课件19张PPT。 第一课时
直线与平面垂直的概念和判定 2.3.1 直线与平面垂直的判定问题提出1.前面我们全面分析了直线与平面平行的概念、判定和性质，对于直线与平面相交，又有哪些相关概念和原理？我们有必要进一步研究.2.直线与直线存在有垂直关系，直线与平面也存在有垂直关系，我们如何从理论上加以认识？直线与平面垂直的
概念和判定知识探究（一）：直线与平面垂直的概念 思考1：田径场地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？你还能列举一些类似的实例吗？思考2：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？思考3：如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？ 思考4：上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置关系，称为直线与平面垂直.一般地，直线与平面垂直的基本特征是什么？怎样定义直线与平面垂直？ 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直. 思考5：在图形上、符号上怎样表示直线与平面垂直？思考6：如果直线l与平面α垂直，则直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们的交点叫做垂足.那么过一点可作多少条平面α的垂线？过一点可作多少个直线l的垂面？知识探究（二）：直线与平面垂直的判定 思考1：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？思考2：我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直.
如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？思考3：如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌面接触，观察折痕AD与桌面的位置关系.思考4：由上可知当折痕AD垂直平面α内的两条相交直线时，折痕AD与平面α垂直.由此我们是否能得出直线与平面垂直的判定方法？如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后直线AD与桌面所在的平面垂直？定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.思考6：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？理论迁移例2 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1，说明你的理由.D. 小结作业 P67 练习： 1.
P74习题2.3B组：2，4.课件20张PPT。 第二课时
直线和平面所成的角 2.3.1 直线与平面垂直的判定问题提出 1.直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？ 定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面
所成的角 2.当直线与平面相交时，对于直线与平面垂直的情形，我们已作了一些相关研究，对于直线与平面不垂直的情形，我们需要从理论上作些分析.知识探究（一）：平面的斜线 思考1:当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.那么过一点作一个平面的斜线有多少条？思考2:过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影.那么斜线l在平面α内的射影有几条？思考3:两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？思考4:如图，过平面α外一点P引平面α的两条斜线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P引平面α的垂线，垂足为O，如果PA>PB，那么OA与OB的大小关系如何？反之成立吗？思考5:如图，过平面α内一点P引平面α的两条斜线PA、PB，这两条斜线段在平面α内的射影分别为PC、PD，如果PA>PB，那么PC与PD的大小关系确定吗？思考6:如图，直线l是平面α的一条斜线，它在平面α内的射影为b，直线a在平面α内，如果a⊥b，那么直线a与直线l垂直吗？为什么？反之成立吗？知识探究（二）：直线和平面所成的角 思考1:平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？思考2:如图，AB为平面α的一条斜线，A为斜足，AC为平面α内的任意一条直线，能否用∠BAC反映斜线AB与平面α的相对倾斜度？为什么？思考3:反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？思考4:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.在实际应用或解题中，怎样去求这个角？思考5:特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为90°；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为0°.这样，任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映，那么直线与平面所成的角的取值范围是什么？思考6:如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为平面α内的一条直线，那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何？∠BAC >∠BAD思考7:两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？思考8:过平面α外一点P引平面α的斜线，斜足为A，若斜线PA与平面α所成的角为50°，那么点A在平面α内的运动轨迹是什么图形？理论迁移 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；
（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.例2 如图，AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面α，垂足为O，直线BC在平面α内，已知∠ABC=60°，∠OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.作业:
P67 练习：2.
P74习题2.3A组：9.2. 3.1直线与平面垂直的判定
【教学目标】
?1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
?2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；
3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.
【教学重难点】
教学重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
教学难点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
【教学过程】
1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象
?问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
?问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．
?设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义．
2.提炼直线与平面垂直的定义
?问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？
?设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？
?问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．
?(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
?(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?
?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么
设计意图：主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．
?（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）
?思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
?（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则)
?设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法．
?通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法．
?3.探究直线与平面垂直的判定定理
?创设情境? 猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？
设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理．
?学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）
????????????????
