课件20张PPT。章末整合提升专题一两直线的位置关系 例 1：已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0.
(1)求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；
(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点
平分，求这条直线方程. 1－1.已知两条直线 l1：x＋my＋8＝0，l2：(m－3)x＋4y＋2m
＝0，问：当 m 为何值时， l1 与 l2 满足下列关系：
(1)相交； (2)平行；(3)重合． 2－1.已知直线方程为 Ax＋By＋C＝0，直线在 x 轴上的截距
为 a，在 y 轴上的截距为 b，直线的斜率为 k，坐标原点到直线的距离为 p，则有()A．k＝b
aC．a＝－kb
D．b2＝p2(1＋k2)答案：D2－2.已知 A(－1,0)，B(2,4)，△ABC 的面积为 10，则动点 C的轨迹方程是()BA．4x－3y－16＝0 或 4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0 或 4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0 或 4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0 或 4x－3y－24＝0专题三中心对称 例 3：(1)点(－1,2)关于原点的对称点的坐标为__________．
(2)原点关于点(－1,2)的对称点的坐标为________．
(3)点(－1,2)关于点(2，－4)的对称点的坐标为__________．
(4)直线 3x－y－4＝0 关于点 P(2，－1)的对称直线的方程为
________________．
思维突破：(1)设所求对称点(a，b)，
则 a－1＝0，b＋2＝0，
∴a＝1，b＝－2.即点(1，－2)． 解：设(x，y)是对称直线上任一点，则(x，y)关于 M(2,3)的
对称点为(4－x,6－y)在直线 4x＋y－1＝0 上．代入整理有 y＋4x
－21＝0，此即为所求直线方程．3－1.求直线 4x＋y－1＝0 关于点 M(2,3)的对称直线的方程．答案：(1)(5,2)(2)2x＋11y＋16＝04－1.如果直线 y＝mx＋2 和直线 y＝3x＋n 关于直线 y＝x 对称，则()AC．m＝3，n＝2
D．m＝3，n＝－6 4－2.在直线 l：3x－y－1＝0 上求一点 P，使得 P 到 A(4,1)
和 B(3,4)的距离之和最小．
习题课 直线的位置关系与距离公式
【课时目标】 熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式，能灵活应用它们解决有关的综合问题．
1．
2．三种常见的对称问题
(1)点关于点的对称
点P(x0，y0)关于点M(a，b)的对称点为P′________________．
(2)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．
(3)线关于点、线的对称
线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P(x，y)的坐标x，y满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．
一、选择题
1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0的对称点为( )
A．(－13,1) B．(－2，－6)
C．(－1，－3) D．(17，－9)
2．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
3．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( )
A．(5，－3) B．(9,0)
C．(－3,5) D．(－5,3)
4．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
5．若点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0与3x－4y＋5＝0之间，则整数b的值为( )
A．5 B．－5 C．4 D．－4
6．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则的最小值是( )
A． B． C．13 D．不存在
二、填空题
7．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为________________．
8．如图所示，已知△ABC的顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6)，直线l平行于AB，且分别交AC、BC于E、F，△CEF的面积是△CAB面积的，则直线l的方程为________．
9．设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|为最小，则这个最小值为________．
三、解答题
10．一条直线被直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．
11．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．
(1)l′与l平行且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；
(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线．
能力提升
12．直线2x－y－4＝0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3,4)的距离之差的最大值．
13．已知M(1,0)、N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，求|PM|2＋|PN|2的最小值及取最小值时点P的坐标．
1．在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．
2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．
3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况．
习题课 直线的位置关系与距离公式 答案
知识梳理
1．(1) (2)
(3)
2．(1)(2a－x0,2b－y0) (2)＝
作业设计
1．C [设对称点为(x0，y0)，
则由得]
2．B [直线3x－4y＋5＝0与x轴交点为，由对称直线的特征知，所求直线斜率为k＝－．
∴y＝－，即3x＋4y＋5＝0．]
3．A [当PQ与已知直线垂直时，垂足Q即为所求．]
4．B [当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，原点到直线距离为1，满足题意．当直线斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x－1)即kx－y＋3－k＝0．由已知＝1，解得
