2. 3.2平面与平面垂直的判定
【教学目标】
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
【教学重难点】
重点：平面与平面垂直的判定。
难点：找出二面角的平面角。
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们先利用具体的实物来进行观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
角
二面角
图形
A
边
顶点 O B
边
A
β
棱 l
B α
定义
从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形
从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成
射线 — 点（顶点）一 射线
半平面 一 线（棱）一 半平面
表示
∠AOB
二面角α-l-β或α-AB-β
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求OA⊥L ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 图2.3-3
（三）实际应用,巩固深化
例1、（课本69页例3）设AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上的任意点，求证：面PAC ⊥面PBC.
变式： 课本的探究问题
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC(平面PBD。
说明：这两题都涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BC⊥平面PAC和BD⊥平面PAC是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着“线线垂直线面垂直面面垂直”转化途径进行．
变式. 课本的练习
（四）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
（五）当堂检测
P81习题 2.3 A组 第4、6、7题, B组 第1题
【板书设计】
二面角的概念
两个平面垂直的定义
两个平面垂直的判定定理
三种形式描述
例1
例2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
2.3.2平面与平面垂直的判定
课前预习学案
一、预习目标：（1）明确角的定义及推广。
（2）初步知道什么是二面角。
二、预习内容
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
问题3、二面角的有关概念
角
二面角
图形
A
边
顶点 O B
边
A
β
棱 l
B α
定义
从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形
构成
射线 — 点（顶点）一 射线
表示
∠AOB
问题4、二面角如何度量？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
学习重点：平面与平面垂直的判定。
学习难点：找出二面角的平面角。
二、学习过程
（一）、二面角的平面角
1、 如何找出二面角的平面角？
2、二面角的平面角为 说明了什么？
（二）、平面与平面垂直的判定定理（文字，符号及图形表示）
（三）、定理的应用
例1（课本中的例3）
变式1、课本的探究问题
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC(平面PBD。
变式2、课本的练习
当堂达标测试
P81习题 2.3 A组 第4、6、7题, B组 第1题
课后练习与提高
1．过平面外两点且垂直于平面的平面 （ ）
有且只有一个 不是一个便是两个 有且仅有两个 一个或无数个
2．若平面平面，直线，,，则 （ ）
且 与中至少有一个成立
3．对于直线和平面，的一个充分条件是 （ ）
，
4．设表示三条直线，表示三个平面，给出下列四个命题：
①若，则；②若是在内的射影，，则；
③若，则； ④若，则． 其中真命题是 （ ）
①② ②③ ①③ ③④
5．如图正方体中，分别是的中点，
求证：平面平面。
6．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，为的中点，且，
（1）求证：平面平面
（2）求点到平面的距离
参考答案
1、D2、D3、B4、A 5，6（略）
第二课时 平面与平面垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.
2．过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.
3．情态、态度与价值观
通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.
（二）教学重点、难点
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小.
（三）教学方法
实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子：公路上的表面与水平面，打开的门与门椎所在平面等，怎样定义两个平面所成的角呢？
复习巩固，以旧导新
探索新知
一、二面角
1．二面角
（1）半平面
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.
（2）二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
（3）二面角的求法与画法
棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角. 有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P – AB – Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或P – l – Q.
2．二面角的平面角
如图（1）在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.
（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]
（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.
教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.
师生共同实验(折纸)思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？
生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.
师：改变O的位置，这个角的大小变不变.
生：由等角定理知不变.
通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.
通过实验，培养学生学习兴趣和探 索意识，加深对知识的理解与掌握.
探索新知
二、平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面与垂直，记作⊥.
2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
学生自学，教师点拔一下注意事项.
师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即，请同学给出面面垂直的判定定理.
培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳能力，语言表达能力.
典例分析
例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明：设⊙O所在平面为，由已知条件，
PA⊥，BC在内，
所以PA⊥BC.
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，
所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.
又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.
所以BC⊥平面PAC.
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC.
师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A – PC – B的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理正面面垂直的关键是在其中一个平面内找?(作)一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？
学生分析，教师板书
巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.
