课件20张PPT。2.3.3-2.3.4直线与平面、
平面与平面垂直的性质复习引入问题：若一条直线与一个平面垂直，则
可得到什么结论？若两条直线与同一个
平面垂直呢？讲授新课BD'C'A'B'ADC (1)如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，
棱AA'、BB'、CC'、DD'所在直线都垂直
于平面ABCD，它们之间有什么位置关系？ 讲授新课 (2)如图，已知直线a⊥? 、b⊥?，
那么直线a、b一定平行吗？我们能否
证明这一事实的正确性呢？ab?已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?b已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bO已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bb'O已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bb'?O已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bb'c?O已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bb'c?O(反证法)已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bb'c?O(反证法)定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 练习1. 两个平面互相垂直,下列命题正确
的是 ( )
A. 一个平面内的已知直线必垂直于另一
个平面内的任意一条直线
B. 一个平面内的已知直线必垂直于另一
个平面内的无数条直线
C. 一个平面内的任意一条直线必垂直于
另一个平面
D. 过一个平面内任意点作交线的垂线，
则此垂线必垂直于另一个平面. 练习1. 两个平面互相垂直,下列命题正确
的是 ( )
A. 一个平面内的已知直线必垂直于另一
个平面内的任意一条直线
B. 一个平面内的已知直线必垂直于另一
个平面内的无数条直线
C. 一个平面内的任意一条直线必垂直于
另一个平面
D. 过一个平面内任意点作交线的垂线，
则此垂线必垂直于另一个平面. 练习2. 教材P.71练习第1、2题若在两个平面互相垂直的条件下，又会得
出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直
的直线？若在两个平面互相垂直的条件下，又会得
出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直
的直线？定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直
于交线的直线与另一个平面垂直.思考 设平面?⊥平面β，点P在平面?内，
过点P作平面β的垂线a，直线a与平面?
具有什么位置关系？DCBPa例 如图，已知平面?，β，?⊥β，直线a
满足a⊥β， a??，试判断直线a与平面?
的位置关系.ba?β练习3. 教材P.73练习第1、2题练习4.下列命题中，正确的是 ( )
A. 过平面外一点，可作无数条直线和这
个平面垂直
B. 过一点有且仅有一个平面和一条定直
线垂直
C. 若a、b异面，过a一定可作一个平面
与b垂直
D. 若a、b异面，过不在a、b上的点，一
定可以作一个平面和a、b都垂直. 课堂小结1. 请归纳一下本节学习了什么性质定理，
其内容各是什么？
2. 类比两个性质定理，你发现它们之间
有何联系？
3. 直线、平面垂直的性质有哪些？
4. 线线、线面、面面之间的关系的转化
是解决空间图形问题的重要思想方法.课后作业1. 复习本节课内容，理清脉络；
2. 《习案》第十六课时.第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
（二）教学重点、难点
两个性质定理的证明.
（三）教学方法
学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？
问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
师投影问题. 学生思考、讨论问题，教师点出主题
复习巩固以旧带新
探索新知
一、直线与平面垂直的性质定理
1．问题：已知直线a、b和平面，如果，那么直线a、b一定平行吗？
已知
求证：b∥a.
证明：假定b不平行于a，设=0
b′是经过O与直线a平行的直线
∵a∥b′，
∴b′⊥a
即经过同一点O的两线b、b′都与垂直这是不可能的，
因此b∥a.
2．直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
简化为：线面垂直线线平行
生：借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.
师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“反证法”
师生边分析边板书.
借助模型教学，培养几何直观能力.，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.
探索新知
二、平面与平面平行的性质定理
1．问题
黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
2．例1 设，=CD，，AB⊥CD，AB⊥CD = B求证AB
证明：在内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角的平面角.由知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是内的两条相交直线，所以AB⊥
3．平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
简记为：面面垂直线面垂直.
教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题
生：借助长方体模型，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A
∵
∴A′A⊥面ABCD
故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.
师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB⊥CD，需找一条直线与AB垂直，有条件还没有用，能否利用构造一条直线与AB垂直呢？
生：在面内过B作BE⊥CD即可.
师：为什么呢？
学生分析，教师板书
本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.
典例分析
例2 如图，已知平面，，直线a满足，，试判断直线a与平面的位置关系.
解：在内作垂直于与交线的直线b，
因为，所以
因为，所以a∥b.
又因为，所以a∥.
即直线a与平面平行.
例3 设平面⊥平面，点P作平面的垂线a，试判断直线a与平面的位置关系？
证明：如图，设= c，过点P在平面内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有.
因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b垂合，因此.