k＝，满足题意．故共存在2条直线．]
5．C [把x＝5代入6x－8y＋1＝0得y＝，
把x＝5代入3x－4y＋5＝0得y＝5，∴又∵b为整数，∴b＝4．]
6．A [＝，
它表示点(x，y)与(1,2)之间的距离，
两点距离的最小值即为点(1,2)到直线5x＋12y＝60的距离，
∴d＝＝．]
7．3x－y＋3＝0
8．x－2y＋5＝0
解析 由已知，直线AB的斜率k＝，
∵EF∥AB，∴直线EF的斜率为k＝．
∵△CEF的面积是△CAB面积的，
∴E是CA的中点，
∴点E的坐标，直线EF的方程是y－＝x，即x－2y＋5＝0．
9．5
解析 设点A关于直线l的对称点A′的坐标为(a，b)，则由AA′⊥l且AA′被l平分，
得
解之得a＝3，b＝－3．∴点A′的坐标为(3，－3)，
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝＝5．
10．解 设所求直线与直线l1交于A(x0，y0)，它关于原点的对称点为B(－x0，－y0)，且B在直线l2上，
由
解得
∴所求直线方程为y＝x＝－x，
即x＋6y＝0．
11．解 (1)直线l：3x＋4y－12＝0，kl＝－，
又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－．
∴直线l′：y＝－(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0．
(2)∵l′⊥l，∴kl′＝．
设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为－b，
由题意可知，S＝|b|·＝4，
∴b＝±．
∴直线l′：y＝(x＋)或y＝(x－)．
(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，
∴l′与l关于原点对称．
任取点(x0，y0)在l上，则在l′上对称点为(x，y)．
x＝－x0，y＝－y0，则－3x－4y－12＝0．
∴l′为3x＋4y＋12＝0．
12．解 找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点．设A′(a，b)，则．
解得，所以|A′B|＝＝3．
13．解 ∵P为直线2x－y－1＝0上的点，
∴可设P的坐标为(m,2m－1)，由两点的距离公式得
|PM|2＋|PN|2＝(m－1)2＋(2m－1)2＋(m＋1)2＋(2m－1)2＝10m2－8m＋4．(m∈R)
令f(m)＝10m2－8m＋4＝102＋≥，
∴当m＝时，|PM|2＋|PN|2取最小值，此时P．
第三章 章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为( )
A．－3 B．－6 C．－ D．
3．下列叙述中不正确的是( )
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．每一条直线都有唯一对应的倾斜角
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
4．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是( )
5．若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于( )
A．2 B．3 C．9 D．－9
6．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．4x－3y＝0
C．4x＋3y＝0
D．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
7．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B． C． D．
8．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤
C．－3≤k≤4 D．以上都不对
9．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为( )
A．－4 B．20 C．0 D．24
10．如果A(1,3)关于直线l的对称点为B(－5,1)，则直线l的方程是( )
A．3x＋y＋4＝0 B．x－3y＋8＝0
C．x＋3y－4＝0 D．3x－y＋8＝0
11．直线mx＋ny＋3＝0在y轴上截距为－3，而且它的倾斜角是直线x－y＝3倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1
12．过点A与B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知l1：2x＋my＋1＝0与l2：y＝3x－1，若两直线平行，则m的值为________．
14．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)
①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．
15．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．
16．已知直线l经过点E(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，则直线l的方程为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x＋y＋1＝0及3x－4＝0，其对角线的交点是D(3,3)，求另两边所在的直线的方程．
18．(12分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．若点A(5,0)到l的距离为3，求直线l的方程．
19．(12分)已知△ABC的两条高线所在直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)．
求(1)BC边所在的直线方程；
(2)△ABC的面积．
20．(12分) 如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
21．(12分) 某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m2)．
22．(12分)三角形ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．求证：△ABC为等腰三角形．
第三章 直线与方程(A) 答案
1．A [利用斜率公式k＝＝＝tan θ，可求倾斜角为30°．]
2．B [当两直线平行时有关系＝≠，可求得a＝－6．]
3．D [α＝90°时，斜率不存在．∴选D．]
4．C
5．D [由kAB＝kAC得b＝－9．]
6．D [当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)
代入得k＝－；当截距不为0时，设方程为＋＝1，
将(3，－4)代入得a＝－1．]
7．D
8．A [
如图：kPB＝，
kPA＝－4，结合图形可知
k≥或k≤－4．]
9．A [垂足(1，c)是两直线的交点，且l1⊥l2，故－·＝－1，∴a＝10．l：10x＋4y－2＝0．将(1，c)代入，得c＝－2；将(1，－2)代入l2：得b＝－12．则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．]