随堂练习
1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G 3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S – EFG中必有（ A ）
A．SG⊥EFG所在平面
B．SD⊥EFG所在平面
C．GF⊥SEF所在平面
D．GD⊥SEF所在平面
2．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
答：面ABC⊥面BCD
面ABD⊥面BCD
面ACD⊥面ABC.
学生独立完成
巩固知识
提升能力
归纳总结
1．二面角的定义画法与记法.
2．二面角的平面角定义与范围.
3．面面垂直的判定方法.
4．转化思想.
学生总结、教师补充完善
回顾、反思、归纳知训提高自我整合知识的能力
课后作业
2.3 第二课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备选例题
例1 如图，平面角为锐角的二面角，A∈EF，，∠GAE = 45°若AG与所成角为30°，求二面角的平面角.
【分析】首先在图形中作出有关的量，AG与所成的角(过G到的垂线段GH，连AH，∠GAH = 30°)，二面角的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH建立联系，抓住GH⊥这一特殊条件，作HB⊥EF，连接GB，利用相关关系即可解决问题.
【解析】作GH⊥于H，作HB⊥EF于B，连结GB，
则CB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角.
又∠GAH是AG与所成的角，
设AG = a，则，.
所以∠GBH = 45°
反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.
例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD．
【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需
要寻找已知条件“SC⊥平面ABCD ”与需证结论
“平面EDB⊥平面ABCD”之间的桥梁．
【证明】连结AC、BD，交点为F，连结EF，
∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC．
∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．
又EF平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD．
【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键．
例3 如图，四棱锥P – ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD．
证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
【分析】由△PAD ≌ △PCD，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．
【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形．作AE⊥DP,垂足为E，连接EC，则△ADE ≌△CDE．
∴AE = CE，∠CED = 90°．故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角．设AC与BD相交于点O．连接EO，则EO⊥AC．
∴，
在△AEC中，
=，
∴∠AEC ＞ 90°．
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．
【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．
课件35张PPT。2.3.2平面与平面
垂直的判定两直线所成角的取值范围： 平面的斜线和平面
所成的角的取值范围：直线和平面所成角的取值范围：复习回顾两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 平面的斜线和平面
所成的角的取值范围：
(0o, 90o)．直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．复习回顾1．半平面的定义讲授新课1．半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部
分，其中的每一部分都叫做半平面．讲授新课2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角??l2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱l??2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，每个半平
面叫做二面角的面．l??2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，每个半平
面叫做二面角的面． 棱为l，两个面分
别为?、?的二面角记
为 ?-l-? ．3．画二面角⑴ 平卧式：3．画二面角⑴ 平卧式：l3．画二面角⑴ 平卧式：⑵ 直立式：l3．画二面角 怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？4．二面角的大小 在二面角?-l-?的
棱l上任取一点O，如
图，在半平面?和?
内，从点O分别作垂
直于棱l的射线OA、
OB，射线OA、OB组成∠AOB． 怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？4．二面角的大小 怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？4．二面角的大小 在二面角?-l-?的
棱l上任取一点O，如
图，在半平面?和?