问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
? （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（组织学生动手操作、探究、确认）
?设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直．
?问题6：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？
对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）
?设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线．
问题7：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证
?，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？
?设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．
?根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．
?（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）
?问题8：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?
（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么??
设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.
?思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？
如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？
?设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出 “为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解．
?4.直线与平面垂直判定定理的应用
?如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？
??
思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．?（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）
?设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．
练习：如图７，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．
?
求证：AC⊥平面VKB
思考：
?(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；
?(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；
? (3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴VB⊥平面ABC”，对吗？
?设计意图：例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理．3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通．
5.总结反思，当堂检测
（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述．
（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？
? 检测设计
?1．课本探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．
?2．如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．
? ?
【板书设计】
一、直线与平面垂直的定义
二、直线与平面垂直的判定定理
三、例题
例1
变式1
【作业布置】课本练习2
?
2.3.1直线与平面垂直的判定导学案
课前预习学案
一、预习目标：
借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
二、预习内容：问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．
?问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？
问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．
(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?
(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么
直线与直线垂直是的定义________________________________________________________________
?思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？
(3) 如何判定一条直线直线和平面垂直呢？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
（1）探究出直线与平面垂直的判定定理
（2）利用定理解决实际问题
学习重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
学习难点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、学习过程
1、探究判定定理
学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）
????????????????
问题1：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
?
问题2：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？
?
思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？
如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？
问题3：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证?，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？
直线与平面垂直的判定定理（文字，图形和符号三种形式）
问题4： （1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?
（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么??
2、直线与平面垂直判定定理的应用
?如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？
?
思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．
练习：如图７，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．
?
求证：AC⊥平面VKB
思考：
?(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；
?(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；
? (3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴VB⊥平面ABC”，对吗？
3、当堂检测设计
?1．课本探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．
?2．如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．
? ?
3．课本练习2
课后练习与提高
1．下列关于直线与平面的命题中，真命题是 （ ）
若且，则 若且，则
若且，则 且，则
2．已知直线a、b和平面M、N，且，那么 （ ）
（A）∥Mb⊥a （B）b⊥ab∥M
（C）N⊥Ma∥N （D）
3．在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为 （ ）
线段 线段
的中点与的中点连成的线段 的中点与的中点连成的线段
4．三条不同的直线，、、为三个不同的平面
①若∥ ②若∥.
③若、 ④若∥
上面四个命题中真命题的个数是
5．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，
（1）求证：平面； （2）求证：
（3）若，求证：平面
参考答案1B2A34②④5略
课件24张PPT。2.3.1直线与平面
垂直的判定复习引入1. 提问：直线与平面平行的判定定理及性
质定理？复习引入1. 提问：直线与平面平行的判定定理及性
质定理？2. 讨论：日常生活中有哪些现象给人以直
线与平面垂直的感觉？ 一个人走在灯火通明的大街上，会
在地面上形成影子，随着人不停的走动，
这个影子忽前忽后、忽左忽右，但是无
论怎样，人始终与影子相交于一点，并
始终保持垂直.复习引入讲授新课1. 直线和平面垂直的定义讲授新课 如果直线l与平面?内的任意一条直线
都垂直，则直线l与平面?互相垂直，记作
l⊥?.
1. 直线和平面垂直的定义讲授新课 如果直线l与平面?内的任意一条直线
都垂直，则直线l与平面?互相垂直，记作
l⊥?. l叫平面?的垂线，?叫直线l的垂面.
1. 直线和平面垂直的定义讲授新课 如果直线l与平面?内的任意一条直线
都垂直，则直线l与平面?互相垂直，记作
l⊥?. l叫平面?的垂线，?叫直线l的垂面.
直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P
叫做垂足.1. 直线和平面垂直的定义讲授新课 如果直线l与平面?内的任意一条直线
都垂直，则直线l与平面?互相垂直，记作
l⊥?. l叫平面?的垂线，?叫直线l的垂面.
