全等三角形的性质及判定（习题）
? 例题示范
例1：已知：如图，C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
求证：△ACD≌△CBE．
【思路分析】
1 读题标注：
2 梳理思路：
要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．
由已知得，CD=BE；
根据条件C为AB中点，得AC=CB；
这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的
夹角．
由条件CD∥BE，得∠ACD=∠B．
发现两边及其夹角相等，因此由SAS可证两三角形全等．
【过程书写】
先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应．
证明：如图
∵C为AB中点
∴AC=CB
∵CD∥BE
∴∠ACD=∠B
在△ACD和△CBE中
∴△ACD≌△CBE（SAS）
? 巩固练习
1. 如图，△ABC≌△AED，有以下结论：
①AC=AE；②∠DAB=∠EAB；③ED=BC；④∠EAB=∠DAC．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第1题图 第2题图
2. 如图，B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BF=EC，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一组条件，
这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．
3. 如图，D是线段AB的中点，∠C=∠E，∠B=∠A，找出图中的一对全等三角形是_______________，理由是_________．
第3题图 第4题图
4. 如图，AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，还需要添加一组条件，
这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．
5. 如图，将两根钢条，的中点连在一起，使，可以绕着中点O自由旋转，这样就做成了一个测量工具，的长等于内槽宽AB．其中判定△OAB≌△的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
第5题图 第6题图
6. 要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌
△ABC最恰当的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAA
7. 已知：如图，M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：△AMC≌△BMD．
【思路分析】
1 读题标注：
2 梳理思路：
要证全等，需要______组条件，其中必须有一组_____相等．
由已知得：_______=_______，_______=_______．
根据条件_________________，得_______=_______．
因此，由________可证两三角形全等．
【过程书写】
证明：如图
8. 已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，且BC=EF，AB∥DE，AB=DE．
求证：△ABC≌△DEF．
【思路分析】
1 读题标注：
2 梳理思路：
要证全等，需要_____组条件，其中必须有一组____相等．
由已知得：_______=_______，_______=_______．
根据条件_________________，得_______=_______．
因此，由__________可证两三角形全等．
【过程书写】
证明：如图
? 思考小结
1. 两个三角形全等的判定有_____，_____，_____，_____，其中AAA，SSA不能证明三角形全等，请举反例进行说明．
2. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．你能说明其中的道理吗？
【参考答案】
? 巩固练习
1. B
2. AC=DF，SAS；∠B=∠E，ASA；∠A=∠D，AAS
3. △BCD≌△AED，AAS
4. AC=AE，SAS；∠B=∠D，ASA；∠C=∠E，AAS
5. A
6. B
7. ①略
②3，边
∠1，∠2；∠C，∠D
M是AB的中点，AM，BM
AAS
【过程书写】
证明：如图，
∵M是AB的中点
∴AM=BM
在△AMC和△BMD中
∴△AMC≌△BMD（AAS）
8. ①略
②3，边
BC，EF， AB，DE
AB∥DE，∠B，∠E
SAS
【过程书写】
证明：如图，
∵AB∥DE
∴∠B=∠E
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
? 思考小结
1. SAS，SSS，ASA，AAS
AAA反例：大小三角板
SSA反例：作图略
2. 证明：如图，
在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC（SAS）
∴AB=DE（全等三角形对应边相等）
即DE的长度就是A，B间的距离
全等三角形的性质及判定（讲义）
? 课前预习
1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合吗，为什么？
①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形；
②三棱柱上下底面的两个三角形；
③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形；
④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图．
? 知识点睛
1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“________”表示．
2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等．
3. 全等三角形的判定定理：______________________________．
? 精讲精练
1. 如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，______________，_________，对应角∠B=∠DEF，_________，__________．
第1题图 第2题图
2. 如图，△ACO≌△BCO，对应边AC=BC，______________，__________，对应角∠1=∠2，____________，____________．