内，从点O分别作垂
直于棱l的射线OA、
OB，射线OA、OB组成∠AOB．∠AOB的大小一定． 一个平面垂直于二
面角 ?-l-? 的棱 l，且与
两个半平面的交线分别
是射线 OA、OB，O 为
垂足，则 ∠AOB 叫做
二面角 ?-l-? 的平面角．4．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就
说这个二面角是多少度．4．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就
说这个二面角是多少度．① 二面角的两个面重合： 0o；4．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就
说这个二面角是多少度．① 二面角的两个面重合： 0o；② 二面角的两个面合成一个平面：180o；4．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就
说这个二面角是多少度．二面角的范围：[ 0o, 180o ]．① 二面角的两个面重合： 0o；② 二面角的两个面合成一个平面：180o；4．二面角的大小③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．5. 二面角的平面角的作法(1)定义法
根据定义作出来(2)垂面法
作与棱垂直的平面与
两半平面的交线得到??l?ABO??lOABAO??lD(3)5. 二面角的平面角的作法6. 平面与平面垂直 两个平面相交，如果它们所成的二
面角是直二面角，就说这两个平面互相
垂直. 平面?与?垂直，记作?⊥?. 6. 平面与平面垂直 两个平面相交，如果它们所成的二
面角是直二面角，就说这两个平面互相
垂直. 平面?与?垂直，记作?⊥?. ????例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于
⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B
的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. 例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于
⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B
的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. 线线垂直
→线面垂直→面面垂直 练习1：教材P.69探究(1) 四个面的形状怎样？
(2) 有哪些直线与平面垂直？
(3) 任意两个平面所成的二面角的平面角
如何确定？ABCD例2 已知空间四边形ABCD的四条边和对
角线都相等，求平面ACD和平面BCD所
成二面角的余弦值. DACB练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ ，
BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面
BCA为面的二面角的大小？DAECB练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ ，
BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面
BCA为面的二面角的大小？练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ ，
BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面
BCA为面的二面角的大小？DAECB练习3： ABCD是正方形，O是正方形的
中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点，
求证：(1) AP∥平面BDE；
(2)平面PAC⊥BDE.是正方形，POABCDE课堂小结1. 二面角的定义、二面角的平面角；
2. 二面角平面角的求法；
3. 平面与平面垂直的判定.课后作业1. 复习本节课内容，理清脉络；
2. 《习案》第十五课时.课件11张PPT。2.3.2平面与平面
垂直的判定1. 二面角的概念；
2. 面面垂直的判定方法.复习回顾讲授新课《习案》十五课时第4、5、6、7题例1 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点，
求证：(1) AP∥平面BDE；
(2)平面PAC⊥BDE.是正方形，POABCDE例2 已知空间四边形ABCD的四条边和对
角线都相等，求平面ACD和平面BCD所
成二面角的余弦值. DACB例3 如图，已知三棱锥D-ABC的三个
侧面与底面全等，且AB＝AC＝ ，
BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面
BCA为面的二面角的大小？DAECB例3 如图，已知三棱锥D-ABC的三个
侧面与底面全等，且AB＝AC＝ ，
BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面
BCA为面的二面角的大小？DAECB例3 如图，已知三棱锥D-ABC的三个
侧面与底面全等，且AB＝AC＝ ，
BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面
BCA为面的二面角的大小？练习
教材P.69练习；
教材P.71练习.课堂小结1. 面面垂直的判定；
2. 二面角的平面角的求法.课后作业1. 复习本节课内容，理清脉络；
2. 《学案》P.56双基训练.2.3.2 平面与平面垂直的判定
【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．
1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面
角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．
2．二面角的平面角
如图：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的________叫做二面角的平面角．
3．平面与平面的垂直
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．符号表示：?α⊥β．
一、选择题
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
2．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β
3．设有直线M、n和平面α、β，则下列结论中正确的是( )
①若M∥n，n⊥β，M?α，则α⊥β；
②若M⊥n，α∩β＝M，n?α，则α⊥β；
③若M⊥α，n⊥β，M⊥n，则α⊥β．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为( )
A． B． C． D．
6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC
二、填空题
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
9．已知α、β是两个不同的平面，M、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①M⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④M⊥α．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．
三、解答题
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BGD．
11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝．
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
能力提升
12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
1．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．
3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．
2．3．2 平面与平面垂直的判定 答案
知识梳理
1．两个半平面 这条直线 这两个半平面
2．垂足 ∠AOB
3．(1)直二面角 (2)垂线 a?α
作业设计
1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B．]
2．C
3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]
4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]
5．B [
如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝，
∴∠BOD＝60°．]
6．C [
如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴D正确．]
7．45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．
8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④?②(或②③④?①)
10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°．
故二面角A—BE—P的大小是60°．
12．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．
因为EF?平面ABC．
BC?平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．
又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，
BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC．
这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、基础过关
1．过两点与一个已知平面垂直的平面 ( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．一个或无数个 D．可能不存在
2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是 ( )
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面经过另一个平面的一条垂线
C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是 ( )
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是 ( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
6．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.
