二次全等（习题）
? 例题示范
例1：已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且BD=CE，BE交CD于点O．求证：AO平分∠BAC．
【思路分析】
1 读题标注：
2 梳理思路：
要证AO平分∠BAC，则需证明∠DAO=∠EAO．
要证∠DAO=∠EAO，则需证明△AOD≌△AOE．
要证△AOD≌△AOE，需找三组条件，其中必须有一组边．
分析发现，AO=AO，∠ADO=∠AEO=90°，已经有了两组条件，还需要一组条件．
从已知条件出发，发现BD=CE，∠BDO=∠CEO=90°，又因为∠1=∠2，可证明△BOD≌△COE．
由△BOD≌△COE，可为上面的全等准备一组条件OD=OE．
至此，在△AOD和△AOE中三组条件找全，利用HL可以证明全等，从而得出结论．
【过程书写】
证明：如图
∵CD⊥AB，BE⊥AC
∴∠ADO=∠AEO=∠BDO=∠CEO =90°
在△BOD和△COE中
∴△BOD≌△COE（AAS）
∴OD=OE（全等三角形对应边相等）
在Rt△AOD和Rt△AOE中
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）
∴∠DAO=∠EAO（全等三角形对应角相等）
∴AO平分∠BAC
? 巩固练习
1. 已知：如图，△ABC是等边三角形，AB=BC=AC，∠ABC=
∠ACB=60°，点E，F分别在AB，AC边上，∠EDF=60°，BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDC=120°，延长AC到点G，使CG=BE．
求证：①△EBD≌△GCD；②△EFD≌△GFD．
2. 已知：如图，AB=AC，BD=CD，E是线段AD延长线上一点．
求证：△ABE≌△ACE．
3. 已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BC，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F．求证：CE=DF．
4. 已知：如图，点C，D在线段BE上，BD=EC，CA⊥AB于点A，DF⊥EF于点F，且AB=EF．求证：CF=DA．
5. 已知：如图，在△PBC中，D为PB上一点，PD=PC，延长PC到点A，使得PA=PB，连接AD，交BC于点O，连接PO．
求证：OD=OC．
【参考答案】
1. 证明：如图，
①∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°
∴∠DBE=∠ABC+∠DBC=90°
∠DCG=180°?∠ACB?∠DCB=90°
∴∠DBE=∠DCG
在△EBD和△GCD中，
∴△EBD≌△GCD（SAS）
②∵△EBD≌△GCD（已证）
∴DE=DG（全等三角形对应边相等）
∠EDB=∠GDC（全等三角形对应角相等）
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠EDB+∠CDF=60°
∴∠GDC+∠CDF=60°
即∠GDF=60°
∴∠EDF=∠GDF
在△EFD和△GFD中，
∴△EFD≌△GFD（SAS）
2. 证明：如图，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等）
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE（SAS）
3. 证明：如图，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）
∴AC=BD（全等三角形对应边相等）
∠CAB=∠DBA（全等三角形对应角相等）
∵CE⊥AB，DF⊥AB
∴∠CEA=∠DFB=90°
在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF（AAS）
∴CE=DF（全等三角形对应边相等）
4. 证明：如图，
∵CA⊥AB，DF⊥EF
∴∠CAB=∠DFE=90°
∵BD=EC
∴BD+DC=EC+DC
即BC=ED
在Rt△ABC和Rt△FED中，
∴Rt△ABC≌Rt△FED（HL）
∴∠B=∠E（全等三角形对应角相等）
在△ABD和△FEC中，
∴△ABD≌△FEC（SAS）
∴CF=DA（全等三角形对应边相等）
5. 证明：如图，
在△ADP和△BCP中，
∴△ADP≌△BCP（SAS）
∴∠A=∠B（全等三角形对应角相等）
∵PD=PC，PB=PA
∴PD-PB=PA-PC
即BD=AC
在△BOD和△AOC中，
∴△BOD≌△AOC（AAS）
∴OD=OC（全等三角形对应边相等）
二次全等（讲义）
? 课前预习
1. 回顾七年级上册学习的几何初步填空：
遇到与角有关的计算和证明时，常见的思考角度：
由平行想到_____________，____________，____________；
由垂直想到__________________，_____________________；
由外角想到_________________________________________．
2. 已知：如图，AB，CD相交于点O，AO=BO，CO=DO，过点O作EF交AC于点E，交BD于点F．
求证：△BOF≌△AOE．
? 精讲精练
1. 已知：如图，点C为线段AB上一点，在△ACM，△CBN中，AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，连接AN交CM于点E，连接BM交CN于点F．
求证：①△CAN≌△CMB；②△CEN≌△CFB．