直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P
叫做垂足.1. 直线和平面垂直的定义(线线垂直→线面垂直)举例：生活中直线与平面垂直的现象有
哪些？举例：生活中直线与平面垂直的现象有
哪些？→提问：你觉得垂直的依据是什么？举例：生活中直线与平面垂直的现象有
哪些？→提问：你觉得垂直的依据是什么？→思考：给定一条直线和一个平面，如
何判定它们是否垂直？nml2. 直线和平面垂直的判定B 定理：一条直线与一个平面内的两
条相交直线都垂直，则这条直线与该平
面垂直. Bnml2. 直线和平面垂直的判定 定理：一条直线与一个平面内的两
条相交直线都垂直，则这条直线与该平
面垂直. 符号语言:nml2. 直线和平面垂直的判定B 定理：一条直线与一个平面内的两
条相交直线都垂直，则这条直线与该平
面垂直. 若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，
m??，n??，则l⊥?.符号语言:nml2. 直线和平面垂直的判定BA.若一条直线垂直于平面内的两条直线，
则这条直线垂直于这个平面；
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条
直线，则这条直线垂直于这个平面；
C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于
这个平面的直线必定垂直于这条直线；
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于
这条直线的另一直线必垂直于这个平面.练习1.判断下列命题是否正确练习2 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
与平面B'C'CB垂直的直线有 ；
与直线AA'垂直的平面有 . BD'C'A'B'ADC例1 已知a∥b，a⊥?，求证：b⊥?.ab例1 已知a∥b，a⊥?，求证：b⊥?.mabn例1 已知a∥b，a⊥?，求证：b⊥?.mabn线面垂直→线线垂直→线面垂直 1. P.66探究；练习2. P.67练习第1、2题.直线与平面垂直的判定方法：1.定义；2.定理；3.两条平行线中的一条与平面垂直，
则另一条也与这个平面垂直.线面垂直→线线垂直课堂小结课后作业1. 直线与平面垂直的判定方法;
2. 《习案》第十四课时.第一课时 直线与平面垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.
2．过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法.
3．情态、态度与价值观
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
（二）教学重点、难点
重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；
（2）直线和平面所成的角.
难点：直线与平面垂直判定定理的探究.
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题：直线和平面平行的判定方法有几种？
师投影问题，学生回答.
生：可用定义可判断，也可依判定定理判断.
复习巩固
探索新知
一、直线和平面垂直的定义、画法
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直，如图.
师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面，桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？
师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？
生：旗杆与地面内任意一条经B的直线垂直.
师：那么旗杆所在直线与平面内不经过B点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）
生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.
师：你能尝试给线面垂直下定义吗？
……
师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.
培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.
探索新知
二、直线和平面垂直的判定
1．试验 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？
2．直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？
师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）.
学生动手实验，然后回答问题.
生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直.
师：此时AD垂直上的一条直线还是两条直线？
生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.
师：怎么证明？
生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD
……
师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.
典例剖析
例1 如图，已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.
证明：在平面内作两条相交直线m、n.
因为直线a⊥，根据直线与平面垂直的定义知
a⊥m，a⊥n.
又因为b∥a，
所以b⊥m，b⊥n.
又因为，m、n是两条相交直线，
b⊥.
师：要证b⊥，需证b与内任意一条直线的垂直，又a∥b，问题转化为a与面内任意直线m垂直，这个结论显然成立.
学生依图及分析写出证明过程.
……
师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直.
巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.
探索新知
二、直线和平面所成的角
如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.
教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.
借助多媒体讲授，提高上课效率.
典例剖析
例2 如图，在正方体ABCD – A1B1C1D1中，求A 1B和平面A1B1CD所成的角.
分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O.
设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1， A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，
，，
所以，
∠BA1O = 30°
因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角，关键在于过B点作出（找到，面A1B1CD的垂线，作出（找到）了面A1B1CD的垂线，直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了，怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢？
生：连结BC1即可.