8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
二、能力提升
9．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
10．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是 ( )
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC
11．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
三、探究与拓展
13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝，AC＝2，AB＝，BC＝.
(1)求证：PD⊥平面ABC；
(2)求二面角P—AB—C的正切值．
答案
1．C 2.D 3.B 4.B
5．45° 6．5
7．证明 因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，
所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.
又GF?平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC.
8．(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，
△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°.
故二面角A—BE—P的大小是60°.
9．B 10．C
11．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.
因为EF?平面ABC，BC?平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
13．(1)证明 连接BD，
∵D是AC的中点，PA＝PC＝，
∴PD⊥AC.
∵AC＝2，AB＝，BC＝，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.
∴BD＝AC＝＝AD.
∵PD2＝PA2－AD2＝3，PB＝，
∴PD2＋BD2＝PB2.∴PD⊥BD.
∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.
(2)解 取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点知DE∥BC，
∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.
∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.
又AB⊥DE，DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.
∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角．
在△PED中，DE＝BC＝，PD＝，∠PDE＝90°，
∴tan∠PED＝＝.
∴二面角P—AB—C的正切值为.
课件20张PPT。2.3.2 平面与平面垂直的判定 第一课时
二面角的有关概念 问题提出 1.空间两个平面有平行、相交两种位置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识. 2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？二面角及其平面角知识探究（一）：二面角的有关概念 思考1:直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？思考2:将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为二面角，你能画一个二面角的直观图吗？思考3:在平面几何中，我们把角定义为“从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种定义方式，二面角的定义如何？从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 思考4:下列两个二面角在摆放上有什么不同？思考5:一个二面角是由一条直线和两个半平面组成，其中直线l叫做二面角的棱，两个半平面α、β都叫做二面角的面，二面角通常记作“二面角α-l-β”.那么两个相交平面共组成几个二面角？知识探究（二）：二面角的平面角 思考1:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？思考2:我们设想用一个平面角来反映二面角的两个半平面的相对倾斜度，那么平面角的顶点应选在何处？角的两边在如何分布？思考3:在二面角α-l-β的棱上取一点O，过点O分别在二面角的两个面内任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB来刻画二面角的张开程度？思考4:在上图中如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？思考5:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平面角下个定义吗？以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.思考6:二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少度？当二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值范围如何？思考7:如图，过二面角α-l-β一个面内一点A，作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？思考8:如图，平面γ垂直于二面角的棱l，分别与面α、β相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？理论迁移 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求二面角B1-AC-B大小的正切值.例2 如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为 ，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为 ，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时人升高了多少m？作业:
P73习题2.3 A组：4，7.课件16张PPT。 第二课时
平面与平面垂直2.3.2 平面与平面垂直的判定问题提出 1.二面角与二面角的平面角分别是什么含义？二面角的平面角有哪几个基本特征？(1)顶点在棱上；(2)边在两个面内；(3)边垂直于棱.平面与平面垂直 2.直线与直线，直线与平面可以垂直，平面与平面是否存在垂直关系？如何认识两个平面垂直？我们从理论上作些探讨.知识探究（一）：两个平面垂直的概念 思考1:空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？思考2:什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？思考3:如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？思考4:在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？思考5:如果平面α⊥平面β，那么平面α内的任一条直线都与平面β垂直吗？知识探究（二）：两个平面垂直的判定 思考1:根据定义判断两个平面是否
垂直需要解决什么问题？思考3：在二面角α-l-β中，直线m在平面β内，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？思考4:根据上述分析，可以得到两个平面互相垂直的判定定理，用文字语言如何表述这个定理？如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.思考5:结合图形，两个平面垂直的判定定理用符号语言怎样表述？思考6:过一点P可以作多少个平面与平面α垂直？过一条直线l可以作多少个平面与平面α垂直？理论迁移 例1 如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：
平面PAC⊥平面PBC. 例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.例3 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD，BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，
求证：平面ABC⊥平面ACD.作业:
P73习题2.3A组：3，6.
P74习题2.3B组：1.