师投影例2并读题
生：平行
师：证明线面平行一般策略是什么？
生：转证线线平行
师：假设内一条直线b∥a则b与的位置关系如何？
生：垂直
师：已知，怎样作直线b？
生：在内作b垂直于、的交线即可.
学生写出证明过程，教师投影.
师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注.
师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b与直线a重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用.
巩固所学知识，训练化归能力.
巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.
随堂练习
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”.
（1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行. （ √ ）
b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ √ ）
c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. （ √ ）
（2）已知直线a，b和平面，且a⊥b，a⊥，则b与的位置关系是 .
答案：b∥或b.
2．（1）下列命题中错误的是（ A ）
A．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线垂直于平面.
B．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面.
C．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.
D．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么.
（2）已知两个平面垂直，下列命题（ B ）
①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．设直线a，b分别在正方体ABCD – A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？
答案：不相交，不异面
4．已知平面，，直线a，且，，a∥，a⊥AB，试判断直线a与直线的位置关系.
答案：平行、相交或在平面内
学生独立完成
巩固、所学知识
归纳总结
1．直线和平面垂直的性质
2．平面和平面垂直的性质
3．面面垂直线面垂直线线垂直
学生归纳总结，教材再补充完善.
回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.
课后作业
2.3 第三课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备选例题
例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？
【解析】
【评析】若BC与垂直，同理可得AB与也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ．
例2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知⊥r，⊥r，∩= l，求证：l⊥r．
【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直．或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．
【证明】法一：如图，设∩r = a ，∩r = b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．
∵⊥r，⊥r，
∴m⊥a，n⊥（面面垂直的性质）．
又∩= l，
∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，nr
∴l⊥r．
法二：如图，设∩r = a，∩r = b，在内作m⊥a，在内作n⊥b．
∵⊥r，⊥r，
∴m⊥r，n⊥r．
∴m∥n，又n，m，
∴m∥，又∩= l，m，
∴m∥l，
又m⊥r，∴l⊥r．
【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．
2. 3.3直线与平面垂直的性质
【教学目标】
（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.
（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
【教学重难点】
重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
【教学过程】
复习引入
师：判断直线和平面垂直的方法有几种？
师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？
师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？
判断下列命题是否正确：
1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
垂直于同一平面的两直线互相平行。
垂直于同一直线的两平面互相平行。
师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？
创设情景
如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
（三）讲解新课
例1 已知：a，b。求证：b∥a
师：此问题是在a，b的条件下，研究a和b是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难。而利用反证法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出,这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知道下,学生尝试证明,稍后教师指正.
生:证明:假定b不平行于a,设, b’是经过点O的两直线a平行的直线.
∥b’, a, b’
即经过同一点O的两直线b ,b’都与垂直,这是不可能的,因此b∥a.
有了上述证明,师生可共同得到结论.:
直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.
利用三种形式去描述它
下列命题中错误的是（C）
若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面
D、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。
（四）课堂检测
课本页：1、2.
拓展练习：设直线a,b分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,
欲使b∥a,a、b应满足什么条件？
分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a、b满足的条件。
解：a、b满足下面条件中的任何一个，都能使b∥a
（１）a、b同垂直于正方体的一个面
（２）a、b分别在正方体两个相对的面内且共面。
（３）a、b平行于同一条棱。
（４）Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为B′C′、ＣC′、ＡA′、ＡＤ的中点，
ＥＦ所在直线为a，ＧＨ所在直线为b，等等。
（五）课堂小结
本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法。直接证法长依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法。关于直线与平面垂直的性质定理的证明，教材采用反证法，学生理解上会有一定的困难，教学时应注意引导学生理解反证法的反设、归谬，进而得到要证的结论。
【板书设计】
一、直线和平面垂直的性质定理及其推论
二、例题
例1
例2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
2.3.3直线与平面垂直的性质
课前预习学案
一、预习目标：通过对图形的观察，知道直线于平面垂直的性质
二、预习内容：
1、直线与平面垂直的判定方法有哪些？
2、在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？
3、判断题（判断下列命题是否正确）
（1）、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（2）、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（3）、垂直于同一平面的两直线互相平行。
（4）、垂直于同一直线的两平面互相平行。
4、若直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
（1）明确直线与平面垂直的性质定理。
（2）利用直线与平面垂直的性质定理解决问题。
学习重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
学习难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
二、学习过程
探究一、直线与平面垂直的性质
1、 如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
2、 已知：a，b。求证：b∥a（由1让学生自行证明）
得直线与平面垂直的性质定理
三种语言刻画
探究二、定理的应用
例1已知
变式1：
下列命题中错误的是（）
A、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
B、若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
C、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面
D、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。（四）课堂检测
1、课本页：1、2.