师：能证明吗？
学生分析，教师板书，共同完成求解过程.
点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.
随堂练习
1．如图，在三棱锥V–ABC中，VA = VC，AB = BC，求证：VB⊥AC.
2．过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA?，PB，PC.
（1）若PA= PB = PC，∠C =90°，则点O是AB边的 心.
（2）若PA = PB =PC，则点O是△ABC的 心.
（3）若P A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，则点O是△ABC的 . 心.
3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？
4．如图，直四棱柱A′B′C′D′ – ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？
学生独立完成
答案：
1．略
2．（1）AB边的中点；（2）点O是△ABC的外心；（3）点O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD.
巩固所学知识
归纳总结
1．直线和平面垂直的定义判定
2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.
3．线线垂直线面垂直
学生归纳总结教师补充
巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和能力.
课后作业
2.7 第一课时 习案
学生独立完成
强化知识
提升能力
备选例题
例1 如图，在空间四边形ABCD中，AB = AD，CB = CD，M为BD中点，作AO⊥MC，交MC于O．求证：AO⊥平面BCD．
【解析】连结AM
∵AB = AD，CB = CD，M为BD中点．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．
又AM∩CM = M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO 平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC = M，∴AO⊥平面貌BCD．
【评析】本题为了证明AO⊥平面BCD，先证明了平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面．这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决．
例2 已知棱长为1的正方体ABCD – A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．
【解析】取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO．
由已知正方体，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO为所求．
在Rt △EOA中，
，
，
sin∠EAO = ．
所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为．
【评析】求直线和平面所成角的步骤：
（1）作——作出斜线和平面所成的角；
（2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）
（4）答．
课件17张PPT。2.3.1直线与平面
垂直的判定直线和平面所成的角P?讲授新课A直线和平面所成的角P?讲授新课 一条直线PA和一个平面?相交，但
不和这个平面垂直，这条直线叫做这个
平面的斜线，A
A直线和平面所成的角 一条直线PA和一个平面?相交，但
不和这个平面垂直，这条直线叫做这个
平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做
斜足．PA?讲授新课 过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，POA?直线和平面所成的角讲授新课 过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫
做斜线在这个平面上的射影.直线和平面所成的角讲授新课 过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫
做斜线在这个平面上的射影.平面的一条
斜线和它在平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这
个平面所成的角.直线和平面所成的角讲授新课 过斜线上斜足以外的一点向平面引
垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫
做斜线在这个平面上的射影.平面的一条
斜线和它在平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这
个平面所成的角.范围：(0o，90o).直线和平面所成的角讲授新课1. P.67练习第3题；练习2. (1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线
AB'与面ABCD所成的角为 度；(2)在正方体ABCD-AB'C'D'
中，直线BD'与面ABCD所
成的角的余弦是 .A'B'C'D'CBDA例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线
A'B和平面A'B'CD所成的角.A'B'C'D'CBDA例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线
A'B和平面A'B'CD所成的角.A'B'C'D'CBDAO例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线
A'B和平面A'B'CD所成的角.A'B'C'D'CBDAO例1 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线
A'B和平面A'B'CD所成的角.A'B'C'D'CBDAO3. 平行四边形ABCD所在平面?外有一点
P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平
行四边形对角线交点O的连线PO垂直于
AB、AD.练习4.如图，已知AP⊥⊙O所在平面，AB为
⊙O的直径，C是圆周
上的任意一点，过A作
AE⊥PC于点E.
求证： AE⊥平面PBC.练习CPABOE课堂小结 直线和平面所成的角. 课后作业1. 复习本节课内容，理清脉络；
2. 《学案》P.52双基训练.