10．A
11．D [依题意－＝－3，－＝tan 120°＝－，
∴m＝，n＝1．故选D．]
12．B [由题意知l1⊥l2，
∴kl1·kl2＝－1．
即－k＝－1，k＝3．]
13．－
14．①⑤
解析 两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为＝．又动直线被l1与l2所截的线段长为2，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．
15．－
解析 设P(x,1)则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0．
∴x＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝－．
16．4x＋2y－8＝0
解析 设直线l的方程为＋＝1．
由题意，得＋＝1， ①
ab＝4． ②
联立①，②，得a＝2，b＝4．
∴l的方程为＋＝1，即4x＋2y－8＝0．
17．解 由题意得解得
即平行四边形给定两邻边的顶点为为．
又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为．
∵另两边所在直线分别与直线x＋y＋1＝0及3x－y＋4＝0平行，∴它们的斜率分别为
－1及3，
即它们的方程为y－＝－
及y－＝3，
∴另外两边所在直线方程分别为x＋y－13＝0和3x－y－16＝0．
18．解 方法一 联立得交点P(2,1)，
当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，
即kx－y＋1－2k＝0，
∴＝3，解得k＝，
∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0．
当直线斜率不存在时，直线x＝2也符合题意．
∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2．
方法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，
∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2．
19．解 (1)∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设kAB＝－，kAC＝1．
∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0．
由得B(7，－7)．
由得C(－2，－1)．
∴BC边所在的直线方程2x＋3y＋7＝0．
(2)∵|BC|＝，A点到BC边的距离d＝，
∴S△ABC＝×d×|BC|＝××＝．
20．解 设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为，
由条件可得：，
得，解得，即B(6,4)，同理可求得C点的坐标为(5,0)．故所求直线BC的方程为＝，即4x－y－20＝0．
21．解 在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划出一块长方形土地，以BC，EA的交点为原点，以BC，EA所在的直线为x，y轴，建立直角坐标系，则AB的方程为＋＝1，设P，则长方形的面积S＝(100－x)(0≤x≤30)．化简得S＝－x2＋x＋6 000(0≤x≤30)．
当x＝5，y＝时，S最大，其最大值为6 017 m2．
22．证明
作AO⊥BC，垂足为O，以BC边所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如右图所示．设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由两点间距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)·(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即c＝－b，所以△ABC为等腰三角形．
第三章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．如图直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则有( )
A．α1<α2<α3 B．α1<α3<α2
C．α3<α2<α1 D．α2<α1<α3
2．直线x＋2y－5＝0与2x＋4y＋a＝0之间的距离为，则a等于( )
A．0 B．－20
C．0或－20 D．0或－10
3．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值是( )
A．－3 B．2
C．－3或2 D．3或－2
4．下列说法正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
5．点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则( )
A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10
C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝5
6．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
7．过点M(2,1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，且|MP|＝|MQ|，则l的方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－4＝0
8．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该点的坐标是( )
A．(－2,1) B．(2,1) C．(1，－2) D．(1,2)
9．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
11．已知点P(a，b)和Q(b－1，a＋1)是关于直线l对称的两点，则直线l的方程是( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0
12．设x＋2y＝1，x≥0，y≥0，则x2＋y2的最小值和最大值分别为( )
A．，1 B．0,1 C．0， D．，2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．不论a为何实数，直线(a＋3)x＋(2a－1)y＋7＝0恒过第________象限．
14．原点O在直线l上的射影为点H(－2,1)，则直线l的方程为______________．
15．经过点(－5,2)且横、纵截距相等的直线方程是____________________．
16．与直线3x＋4y＋1＝0平行且在两坐标轴上截距之和为的直线l的方程为______________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知直线2x＋(t－2)y＋3－2t＝0，分别根据下列条件，求t的值：(1)过点(1,1)；(2)直线在y轴上的截距为－3．
