全等三角形证明过程训练（习题）
? 例题示范
例1：已知：如图，在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABC=90°．E为正方形内一点，BE⊥BF，BE=BF，EF交BC于点G．
求证：AE=CF．
【思路分析】
1 读题标注：
2 梳理思路：
要证AE=CF，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE和△CBF中进行证明．
要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．
由已知得，AB=CB；BE=BF；
根据条件∠ABC=90°，BE⊥BF，推理可得∠1=∠2．
因此由SAS可证两三角形全等．
【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程）
证明：如图
∵BE⊥BF
∴∠EBF=90°
∴∠2+∠EBC=90°
∵∠ABC=90°
∴∠1+∠EBC=90°
∴∠1=∠2
在△ABE和△CBF中
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴AE=CF（全等三角形对应边相等）
? 巩固练习
1. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD=PE，将上述条件标注在图中，易得___________≌___________，从而AD=__________．
第1题图 第2题图
2. 已知：如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，如果要使
△ABD≌△CDB，那么还需要添加一组条件，
这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．
3. 已知：如图，C为BD上一点，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°．若AB=4，DE=2，则BD的长为______．
4. 已知：如图，点A，E，F，B在同一条直线上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，BC=AD，AE=BF．
求证：△CEB≌△DFA．
5. 如图，点C，F在BE上，∠1=∠2，BF=EC，∠A=∠D．
求证：△ABC≌△DEF．
6. 已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且AC=BD，BE∥CF，AE∥DF．求证：△ABE≌△DCF．
7. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD与CE相交于点H，AE=CE．
求证：AH=CB．
? 思考小结
1. 要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形_______；要证明三角形全等，需要准备_____组条件，其中有一组必须是_______相等．
2. 阅读材料
我们是怎么做几何题的？
例1：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．
求证：∠B=∠D．
第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上）
第二步：分析特征走通思路
1 要求∠B=∠D，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B放在△ABC中，把∠D放在△ADE中，只需要证明这两个三角形全等即可．
2 要证明△ABC≌△ADE，需要找三组条件，由已知得AB=AD，AC=AE，还差一组条件，根据∠BAE=∠DAC，同时加上公共角∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，利用SAS可得两个三角形全等．
第三步：规划过程
过程分成三块：
1 由∠BAE=∠DAC，可得∠BAC=∠DAE；
2 由SAS得△ABC≌△ADE；
3 由全等得∠B=∠D．
第四步：过程书写
【参考答案】
? 巩固练习
1. Rt△ADP，Rt△AEP，AE
2. AD=CB，HL
AB=CD，SAS
∠A=∠C，AAS
∠ADB=∠CBD，ASA
3. 6
4. 证明：如图，
∵CE⊥AB，DF⊥AB
∴∠CEB=∠DFA=90°
∵AE=BF
∴AE+EF=BF+EF
即AF=BE
在Rt△CEB和Rt△DFA中
∴Rt△CEB≌Rt△DFA（HL）
5. 证明：如图，
∵BF=EC
∴BF?FC=EC+FC
即BC=EF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（AAS）
6. 证明：如图，
∵AC=BD
∴AC?BC=BD?BC
即AB=DC
∵BE∥CF
∴∠1=∠2
∵∠1+∠3=180°
∠2+∠4=180°
∴∠3=∠4
∵AE∥DF
∴∠A=∠D
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF（ASA）
7. 证明：如图，
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠1+∠2=90°
∵CE⊥AB
∴∠AEH=∠CEB=90°
∴∠3+∠4=90°
∵∠2=∠4
∴∠1=∠3
在△AEH和△CEB中
∴△AEH≌△CEB（ASA）
∴AH=CB（全等三角形对应边相等）
? 思考小结
1. 全等；3，边
全等三角形证明过程训练（讲义）
? 课前预习
1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______．
要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____．
2. 在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化，请学习下图中的标注．
①如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．
②如图2，在四边形ABCD中，连接BD，∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，∠A=∠C．
③如图3，在四边形ABCD中，连接AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=DO．
图1 图2 图3
3. 数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请理清思路后，完整书写过程．
如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB∥CD），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数．
? 知识点睛
1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________．
2. 已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：如图，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
? 精讲精练
1. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，则___________≌___________，从而BC________BD．
2. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AE=AF，则_____≌______，从而DE=______．
3. 已知：如图，AB=CD，AF=CE，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．
求证：△ABF≌△CDE．
4. 已知：如图，∠B=∠D=90°，如果要使△ABC≌△ADC，那么还需要一个条件，
这个条件可以是_________________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件还可以是_______________，理由是____________．
第4题图 第5题图
5. 如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长为_________．
6. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．求证：△ACD≌△AED．
7. 已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AC∥DF且AC=DF，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．
8. 如图，在正方形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=BC，E，F分别是AB，AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M．
求证：BE=AF．
9. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F．求证：CF=AE．
10. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，且BE=CD，∠EDF=60°．求证：ED=DF．
【参考答案】
? 课前预习
1. SAS；SSS；ASA；AAS
3；边
2. 略
3. 解：如图，
∵AB∥CD
∴∠1=∠3
∵∠1=110°
∴∠3=110°
∵∠2+∠3=180°
∴∠2=180°-∠3
=180°-110°
=70°
? 知识点睛
1. SAS，SSS，ASA，AAS，HL
? 精讲精练
1. Rt△CAB；Rt△DAB；=
2. Rt△AED；Rt△AFD；DF
3. 证明：如图，
∵DE⊥AC；BF⊥AC
∴∠DEC=∠BFA=90°
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）
4. AB=AD；HL
BC=DC；HL
∠BAC=∠DAC；AAS
∠BCA=∠DCA；AAS
5. 3
6. 证明：如图，
∵DE⊥AB
∴∠DEA=90°
∵∠C=90°
∴∠C=∠DEA
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED（AAS）
7. 证明：如图，
∵AC∥DF
∴∠1=∠2
∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
8. 证明：如图，
∵∠ABC=90°
∴∠ABF+∠MBC=90°
∵CE⊥BF
∴∠CMB =90°
∴∠MBC+∠BCE=90°
∴∠ABF=∠BCE
在△ABF和△BCE中，
∴△ABF≌△BCE（ASA）
∴AF=BE（全等三角形对应边相等）
9. 证明：如图，
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AE⊥CD，BF⊥CD
∴∠F=∠AEC=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△BCF和△CAE中，
∴△BCF≌△CAE（AAS）
∴CF=AE（全等三角形对应边相等）
10. 证明：如图，
∵∠B=60°
∴∠1+∠2=120°
∵∠EDF=60°
∴∠2+∠3=120°
∴∠1=∠3
在△BDE和△CFD中，
∴△BDE≌△CFD（ASA）
∴ED=DF（全等三角形对应边相等）
全等三角形证明过程训练（随堂测试）
1. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，且BE=AC，如果要使△BDE≌△ADC，那么还需要一个条件，这个条件可以是____________________，理由是_________；
这个条件也可以是__________________，理由是_________；
这个条件也可以是__________________，理由是_________；
这个条件还可以是__________________，理由是_________．
2. 已知：如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点C作
CF⊥AD于点F，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．
求证：CF=BE．
证明：如图，
3．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，则线段AB与CD有什么位置关系？并说明理由．
4．如图，已知△ABC和△FED的边BC和ED在同一直线上，BD＝CE，点A，F在直线BE的两侧．AB∥EF，∠A＝∠F．判断AC与FD的数量关系和位置关系，并说明理由．
5．如图，在△PDB和△PAC中，BD与AC相交于点E，PA＝PD，PB＝PC．求证：∠B＝∠C．
6．如图，点B、C在线段AD上，且AB＝CD，点E、F在AD一侧，有AE＝BF且AE∥BF．试说明CE∥DF．
7．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，连接线段AO，AO恰好平分∠BAC．求证：OB＝OC．
8．已知：如图，BE＝FC，∠A＝∠D，∠B＝∠F．求证：△ABC≌△DFE．
9．如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，点D在线段AB上（与A，B不重合），连接BE．
（1）证明：△ACD≌△BCE．
（2）若BD＝2，BE＝5，求AB的长．
10．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G、H，若AB＝CD，探究AG与DH有怎样的数量关系．
11．如图，完成下列推理过程
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，
求证：AC＝AE．
证明：∵∠2＝∠3（已知），
∠AFE＝∠DFC（ ），
∴∠E＝∠C（ ），
又∵∠1＝∠2，
∴ +∠DAC＝ +∠DAC（ ），
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∠E＝∠C（已证）
∵AB＝AD（已知）
∠BAE＝∠DAE（已证）
∴△ABC≌△ADE（ ）
∴AC＝AE（ ）
12．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，点E在BC边上，∠AED＝90°
（1）求证：∠BAE＝∠CED；
（2）若AB+CD＝DE，求证：AE+BE＝CE；
（3）在（2）的条件下，若△CDE与△ABE的面积的差为18，CD＝6，求BE的长．
【参考答案】
1. DE=DC，HL
BD=AD，HL
∠EBD=∠CAD，AAS
∠BED=∠C，AAS
2.