3. 如图，△ABC≌△DEC，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________，
______________．
4. 如图，△ABC≌△CDA，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________，
______________．
第4题图 第5题图
5. 如图，AD，BC相交于点O，若AO=DO，BO=CO，则
_______≌_______，理由是_________．
6. 如图，若AD=CB，AB=CD，则___________≌___________，理由是_______________；若∠B=∠D，∠BCA=∠DAC，则
_________≌________，理由是__________．
第6题图 第7题图
7. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
8. 如图，AO=BO，若加上一个条件________________________，
则△AOC≌△BOC，理由是__________．
第8题图 第9题图
9. 如图，∠1=∠2，若加上一个条件_______________________，
则△ABE≌△ACE，理由是____________．
10. 如图，AD，BC相交于点O，∠A=∠C，若加上一个条件_______________，则△AOB≌△COD，理由是_________．
11. 如图，AB=AD，∠1=∠2，如果要使△ABC≌△ADE，还需要添加一个条件，
这个条件可以是_________________，理由是____________；
这个条件也可以是_______________，理由是____________；
这个条件也可以是_______________，理由是____________．
12. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，若∠_____=∠_____，则△ABC≌△DEF，所以BC=________，因此BE=________．
13. 如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则△ADF≌_________，理由是_________，因此DF=__________．
14. 已知：如图，BC=DE，∠B=∠D，∠BAC=∠DAE．
求证：△ABC≌△ADE．
15. 已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：△ADC≌△AEB．
16. 已知：如图，AB=CD，AB∥CD．求证：△ABD≌△CDB．
【参考答案】
? 课前预习
①能；②能
③不能；大小不相等；④不能；大小不相等
? 知识点睛
1. 不在同一直线上；首尾顺次相接；△
2. 能够完全重合；≌；对应边；对应角
3. SAS，SSS，ASA，AAS
? 精讲精练
1. AC=DF；BC=EF；∠A=∠D；∠ACB=∠F
2. AO=BO；CO=CO；∠A=∠B；∠ACO=∠BCO
3. AB=DE；AC=DC；BC=EC；∠A=∠D；∠B=∠E；∠ACB=∠DCE
4. AB=CD；AC=CA；BC=DA；∠B=∠D；∠BAC=∠DCA；∠BCA=∠DAC
5. △AOB；△DOC；SAS
6. △ABC；△CDA；SSS；△ABC；△CDA；AAS
7. C
8. AC=BC；SSS（答案不唯一）
9. BE=CE；SAS（答案不唯一）
10. AB=CD；AAS（答案不唯一）
11. AC=AE；SAS；∠B=∠D；ASA；∠C=∠E；AAS
12. A；D；EF；CF
13. △BCE；SAS；CE
14. 证明：如图，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（AAS）
15. 证明：如图，
在△ADC和△AEB中，
∴△ADC≌△AEB（ASA）
16. 解：如图，
∵AB∥CD
∴∠1=∠2
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（SAS）
全等三角形的性质及判定（随堂测试）
1. 已知：如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，___________，_________，对应角∠ABC=∠DEF，__________，__________．
第1题图 第2题图
2. 如图，∠BAD=∠CAE，BC=DE，若加上一个条件__________，则△ABC≌△ADE，理由是___________．
3. 已知：如图，A，F，C，D在同一直线上，AC=DF，AB∥DE，且AB=DE．求证：△ABC≌△DEF．
【思路分析】
①读题标注：
②梳理思路：
要证全等，需要______组条件，其中必须有一组______．
由已知得，________=_________；________=_________．
根据条件_______________，得_________=___________．
因此，由__________可证两三角形全等．
【过程书写】
证明：如图，
4．已知：如图，△ABC≌△A′B′C，∠A：∠BCA：∠ABC＝3：10：5，求∠A′，∠B′BC的度数．
5．如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，求证：BD＝CE+DE．
6．如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P，若AD＝DC＝2.4，BC＝4.1．
（1）若∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CBE的度数；
（2）求△DCP与△BPE的周长和．
7．如图，已知△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上．
（1）若∠BED＝130°，∠D＝70°，求∠ACB的度数；
（2）若2BE＝EC，EC＝6，求BF的长．
8．如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F点，交DE于G点，∠ACB＝105°，∠CAD＝15°，∠B＝30°，则∠1的度数为多少度．
9．已知：AB∥CD，BE、CF分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，O是BC中点，则线段BE与线段CF有怎样的关系？请说明理由．
10．如图，AB＝AC，D、E分别为AC、AB边中点，连接BD、CE相交于点F．
求证：∠B＝∠C．
11．如图，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝CD，∠AFE＝∠BCD．
试说明：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）BF∥EC．