18．(12分)直线l过点(1,4)，且在两坐标轴上的截距的积是18，求此直线的方程．
19．(12分)光线从A(－3,4)点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过D(－1,6)点，求直线BC的方程．
20．(12分) 如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？
21．(12分)已知△ABC的顶点A为(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．
22．(12分)已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长度为5，求直线l的方程．
第三章 直线与方程(B) 答案
1．B 2．C 3．A
4．D [斜率有可能不存在，截距也有可能不存在．]
5．D [由对称关系n＝，－3＝，可得m＝3，n＝5．]
6．B [所求直线过线段AB的中点(－2,2)，且斜率k＝－3，可得直线方程为3x＋y＋4＝0．]
7．D [由题意可知M为线段PQ的中点，Q(0,2)，P(4,0)，可求得直线l的方程x＋2y－4＝0．]
8．A [将原直线化为点斜式方程为y－1＝m(x＋2)，可知不论m取何值直线必过定点(－2,1)．]
9．C [将原直线方程化为斜截式为y＝－x－，由AC<0且BC<0，可知AB>0，直线斜率为负，截距为正，故不过第三象限．]
10．D [所求直线与已知直线平行，且和点(1，－1)等距，不难求得直线为2x＋3y＋8＝0．]
11．D [∵kPQ＝＝－1，∴kl＝1．
显然x－y＝0错误，故选D．]
12．A [
x2＋y2为线段AB上的点与原点的距离的平方，由数形结合知，
O到线段AB的距离的平方为最小值，即d2＝，|OB|2＝1为最大值．]
13．二
解析 直线方程可变形为：(3x－y＋7)＋a(x＋2y)＝0．
由得，．
∴直线过定点(－2,1)．因此直线必定过第二象限．
14．2x－y＋5＝0
解析 所求直线应过点(－2,1)且斜率为2，故可求直线为2x－y＋5＝0．
15．y＝－x或x＋y＋3＝0
解析 不能忽略直线过原点的情况．
16．3x＋4y－4＝0
解析 所求直线可设为3x＋4y＋m＝0，再由－－＝，可得m＝－4．
17．解 (1)代入点(1,1)，
得2＋(t－2)＋3－2t＝0，则t＝3．
(2)令x＝0，得y＝＝－3，解得t＝．
18．解 设直线l的方程为＋＝1，
则，解得或
则直线l的方程2x＋y－6＝0
或8x＋y－12＝0．
19．解
如图所示，由题设，点B在原点O的左侧，根据物理学知识，直线BC一定过(－1,6)关于y轴的对称点(1,6)，直线AB一定过(1,6)关于x轴的对称点(1，－6)且kAB＝kCD，
∴kAB＝kCD＝＝－．
∴AB方程为y－4＝－(x＋3)．
令y＝0，得x＝－，
∴B．
CD方程为y－6＝－(x＋1)．
令x＝0，得y＝，∴C．
∴BC的方程为＋＝1，
即5x－2y＋7＝0．
20．解
如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，
若P′(异于P)在直线上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|．
因此，供水站只有在P点处，才能取得最小值，设A′(a，b)，
则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，
即解得
即A′(3,6)．
所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，
解方程组得
所以P点的坐标为．
故供水站应建在点P处．
21．解 设B(4y1－10，y1)，
由AB中点在6x＋10y－59＝0上，
可得：6·＋10·－59＝0，
y1＝5，
所以B(10,5)．
设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，
则有
?A′(1,7)，
∵点A′(1,7)，B(10,5)在直线BC上，
∴＝，
故BC：2x＋9y－65＝0．
22．解 方法一 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与直线l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)．截得的线段AB的长为|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1．解方程组得
所以点A的坐标为．
解方程组得
所以点B的坐标为．
因为|AB|＝5，所以2＋2＝25．
解得k＝0，即所求直线为y＝1．
综上所述，所求直线方程为x＝3或y＝1．
方法二 设直线l与直线l1，l2的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0．
两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5． ①
因为|AB|＝5，所以(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25． ②
由①②可得或所以直线的倾斜角为0°或90°．
又P(3,1)在l上，所以x＝3或y＝1．
课件13张PPT。第三章小结典型例题例1. 设直线l经过A(－2, 0)，B(0, 3)两点，你能写出几种形式的直线l的方程？典型例题例2. 设直线l1的方程为x＋y＝2，
直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当 时， l1与l2相交；
(2)当 时， l1与l2平行，(3)当 时， l1与l2垂直.它们间的距离为 ；典型例题例2. 设直线l1的方程为x＋y＝2，
直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当 时， l1与l2相交；
(2)当 时， l1与l2平行，a≠1(3)当 时， l1与l2垂直.它们间的距离为 ；典型例题例2. 设直线l1的方程为x＋y＝2，
直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当 时， l1与l2相交；
(2)当 时， l1与l2平行，a≠1a＝1(3)当 时， l1与l2垂直.它们间的距离为 ；典型例题例2. 设直线l1的方程为x＋y＝2，
直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当 时， l1与l2相交；
(2)当 时， l1与l2平行，a≠1a＝1(3)当 时， l1与l2垂直.它们间的距离为 ；典型例题例2. 设直线l1的方程为x＋y＝2，
直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当 时， l1与l2相交；
(2)当 时， l1与l2平行，a≠1a＝1a＝－1(3)当 时， l1与l2垂直.它们间的距离为 ；典型例题例3. 已知△ABC的顶点A(5, 1)，AB边上
的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，
AC边上的高BH所在直线方程为
x－2y－5＝0.