证明：如图，
∵CF⊥AD，BE⊥AD
∴∠CFD=∠BED=90°
∵D为BC边的中点
∴CD=BD
在△CFD和△BED中
∴△CFD≌△BED（AAS）
∴CF=BE（全等三角形对应边相等）
3．解：AB∥CD，理由如下：
在△AOB和△COD中，，
∴△AOB≌△COD（SAS ）
∴∠B＝∠D
∴AB∥CD．
4．解：AC＝FD，AC∥FD；理由如下：
∵AB∥EF，
∴∠B＝∠E，
∵BD＝CE，
∴BD+CD＝CE+CD，
即BC＝ED，
在△ABC和△FED中，，
∴△ABC≌△FED（AAS），
∴AC＝FD，∠ACB＝∠FDE，
∴AC∥FD．
5．证明：在△PDB和△PAC中，
，
∴△PDB≌△PAC（SAS），
∴∠B＝∠C．
6．证明：∵AE∥BF
∴∠A＝∠DBF
∵AB＝CD
∴AB+BC＝CD+BC
即AC＝BD
在△ACE和△BDF中
∴△ACE≌△BDF（SAS）
∴∠ACE＝∠D
∴CE∥DF
7．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，AO平分∠BAC，
∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°，
在△BOE和△COD中，，
∴△BOE≌△COD（ASA），
∴OB＝OC．
8．证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
9．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：由（1）知：△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE＝5，
∴AB＝AD+BD＝5+2＝7．
10．解：AG＝DH；理由如下：
∵AB∥CD、EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形，∠A＝∠D，
∴∠BEC＝∠BFC，BE＝CF，
∴∠AEG＝∠DFH，
∵AB＝CD，
∴AE＝DF，
在△AEG和△DFH中，，
∴△AEG≌△DFH（ASA），
∴AG＝DH．
11．证明：∵∠2＝∠3（已知），
∠AFE＝∠DFC（ 对顶角相等），
∴∠E＝∠C（ 三角形内角和定理），
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC（ 等量代换），
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（ AAS）
∴AC＝AE（ 全等三角形对应边相等）
故答案为：对顶角相等，三角形内角和定理，∠1，∠2，等量代换，AAS，全等三角形对应边相等．
12．（1）证明：∵∠AEB+∠CED＝180°﹣90°＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CED；
（2）证明：在ED上截取EF＝AB，过点F作FG⊥DE交BC于G，连接DG，如图所示：
∵∠AEB+∠GEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
在△ABE和△EFG中，，
∴△ABE≌△EFG（ASA），
∴AE＝EG，BE＝FG，
∵AB+CD＝DE，EF+DF＝DE，
∴DF＝CD，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴FG＝CG，
∴BE＝CG，
∴AE+BE＝EG+CG＝CE；
（3）解：∵△ABE≌△EFG，Rt△DFG≌Rt△DCG，
∴S△ABE＝S△EFG，S△DFG＝S△DCG，
∴S△CDE﹣S△ABE＝2S△CDG＝18，
∴S△CDG＝9，
∴CG?CD＝9，即×CG×6＝9，
∴CG＝BE＝3．