§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．3．知道斜线在平面上的射影的概念，斜线与平面所成角的概念．
1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的________________直线都________，就说直线l与平面α互相垂直，记作________．直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．
(2)判定定理
文字表述：一条直线与一个平面内的________________________都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号表述：?l⊥α．
2．直线与平面所成的角
(1)
定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．
如图所示，________就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；
当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是________；
线面角θ的范围：________．
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a?β D．a?β或a∥β
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：
①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；
③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．
8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
求证：CF⊥平面EAB．
11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD．
能力提升
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．
13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；
(2)PQ⊥SC．
1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直?线面垂直”．
2．直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．
3．线线垂直的判定方法
(1)异面直线所成的角是90°．
(2)线面垂直，则线线垂直．
§2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
2．3．1 直线与平面垂直的判定
答案
知识梳理
1．(1)任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面
(2)两条相交直线 a?α b?α a∩b＝A
2．(1)射影 锐角 ∠PAO
(2)0° [0°，90°]
作业设计
1．B [只有④正确．]
2．D
3．C [取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，
∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，
又BD、AC异面，∴选C．]
4．B [易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]
5．A [?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]
6．A [PO⊥面ABC．
则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，
OA＝OB＝OC，
O为△ABC外心．
只有③正确．]
7．(1)45° (2)30° (3)90°
解析
(1)由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°．
(2)连接A1D、AD1，交点为O，
则易证A1D⊥面ABC1D1，所以A1B在面ABC1D1内的射影为OB，
∴A1B与面ABC1D1所成的角为∠A1BO，
∵A1O＝A1B，
∴∠A1BO＝30°．
(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，
∴A1B⊥面AB1C1D，即A1B与面AB1C1D所成的角为90°．
8．∠A1C1B1＝90°
解析
如图所示，连接B1C，
由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，
即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．
因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．
(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)
9．90°
解析 ∵B1C1⊥面ABB1A1，
∴B1C1⊥MN．
又∵MN⊥B1M，
∴MN⊥面C1B1M，
∴MN⊥C1M．
∴∠C1MN＝90°．
10．证明 在平面B1BCC1中，
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，
∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．
11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD．
(2)取PD的中点G，连接AG，FG．
又∵G、F分别是PD，PC的中点，
∴GF綊CD，∴GF綊AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF．
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．
12．证明 连接AB1，CB1，设AB＝1．
∴AB1＝CB1＝，
∵AO＝CO，∴B1O⊥AC．
连接PB1．
∵OB＝OB2＋BB＝，
PB＝PD＋B1D＝，
OP2＝PD2＋DO2＝，
∴OB＋OP2＝PB．∴B1O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，
∴B1O⊥平面PAC．
13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC．
又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB．
又∵AQ?平面SAB，
∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，
∴AQ⊥平面SBC．
(2)∵AQ⊥平面SBC，SC?平面SBC，
∴AQ⊥SC．
又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，
∴SC⊥平面APQ．∵PQ?平面APQ，∴PQ⊥SC．
§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、基础过关
1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是 ( )
A．b⊥β B．b∥β
C．b?β D．b?β或b∥β
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是 ( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a?β D．a?β或a∥β
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是 ( )
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．
6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.
7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
求证：CF⊥平面EAB.
8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
二、能力提升
9. 如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中 ( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.
三、探究与拓展
13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为，求直线AB和平面α所成的角．
答案
1．A 2.D 3．C 4．B
5．(1)45° (2)30° (3)90°
6．90°
7．证明 在平面B1BCC1中，
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，
∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，
∴CF⊥平面EAB.
8．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，
∴GF綊CD，
∴GF綊AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF.
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD.
∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.
9．A 10．B
11．∠A1C1B1＝90°
12．证明 连接AB1，CB1，设AB＝1.
∴AB1＝CB1＝，
∵AO＝CO，∴B1O⊥AC.
连接PB1.
∵OB＝OB2＋BB＝，
PB＝PD＋B1D＝，
OP2＝PD2＋DO2＝，
∴OB＋OP2＝PB.
∴B1O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC.
13．解 (1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝＝.
∴∠BAH＝30°.
(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成 的角．
∵△BCB1∽△ACA1，
∴＝＝2，
∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝，
∴B1C＝.
∴tan∠BCB1＝＝＝，
∴∠BCB1＝60°.
综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.