求(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程.典型例题例4. 过点P(3, 0)有一条直线l，它夹在两
条直线l1: 2x－y－2＝0与l2: x＋y＋3＝0
之间的线恰段恰被点P平分，求直线l的
方程.典型例题例5. 在x轴上求一点P，使以点A(1, 2)，
B(3, 4)和P为顶点的三角形的面积为10.典型例题例6. 求证：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0
与Ax＋By＋C2＝0间的距离为例7.求两条直线l1：3x＋4y＋1＝0,
l2：5x＋12y－1＝0的夹角平分线
方程.典型例题课后作业1. 复习本章知识内容；2.《学案》P.89双基训练.章末检测
一、选择题
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为 ( )
A．－3 B．－6 C．－ D.
3．若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为( )
A. B. C．10 D．－10
4．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是 ( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
5．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．12
6．点M(1,2)与直线l：2x－4y＋3＝0的位置关系是 ( )
A．M∈l B．M?l C．重合 D．不确定
7．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是 ( )
A．mn>0 B．mn<0 C．m>0，n<0 D．m<0，n<0
8．若点A(－2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是 ( )
A．k≤或k≥ B．k≤－或k≥－
C.≤k≤ D．－≤k≤－
9．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为 ( )
A．－4 B．20 C．0 D．24
10．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是 ( )
A．y＝1 B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0 D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
11．直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，而且它的倾斜角是直线x－y＝3倾斜角的2倍，则 ( )
A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1
12．过点A与B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于 ( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
二、填空题
13．若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.
14．甲船在某港口的东50 km，北30 km处，乙船在同一港口的东14 km，南18 km处，那么甲、乙两船的距离是________．
15．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．
16．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，则的最大值为________．
三、解答题
17．已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的方程．
18．求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．
19．在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线MN的方程．
20．如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
21．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
22．某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m2)．
答案
1．A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7．C 8．C 9．A 10．C 11．D 12.B
13．－2或4或6
14．60 km
15．－
16．2
17．解 在x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．∵直线l的斜率k＝，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x＝－.若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)，即x－y＋＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋＝0或x－y＋＝0.
18．解 设直线l2上的动点P(x，y)，直线l1上的点Q(x0,4－2x0)，且P、Q两点关于直线l：3x＋4y－1＝0对称，则有
消去x0，得2x＋11y＋16＝0或2x＋y－4＝0(舍)．
∴直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.
19．解 (1)设C(x0，y0)，则AC中点M，
BC中点N.
∵M在y轴上，∴＝0，x0＝－5.
∵N在x轴上，∴＝0，y0＝－3，即C(－5，－3)．
(2)∵M，N(1,0)．
∴直线MN的方程为＋＝1.
即5x－2y－5＝0.
20．解 设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为，
由条件可得：
，
得，
解得，即B(6,4)，
同理可求得C点的坐标为(5,0)．
故所求直线BC的方程为＝，即4x－y－20＝0.
21．解 设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，
又PP′的中点Q在l上，
∴3×－2×＋7＝0，
由
可得P点的坐标为
x0＝，y0＝，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
22．解 在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划出一块长方形土地，以BC，EA的交点为原点，以BC，EA所在的直线为x轴，y轴，建立直角坐标系，
则AB的方程为＋＝1，
设P，则长方形的面积
S＝(100－x)(0≤x≤30)．
化简得S＝－x2＋x＋6 000(0≤x≤30)．
当x＝5，y＝时，S最大，其最大值为6 017 m2.
