课件20张PPT。2.3.3-2.3.4直线与平面、
平面与平面垂直的性质复习引入问题：若一条直线与一个平面垂直，则
可得到什么结论？若两条直线与同一个
平面垂直呢？讲授新课BD'C'A'B'ADC (1)如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，
棱AA'、BB'、CC'、DD'所在直线都垂直
于平面ABCD，它们之间有什么位置关系？ 讲授新课 (2)如图，已知直线a⊥? 、b⊥?，
那么直线a、b一定平行吗？我们能否
证明这一事实的正确性呢？ab?已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?b已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bO已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bb'O已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bb'?O已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bb'c?O已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bb'c?O(反证法)已知：求证：a⊥平面?，b⊥平面?，a∥b．a?bb'c?O(反证法)定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 练习1. 两个平面互相垂直,下列命题正确
的是 ( )
A. 一个平面内的已知直线必垂直于另一
个平面内的任意一条直线
B. 一个平面内的已知直线必垂直于另一
个平面内的无数条直线
C. 一个平面内的任意一条直线必垂直于
另一个平面
D. 过一个平面内任意点作交线的垂线，
则此垂线必垂直于另一个平面. 练习1. 两个平面互相垂直,下列命题正确
的是 ( )
A. 一个平面内的已知直线必垂直于另一
个平面内的任意一条直线
B. 一个平面内的已知直线必垂直于另一
个平面内的无数条直线
C. 一个平面内的任意一条直线必垂直于
另一个平面
D. 过一个平面内任意点作交线的垂线，
则此垂线必垂直于另一个平面. 练习2. 教材P.71练习第1、2题若在两个平面互相垂直的条件下，又会得
出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直
的直线？若在两个平面互相垂直的条件下，又会得
出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直
的直线？定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直
于交线的直线与另一个平面垂直.思考 设平面?⊥平面β，点P在平面?内，
过点P作平面β的垂线a，直线a与平面?
具有什么位置关系？DCBPa例 如图，已知平面?，β，?⊥β，直线a
满足a⊥β， a??，试判断直线a与平面?
的位置关系.ba?β练习3. 教材P.73练习第1、2题练习4.下列命题中，正确的是 ( )
A. 过平面外一点，可作无数条直线和这
个平面垂直
B. 过一点有且仅有一个平面和一条定直
线垂直
C. 若a、b异面，过a一定可作一个平面
与b垂直
D. 若a、b异面，过不在a、b上的点，一
定可以作一个平面和a、b都垂直. 课堂小结1. 请归纳一下本节学习了什么性质定理，
其内容各是什么？
2. 类比两个性质定理，你发现它们之间
有何联系？
3. 直线、平面垂直的性质有哪些？
4. 线线、线面、面面之间的关系的转化
是解决空间图形问题的重要思想方法.课后作业1. 复习本节课内容，理清脉络；
2. 《习案》第十六课时.第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.
2．过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
3．情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
（二）教学重点、难点
两个性质定理的证明.
（三）教学方法
学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？
问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
师投影问题. 学生思考、讨论问题，教师点出主题
复习巩固以旧带新
探索新知
一、直线与平面垂直的性质定理
1．问题：已知直线a、b和平面，如果，那么直线a、b一定平行吗？
已知
求证：b∥a.
证明：假定b不平行于a，设=0
b′是经过O与直线a平行的直线
∵a∥b′，
∴b′⊥a
即经过同一点O的两线b、b′都与垂直这是不可能的，
因此b∥a.
2．直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
简化为：线面垂直线线平行
生：借助长方体模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.
师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“反证法”
师生边分析边板书.
借助模型教学，培养几何直观能力.，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.
探索新知
二、平面与平面平行的性质定理
1．问题
黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
2．例1 设，=CD，，AB⊥CD，AB⊥CD = B求证AB
证明：在内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角的平面角.由知，AB⊥BE,又AB⊥CD,BE与CD是内的两条相交直线，所以AB⊥
3．平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
简记为：面面垂直线面垂直.
教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题
生：借助长方体模型，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A
∵
∴A′A⊥面ABCD
故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.
师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB⊥CD，需找一条直线与AB垂直，有条件还没有用，能否利用构造一条直线与AB垂直呢？
生：在面内过B作BE⊥CD即可.
师：为什么呢？
学生分析，教师板书
本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.
典例分析
例2 如图，已知平面，，直线a满足，，试判断直线a与平面的位置关系.
解：在内作垂直于与交线的直线b，
因为，所以
因为，所以a∥b.
又因为，所以a∥.
即直线a与平面平行.
例3 设平面⊥平面，点P作平面的垂线a，试判断直线a与平面的位置关系？
证明：如图，设= c，过点P在平面内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有.
因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b垂合，因此.
师投影例2并读题
生：平行
师：证明线面平行一般策略是什么？
生：转证线线平行
师：假设内一条直线b∥a则b与的位置关系如何？
生：垂直
师：已知，怎样作直线b？
生：在内作b垂直于、的交线即可.
学生写出证明过程，教师投影.
师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注.
师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b与直线a重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用.
巩固所学知识，训练化归能力.
巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.