2. 已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=
∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，延长CB到点G，使BG=DE，连接EF，AG．
求证：①△ADE≌△ABG；②EF=DE+BF．
3. 已知：如图，∠A=∠D=90°，AC，BD相交于点E，BE=CE．
求证：△ABC≌△DCB．
4. 已知：如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，过点E，F分别作ED⊥AC于点E，FB⊥AC于点F，连接AB，CD，BD，BD交AC于点G，AB=CD．求证：△DEG≌△BFG．
5. 已知：如图，AB=AC，BD=CD，AD与BC相交于点O．
求证：AD⊥BC．
6. 已知：如图，在Rt△ABE和Rt△ACF中，∠E=∠F=90°，BE=CF．BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC=∠FAB．求证：AM=AN．
7. 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E．试猜想AB和AC的数量关系，并证明你的猜想．
【参考答案】
? 课前预习
1. 同位角；内错角；同旁内角；
直角三角形两锐角互余；同角或等角的余角相等；
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2. 证明：如图，
在△BOD和△AOC中，
∴△BOD≌△AOC（SAS）
∴∠B=∠A（全等三角形对应角相等）
在△BOF和△AOE中，
∴△BOF≌△AOE（ASA）
? 精讲精练
1. 证明：如图，
①∵∠ACM=∠BCN=60°
∴∠MCN=60°
∴∠ACN=∠MCB=120°
在△CAN和△CMB中，
∴△CAN≌△CMB（SAS）
②∵△CAN≌△CMB
∴∠ANC=∠MBC（全等三角形对应角相等）
∵∠ECN=60°；∠FCB=60°
∴∠ECN=∠FCB
在△CEN和△CFB中，
∴△CEN≌△CFB（ASA）
2. 证明：如图，
①∵∠D=∠ABC=90°
∴∠ABG=90°
∴∠D=∠ABG
在△ADE和△ABG中，
∴△ADE≌△ABG（SAS）
②∵△ADE≌△ABG（已证）
∴AE=AG（全等三角形对应边相等）
∠EAD?∠GAB（全等三角形对应角相等）
∵∠EAF?45°；∠BAD=90°
∴∠BAF+∠EAD=45°
∴∠BAF+∠GAB=45°
即∠GAF=∠45°
∴∠GAF=∠EAF
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG（SAS）
∴EF=GF（全等三角形对应边相等）
∵GF=BG+BF
∴EF=DE+BF
3. 证明：如图，
在△AEB和△DEC中，
∴△AEB≌△DEC（AAS）
∴AB=DC（全等三角形对应边相等）
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（HL）
4. 证明：如图，
∵AE?CF
∴AE+EF?CF+EF
即AF=CE
∵DE⊥AC；BF⊥AC
∴∠AFB=∠CED=90°
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）
∴BF=DE（全等三角形对应边相等）
在△DEG和△BFG中，
∴△DEG≌△BFG（AAS）
5. 证明：如图，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等）
在△BAO和△CAO中，
∴△BAO≌△CAO（SAS）
∴∠AOB=∠AOC（全等三角形对应角相等）
∵∠AOB+∠AOC=180°
∴∠AOB=90°
∴AD⊥BC
6. 证明：如图，
∵∠EAC=∠FAB
∴∠EAC+∠BAC=∠FAB+∠BAC
即∠BAE=∠CAF
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（AAS）
∴AE=AF（全等三角形对应边相等）
在△AEM和△AFN中；
∴△AEM≌△AFN（ASA）
∴AM= AN（全等三角形对应边相等）
7. AB=AC，理由如下：
证明：如图，
∵DF⊥AB；DE⊥AC
∴∠AFD=∠AED=∠BFD=∠CED=90°
∵AD平分∠BAC
∴∠FAD=∠EAD
在△AFD和△AED中；
∴△AFD≌△AED（AAS）
∴DF=DE，AF=AE（全等三角形对应边相等）
∵点D是BC的中点
∴BD=CD
在Rt△BFD和Rt△CED中
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）
∴BF=CE（全等三角形对应边相等）
∴AF+BF=AE+CE
即AB=AC
二次全等（随堂测试）
1.已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD．求证：BE=CF．
证明：如图，
1.
证明：如图，
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=∠CFD=90°
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴BE=CF（全等三角形对应边相等）
过程规划
过程规划:
1.准备第一次全等的条件:
∠EAD=∠FAD
∠AED=∠AFD=∠CFD=90
2.证明第一次全等
△AED≌△AFD
3.根据全等三角形的性质得
DE=DF
4.证明第二次全等
Rt△BDB2 RtACDF
5.根据全等三角形的性质得
BE=CF
