底
面成60o角.
(1) 求A1B和OO1所成角的正切值；
(2) 求圆台的侧面积及体积.例5. 在四棱锥P-ABCD中，底面为直角
梯形，AD∥BC，∠BAD＝90o，PA⊥
底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，
M、N分别为PC、PB的中点，求CD与
平面ADMN所成角的正弦.课后作业《学案》P.63第16题、
P.64第19题、
P.65第21题.第二章复习1. 点到平面的距离；
2. 直线与平面的距离；
3. 平行平面间的距离.知识回顾举例应用例1. 正方形ABCD的边长是2，E、F分别
是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成
直二面角(如图所示).M为矩形AEFD内一
点，如果∠MBE＝∠MBC，MB和平面
BCFE所成角的正切直线EF的距离为 . 那么点M到ADMOEBBNCCF值为 该题较典型的反映了解决空间几何
问题的解题策略：化空间问题为平面问
题来处理.小 结AOBEDC例2. 如图，四面体ABCD中，O、E分别
BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2.
△ABD为等腰直角三角形.∠BAD=90o.
(1) 求证：AO⊥平面BCD；
(2) 求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
(3) 求点E到平面
ACD的距离. AOBEDC例2. 如图，四面体ABCD中，O、E分别
BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2.
△ABD为等腰直角三角形.∠BAD=90o.
(1) 求证：AO⊥平面BCD；
(2) 求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
(3) 求点E到平面
ACD的距离. AOBEMDC例2. 如图，四面体ABCD中，O、E分别
BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2.
△ABD为等腰直角三角形.∠BAD=90o.
(1) 求证：AO⊥平面BCD；
(2) 求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
(3) 求点E到平面
ACD的距离. AOBEMDC例2. 如图，四面体ABCD中，O、E分别
BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2.
△ABD为等腰直角三角形.∠BAD=90o.
(1) 求证：AO⊥平面BCD；
(2) 求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
(3) 求点E到平面
ACD的距离. AOBEMDC例2. 如图，四面体ABCD中，O、E分别
BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2.
△ABD为等腰直角三角形.∠BAD=90o.
(1) 求证：AO⊥平面BCD；
(2) 求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
(3) 求点E到平面
ACD的距离. 1. 空间的距离问题，主要是求空间两点
之间、点到直线、点到平面、两条异面
直线之间、平面和它的平行直线、以及
两个平行平面之间的距离．课堂小结2. 求距离的一般方法和步骤是：
一作——作出表示距离的线段；
二证——证明它就是所要求的距离；
三算——计算其值．
此外，我们还常用体积法求点到平面的
距离．课堂小结课堂小结3. 求距离的关键是化归.即空间距离与角
向平面距离与角化归，各种具体方法如
下：
①求空间中两点间的距离，一般转化为
解直角三角形或斜三角形.
②求点到直线的距离和点到平面的距离，
一般转化为求直角三角形斜边上的高；
或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转
化为三棱锥的高，即用体积法.课后作业《学案》P.64第18题、
P.65第20题.第二章复习1. 多面体的面积和体积公式；
2. 旋转体的面积和体积公式.知识回顾举例应用例1.一个长方体全面积是20cm2，所有棱
长的和是24cm，求长方体的对角线长.举例应用 点评：涉及棱柱面积问题的题目多
以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、
长方体的表面积多被考察. 我们平常的学
习中要多建立一些重要的几何要素(对角
线、内切)与面积、体积之间的关系.例1.一个长方体全面积是20cm2，所有棱
长的和是24cm，求长方体的对角线长.例2. 一个长方体共一顶点的三个面的面积
分别是
长是 ( )，这个长方体对角线的例2. 一个长方体共一顶点的三个面的面积
分别是
长是 ( )，这个长方体对角线的例2. 一个长方体共一顶点的三个面的面积
分别是
长是 ( )思考:长方体的体积?，这个长方体对角线的例2. 一个长方体共一顶点的三个面的面积
分别是
长是 ( ) 点评：解题思路是将三个面的面积
转化为解棱柱面积、体积的几何要素
——棱长.思考:长方体的体积?，这个长方体对角线的例3. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、
F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三
棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么
V1：V2＝ .C1A1B1BAFCE例3. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、
F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三
棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么
V1：V2＝ .7：5C1A1B1BAFCE 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的
转化关系，建立起求解体积的几何元素之
间的对应关系.最后用统一的量建立比值得
到结论即可.例3. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、
F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三
棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么
V1：V2＝ .7：5例4. 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长
为2的菱形，∠DAB＝60o，对角线AC与
BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB
与平面ABCD所成的角为60o，求四棱锥
P－ABCD的体积？PACDOB 点评：本小题重点考查线面垂直、
面面垂直、二面角及其平面角、棱锥
的体积.在能力方面主要考查空间想象
能力.例4. 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长
为2的菱形，∠DAB＝60o，对角线AC与
BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB
与平面ABCD所成的角为60o，求四棱锥
P－ABCD的体积？例5．在三棱锥S—ABC中， AC=BC=5，
SB=5 ，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90o，
(Ⅰ) 证明：SC⊥BC；
(Ⅱ) 求侧面SBC与底面ABC所成二面角
的大小；
(Ⅲ) 求三棱锥的体积VS－ABC.例5．在三棱锥S—ABC中， AC=BC=5，
SB=5 ，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90o，
(Ⅰ) 证明：SC⊥BC；
(Ⅱ) 求侧面SBC与底面ABC所成二面角
的大小；
(Ⅲ) 求三棱锥的体积VS－ABC. 点评：本题比较全面地考查了空间
点、线、面的位置关系.要求对图形必须
具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑
推理.例6. ABCD是边长为4的正方形，E、F分
别是AB、AD的中点，GC垂直于正方形
ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到
平面EFG的距离？ 点评：该问题主要的求解思路是将
点面的距离问题转化为体积问题来求解.
构造以点B为顶点，△EFG为底面的三
棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱
锥的体积的唯一性列方程是解这类题的
方法，从而简化了运算.例6. ABCD是边长为4的正方形，E、F分
别是AB、AD的中点，GC垂直于正方形
ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到
平面EFG的距离？课后作业一个长方体的各顶点均在同一球的球面
上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，
2，3，求此球的表面积．2. 右图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被
一平面所截得到的几何体, 截面为ABC．
已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90o，
AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3.
(I)设点O是AB的中点，
证明: OC∥平面A1B1C1；
(II)求二面角B—AC—A1的大小；
(Ⅲ)求此几何体的体积； ABCC1A1B1O章末检测
一、选择题
1．下列推理错误的是 ( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A∈l，l?α?A∈α
2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．下列命题正确的是 ( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则 ( )
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P一定在直线AC或BD上
D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是 ( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ( )
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有 ( )
A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
8题图 9题图
9．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是 ( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
10．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
10题图 11题图
11．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
12．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 ( )
A．2 B. C. D．1
二、填空题
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b?α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b?α，则b∥α.
其中正确命题的序号是________．
15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
15题图 16题图
16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
三、解答题
17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？
18．ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：
(1)三角形PCD的面积；
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
20．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面
ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
21．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
答案
1．C 2.D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9.A 10．D 11．D 12．D
13．9
14．④
15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
16．a>6
17．解 直线MN∥平面A1BC1，M为AB的中点，证明如下：
∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.
∴MN?平面A1BC1.
如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1.
∵NO1綊D1C1，MB綊D1C1，
∴NO1綊MB.
∴四边形NO1BM为平行四边形．
∴MN∥BO1.
又∵BO1?平面A1BC1，
∴MN∥平面A1BC1.
18．证明 如图所示，连接AN，延长交BE的延长线于P，连接CP.
∵BE∥AF，
∴＝，
由AC＝BF，AM＝FN得MC＝NB.
∴＝.
∴＝，
∴MN∥PC，又PC?平面BCE.
∴MN∥平面BCE.
19．解 (1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.
又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.
因为PD＝＝2，CD＝2，
所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.
(2)如图，取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．
在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，
所以∠AEF＝45°.
因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.
20．(1)证明 连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.
∵OE?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥面BDE.
(2)证明 ∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝O，
∴BD⊥面PAC.
又∵BD?面BDE，
∴面PAC⊥面BDE.
(3)解 取OC中点F，连接EF.
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD.
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°.
在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF·tan 30°＝a，
∴OP＝2EF＝a.
∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.
21．(1)证明 因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
如图，设AC∩BD＝F，连接EF.
因为AC＝2，PA＝2，PE＝2EC，
故PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，
＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知PC⊥EF.
因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以PC⊥平面BED.
(2)解 在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，
所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，
故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，
所以底面ABCD为正方形，AD＝2，
PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD?平面PBC，BC?平面PBC，
故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，
则sin α＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