2、设直线a,b分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,
欲使b∥a,a、b应满足什么条件？
课后巩固练习与提高
1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是 （ ）
2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④，则。上述判断正确的是 （ ）
①②③ ②③④ ①③④ ②④
3．下列关于直线与平面的命题中，真命题是 （ ）
若且，则 若且，则
若且，则 且，则
4．在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
5.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：
①若，，则是的垂心
②若两两互相垂直，则是的垂心
③若，是的中点，则
④若，则是的外心
其中正确命题的命题是
6如图，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，
求证：平面
2.3.3 直线与平面垂直的性质
【课时目标】 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．3．理解并掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化．
直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言
?________
图形语言
作用
①线面垂直?线线平行
②作平行线
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直线垂直
C．若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行
D．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直
2．若M、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
①?n⊥α； ②?M∥n；
③?M⊥n; ④?n⊥α．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF?α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是( )
A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE
C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG
4．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
5．下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；
②垂直于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两条直线平行；
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
二、填空题
7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．
能力提升
12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，
求证：平面DMN∥平面ABC．
13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．
1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直?线面垂直?线线平行?线面平行．
2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题．
2．3．3 直线与平面垂直的性质 答案
知识梳理
平行 a∥b
作业设计
1．B [由线面垂直的定义知B正确．]
2．C [①②③正确，④中n与面α可能有：n?α或n∥α或相交(包括n⊥α)．]
3．C [由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，
∴PG最短，PF
∴有PG4．C [PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；
又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正确．
∴选C．]
5．B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选B．]
6．C [设P在平面α内的射影为O，易证△PAO≌△PBO≌△PCO?AO＝BO＝CO．]
7．4
解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．
8．①②③
解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．
9．6
解析 由题意知CO⊥AB，
∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，
∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．
10．证明 (1)∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D．
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1．
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC．
∴ON綊CD綊AB，
∴ON∥AM．
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．
∵ON＝AB，∴AM＝AB，∴M是AB的中点．
11．证明
连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．
∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，
∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，
∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
∴＝，∴GG′∥AA′，
又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．
12．证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，
又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，
∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，
又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，
∴平面DMN∥平面ABC．
13．
(1)证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．
连接AC1，则BC⊥AC1．
由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C＝C，
所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．
(2)解 如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，
连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．
设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a．
在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝＝，
所以∠C1BD＝30°，
故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、基础过关
1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是 ( )
①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上；
④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 ( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行
3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ( )
①?n⊥α； ②?m∥n；
③?m⊥n; ④?n⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
5. 如图所示，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．
7. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
8. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
二、能力提升
9. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
10．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
11．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
12．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.
(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P—ABCD的体积．
三、探究与拓展
13．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1
的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
答案
1．B 2.B 3．C 4．C
5．6
6．a⊥β
7．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB.
8．证明 (1)∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，
∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1.
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC.
∴ON綊CD綊AB，
∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，
∴ON＝AM.
∵ON＝AB，∴AM＝AB，
∴M是AB的中点．
9．A 10．C
11．①②③
12．(1)证明 在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4，
∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD.
(2)解 过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO＝2.
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，
此即为梯形的高．
∴S四边形ABCD＝×＝24.
∴VP—ABCD＝×24×2＝16.
13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，CD∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
因为BC?平面BCD，所以DC1⊥BC.
(2)解 DC1⊥BC，CC1⊥BC?BC⊥平面ACC1A1?BC⊥AC，取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，A1C1＝B1C1?C1O⊥A1B1，面A1B1C1⊥面A1BD?C1O⊥面A1BD，又∵DB?面A1DB，∴C1O⊥BD，又∵OH⊥BD，∴BD⊥面C1OH，C1H?面C1OH，∴BD⊥C1H，得点H与点D重合，且∠C1DO是二面角A1－BD－C的平面角，设AC＝a，则C1O＝a，C1D＝a＝2C1O?∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
课件15张PPT。2.3.3 直线与平面垂直的性质问题提出 1.直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？ 2.直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？直线与平面
垂直的性质知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理 思考1:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？思考2:如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？思考3:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？思考4:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？思考5：根据上述分析，得到一个什么结论？定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 思考1:设a，b为直线，α为平面，若a⊥α，b//a，则b与α的位置关系如何？为什么？知识探究（二）直线与平面垂直的性质探究 思考2:设a，b为直线，α为平面，若a⊥α，b//α，则a与b的位置关系如何？为什么？思考3:设l为直线，α，β为平面，若l⊥α，α//β，则l与β的位置关系如何？为什么？思考4:设l为直线，α、β为平面，若l⊥α，l⊥β，则平面α、β的位置关系如何？为什么？理论迁移ab（2）若 ，求证：MN 面PCD作业:
P71练习：1，2.（做书上）