随堂练习
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”.
（1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行. （ √ ）
b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ √ ）
c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. （ √ ）
（2）已知直线a，b和平面，且a⊥b，a⊥，则b与的位置关系是 .
答案：b∥或b.
2．（1）下列命题中错误的是（ A ）
A．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线垂直于平面.
B．如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面.
C．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.
D．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么.
（2）已知两个平面垂直，下列命题（ B ）
①一个平面内已积压直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．设直线a，b分别在正方体ABCD – A′B′C′D′中两个不同的面所在平面内，欲使a∥b，a，b应满足什么条件？
答案：不相交，不异面
4．已知平面，，直线a，且，，a∥，a⊥AB，试判断直线a与直线的位置关系.
答案：平行、相交或在平面内
学生独立完成
巩固、所学知识
归纳总结
1．直线和平面垂直的性质
2．平面和平面垂直的性质
3．面面垂直线面垂直线线垂直
学生归纳总结，教材再补充完善.
回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.
课后作业
2.3 第三课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备选例题
例1 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？
【解析】
【评析】若BC与垂直，同理可得AB与也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直” ．
例2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知⊥r，⊥r，∩= l，求证：l⊥r．
【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在r内构造两相交直线分别与平面、垂直．或由面面垂直的性质易在、内作出平面r的垂线，再设法证明l与其平行即可．
【证明】法一：如图，设∩r = a ，∩r = b，在r内任取一点P．过点P在r内作直线m⊥a，n⊥b．
∵⊥r，⊥r，
∴m⊥a，n⊥（面面垂直的性质）．
又∩= l，
∴l⊥m，l⊥n．又m∩n = P，m，nr
∴l⊥r．
法二：如图，设∩r = a，∩r = b，在内作m⊥a，在内作n⊥b．
∵⊥r，⊥r，
∴m⊥r，n⊥r．
∴m∥n，又n，m，
∴m∥，又∩= l，m，
∴m∥l，
又m⊥r，∴l⊥r．
【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．
2. 3.4 平面与平面垂直的性质
【教学目标】
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；
（2）能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
【教学重难点】
重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。
难点：运用性质定理解决实际问题。
【教学过程】
(一) 复习提问
1.线面垂直判定定理：
如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.
2.面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
(二)引入新课
已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！
（三）探求新知
已知：面α⊥面β，α∩β= a, ABα, AB⊥a于 B，
求证：AB⊥β
(让学生思考怎样证明)
分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.
证明：在平面β内过B作BE⊥a，
又∵AB⊥a，
∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，
又∵α⊥β，
∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE
又∵AB⊥a, BE∩a = B,
∴AB⊥β
面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
（用符号语言表述） 若α⊥β，α∩β=a, ABα, AB⊥a于 B，则 AB⊥β
师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面
我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。
（四）拓展应用
例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, aα,
试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）(引导学生思考)
分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)
解：在α内作垂直于α 、β交线AB的直线b，
∵ α⊥β ∴b⊥β
∵ a⊥β ∴ a ∥b ,
又∵aα ∴ a ∥α
课堂练习：
练习 第1、2题
A组 第1题
（四）当堂检测
1.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。
(1)平面ADD′A′⊥平面ABCD (2) DD′⊥ 面ABCD (3)AD′⊥ 面ABCD
2.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,亲说明理由
参考答案
2解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点E，
连结AE，则AE为BD的中线
∴AE⊥BD
又∵面BCD∩面ABD=BD, 面ABD⊥面BCD
∴AE⊥面BCD
（五）课堂小结
1. 面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
2. 面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
② 利用性质定理解决问题
【板书设计】
一、平面与平面垂直的性质定理
二、三种形式表达
三、性质定理的应用
【作业布置】课后练习与提高
2.3.4 平面与平面垂直的性质
课前预习导学案
一、预习目标
明确平面与平面垂直的判定定理。
直线与平面垂直的性质定理
预习内容
1、平面与平面垂直的判定定理
2、直线与平面垂直的性质定理
3、思考题：
（1）黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
（2）在长方体中，平面与平面垂直，直线垂直于其交线。平面内的直线与平面垂直吗？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
（1）探究平面与平面垂直的性质定理
（2）应用平面与平面垂直的性质定理解决问题
学习重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。
学习难点：运用性质定理解决实际问题。
二、学习过程
探究一
已知：面α⊥面β，α∩β= a, ABα, AB⊥a于 B，
求证：AB⊥β
(让学生思考怎样证明，小组间可以相互讨论)
由证明结果的平面与平面垂直的性质定理（三种形式的表达）
探究二、性质的应用
例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
证明（略）
变式 练习 第1题
例2．如图，已知平面α 、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, aα,
试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α ）(引导学生思考)
解：（略）
变式 练习 2题（略）
A组 第1题（略）
当堂检测
1.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。
(1)平面ADD′A′⊥平面ABCD (2) DD′⊥ 面ABCD (3)AD′⊥ 面ABCD
2.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,亲说明理由
课后练习与提高
1．已知正方形所在的平面，垂足为，连结，则互相垂直的平面有 （ ）
5对 6对 7对 8对
2．平面⊥平面，=，点，点，那么是的（ ）
充分但不必要条件 必要但不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
3．若三个平面，之间有，，则与 （ ）
垂直 平行 相交 以上三种可能都有
4．已知，是两个平面，直线，，设（1），（2），（3），若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是 ( )
0 1 2 3
5．在四棱锥中，底面，
底面各边都相等，是上的一动点，
当点满足__________时，平面平面。
6．三棱锥中，，点为中点，于点，连，求证：平面平面
参考答案:1B 2C 3D 4C 5中点 6略
课件16张PPT。2.3.4 平面与平面垂直的性质问题提出 1.平面与平面垂直的定义是什么？如何判定平面与平面垂直？ 2.平面与平面垂直的判定定理，解决了两个平面垂直的条件问题；反之，在平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？定义和判定定理平面与平面
垂直的性质知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理 思考1:如果平面α与平面β互相垂直，直线l在平面α内，那么直线l与平面β的位置关系有哪几种可能？知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理 思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？思考5:据上分析可得什么定理？试用文字语言表述之.定理 若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直.思考6:上述定理通常叫做两平面垂直的性质定理，结合下图，如何用符号语言描述这个定理？该定理在实际应用中有何理论作用？知识探究（二）平面与平面垂直的性质探究 思考1:若α⊥β，过平面α内一点A作平面β的垂线，垂足为B，那么点B在什么位置？说明你的理由.思考2:上述分析表明：如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.该性质在实际应用中有何理论作用？思考4:上述结论如何用文字语言表述？该性质在实际应用中有何理论作用？如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面.理论迁移m作业:
P73练习：1，2.（做书上）
P73习题2.3A组：2.
P74习题2.3B组：3.
2.3.4 平面与平面垂直的性质
【课时目标】 1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．
1．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内________于________的直线与另一个平面垂直．
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?________．
2．两个重要结论：
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________．
图形表示为：
符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β?________．
(2)已知平面α⊥平面β，a?α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．
一、选择题
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A．l∥γ B．l?γ
C．l与γ斜交 D．l⊥γ
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
4．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )
①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上
④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
二、填空题
7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cM、3 cM、6 cM，则点P到O的距离为________．
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在__________．
三、解答题
10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥AB．
11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
能力提升
12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．
13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4．
(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P—ABCD的体积．
1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理，应用时应注意：
(1)两平面垂直；(2)直线必须在一个平面内；
(3)直线垂直于交线．
2．此定理另一应用：由一点向一个平面引垂线，确定垂足位置是求几何体高的依据．
2．3．4 平面与平面垂直的性质 答案
知识梳理
1．垂直 交线 a⊥β
2．(1)第一个平面内 a?α (2)a∥α
作业设计
1．D
2．D
[在γ面内取一点O，
作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，
同理OF⊥l，OE∩OF＝O，
所以l⊥γ．]
3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]
4．C 5．B
6．A
[如图：
由已知得AA′⊥面β，
∠ABA′＝，
BB′⊥面α，∠BAB′＝，
设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，∴＝．]
7．①③④
解析 由性质定理知②错误．
8．7 cm
解析 P到O的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．
9．直线AB上
解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．
10．证明
在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB．
11．证明
(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．
12．证明 设AC∩BD＝O，
连接EO，
则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，
PD＝a，∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD．
13．(1)证明 在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4，
∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，
BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，∴面MBD⊥面PAD．
(2)解
过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO＝2．
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，
∴四边形ABCD为梯形．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，
此即为梯形的高．
∴S四边形ABCD＝×＝24．
∴VP—ABCD＝×24×2＝16．
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、基础过关
1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是 ( )
①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上；
④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 ( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行
3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ( )
①?n⊥α； ②?m∥n；
③?m⊥n; ④?n⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
5. 如图所示，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．
7. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
8. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
二、能力提升
9. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
10．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
11．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
12．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.
(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P—ABCD的体积．
三、探究与拓展
13．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1
的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
答案
1．B 2.B 3．C 4．C
5．6
6．a⊥β
7．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB.
8．证明 (1)∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，
∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1.
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC.
∴ON綊CD綊AB，
∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，
∴ON＝AM.
∵ON＝AB，∴AM＝AB，
∴M是AB的中点．
9．A 10．C
11．①②③
12．(1)证明 在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4，
∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD.
(2)解 过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO＝2.
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，
此即为梯形的高．
∴S四边形ABCD＝×＝24.
∴VP—ABCD＝×24×2＝16.
13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，CD∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
因为BC?平面BCD，所以DC1⊥BC.
(2)解 DC1⊥BC，CC1⊥BC?BC⊥平面ACC1A1?BC⊥AC，取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，A1C1＝B1C1?C1O⊥A1B1，面A1B1C1⊥面A1BD?C1O⊥面A1BD，又∵DB?面A1DB，∴C1O⊥BD，又∵OH⊥BD，∴BD⊥面C1OH，C1H?面C1OH，∴BD⊥C1H，得点H与点D重合，且∠C1DO是二面角A1－BD－C的平面角，设AC＝a，则C1O＝a，C1D＝a＝2C1O?∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