12．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形记这些三角形的三边分别为a，b，c，用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，4，4）表示边长分别为2，4，4个单位长度的一个三角形
（1）若这些三角形三边的长度为大于0且小于3的整数个单位长度，请用记号写出所有满足条件的三角形；
（2）如图，AD是△ABC的中线，线段AB，AC的长度分别为2个，6个单位长度，且线段AD的长度为整数个单位长度，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E
①求AD的长度；
②请直接用记号表示△ACE．
13．如图，已知在△BC中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D为AB上一点且BD＝8厘米，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）用含t的式子表示PC的长为 ；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD与三角形CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等？
【参考答案】
1. AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠C=∠F
2. AC=AE，SAS（答案不唯一）
3. 梳理思路：
3，边
AC，DF；AB，DE
AB∥DE，∠A，∠D
SAS
【过程书写】
证明：如图，
∵AB∥DE
∴∠A=∠D
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
4．解：∵∠A：∠BCA：∠ABC＝3：10：5，
∴设∠A＝3x，∠ABC＝5x，∠BCA＝10x．
∵∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴3x+5x+10x＝180°，x＝10°．
∴∠A＝30°∠ABC＝50°∠BCA＝100°．
∵△ABC≌△A'B'C，
∴∠A'＝∠A＝30°，∠B'＝∠ABC＝50°．
∵∠B'C B＝180°﹣∠BCA＝80°．
∴∠B'B C＝180°﹣∠B'﹣∠B'C B＝180°﹣50°﹣80°＝50°．
5．解：∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE，
即BD＝DE+CE．
6．解：（1）∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，
∴∠ABD+∠CBE＝132°，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，
即∠CBE的度数为66°；
（2）∵△ABC≌△DBE，
∴DE＝AD+DC＝4.8，BE＝BC＝4.1，
△DCP和△BPE的周长和＝DC+DP+BP+BP+PE+BE＝DC+DE+BC+BE＝15.4．
7．解：（1）由三角形的外角的性质可知，∠F＝∠BED﹣∠D＝60°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠F＝60°；
（2）∵2BE＝EC，EC＝6，
∴BE＝3，
∴BC＝9，
∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝9，
∴BF＝EF+BE＝12．
8．解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝30°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠AFC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠DFG＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
9．解：BE＝CF，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD．
∵BE、CF分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，
∴∠EBO＝∠ABC，∠FCO＝∠BCD．
∴∠EBO＝∠FCO．
又∠EOB＝∠FOC，BO＝CO，
∴△BEO≌△CFO（ASA）．
∴BE＝CF．
10．证：∵AB＝AC 且D、E分别为AC、AB边中点
∴AE＝AD
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠B＝∠C
11．证：（1）∵AB∥DE，∴∠A＝∠D
∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC 即 AC＝DF
∵∠AFE＝∠BCD，∴∠DFE＝∠ACB
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF （ASA）
（2）∵△ABC≌△DEF
∴BC＝EF
在△BCF和△EFC中，
∴△BCF≌△EFC （SAS）
∴∠BFC＝∠ECF
∴BF∥EC
12．解：（1）由三角形的三边关系得：
所有满足条件的三角形为（1，1，1），（1，2，2），（2，2，2）；
（2）①∵CE∥AB，
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AD＝ED，AB＝CE＝2，
∴AE＝2AD，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
∴6﹣2＜2AD＜6+2，
∴2＜AD＜4，
∵线段AD的长度为整数个单位长度，
∴AD＝3；
②AE＝2AD＝6，用记号表示△ACE为（2，6，6）．
13．解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝12﹣2t；
故答案为（12﹣2t）cm．
（2）当t＝2时，BP＝CQ＝2×2＝4厘米，
∵BD＝8厘米．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝12厘米，
∴PC＝12﹣4＝8厘米，
∴PC＝BD，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
③∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝6cm，CQ＝BD＝8cm，
∴点P，点Q运动的时间t＝＝＝3秒，
∴VQ＝＝厘米/秒．
即点Q的运动速度是厘米/秒时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等．
