每日一练（一）
1. 已知：如图，DF=CE，AD=BC，∠D=∠C．
求证：△AED≌△BFC．
2. 已知：如图，在等边三角形ABC中，∠C=∠ABC=60°，AB=BC=AC，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，连接AD，BE相交于点F．求证：△ABD≌△BCE．
3. 已知：如图，AB=CD，AC=BD．
求证：∠1=∠2．
每日一练（二）
1. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作
BD⊥BC，交CF的延长线于点D．
（1）求证：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长．
2. 已知：如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，连接AD，∠1=∠2=∠3，AC=AE．
求证：△ABC≌△ADE．
每日一练（三）
1. 如图，在正方形ABCD及正方形DEFG中，AD=CD，DE=DG，∠EDG=∠ADC=90°，连接CG交AD于点N，连接AE交CG于点M．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．
2. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E，延长CE交BA的延长线于点F．求证：BD=2CE．
每日一练（四）
1. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，E，F分别为AD，CB延长线上一点，且DE=BF．求证：∠E=∠F．
2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线EF经过点A，BE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F．
（1）当直线EF绕点A旋转到图1的位置时，求证：
EF=BE+CF；
（2）当直线EF绕点A旋转到图2的位置时，若BE=10，
CF=3，试求EF的长．
【参考答案】
每日一练（一）
1. 证明：如图，
∵DF=CE
∴DF?EF=CE?EF
即DE=CF
在△AED和△BFC中
∴△AED≌△BFC（SAS）
2. 证明：如图，
∵AC=BC
AE=CD
∴AC?AE=BC?CD
即CE= BD
在△ABD和△BCE中
∴△ABD≌△BCE（SAS）
3. 证明：如图，
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠ABC =∠DCB，∠ACB =∠DBC
∵∠1=∠ABC?∠DBC
∠2=∠DCB??∠ACB
∴∠1=∠2
每日一练（二）
1. （1）证明：如图，
∵CF⊥AE
∴∠AFC=90°
∴∠ACF+∠FAC=90°
∵∠ACB=∠ACF+∠DCB=90°
∴∠FAC=∠DCB
∵BD⊥BC
∴∠CBD=90°
∴∠ACE=∠CBD
在△ECA和△DBC中
∴△ECA≌△DBC（ASA）
∴AE=CD
（2）∵△ECA≌△DBC
∴CE=BD
∵AE是BC边上的中线
∴CEBC
∴BDBC
∵AC=BC
∴BDAC
∵AC=12
∴BD=6
即BD的长为6cm
2. 证明：如图，
∵∠1=∠2
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC
即∠BAC=∠DAE
又∵∠2=∠B+∠C
∠3=∠B+∠E
且∠2=∠3
∴∠C=∠E
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE（ASA）
每日一练（三）
1. （1）证明：如图，
∵∠EDG＝∠ADC
∴∠EDG+∠ADG=∠ADC+∠ADG
即∠ADE＝∠CDG
在△ADE和△CDG中
∴△ADE≌△CDG（SAS）
∴AE=CG
（2）AE⊥CG
证明：如图，
∵∠ADC=90°
∴∠GCD+∠CND=90°
∵△ADE≌△CDG
∴∠EAD＝∠GCD
∵∠ANG＝∠CND
∴∠EAD+∠ANG=90°
∴∠AMC=90°
∴AE⊥CG
2. 证明：如图，
∵BD平分∠ABC
∴∠FBE=∠CBE
∵CE⊥BD
∴∠FEB=∠CEB=90°
在△FBE和△CBE中，
∴△FBE≌△CBE（ASA）
∴FE=CE
∴FC=2CE
∵∠BAD=∠CED=90°
∠ADB=∠EDC（对顶角相等）
∴∠ABD=∠ACF
∵∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF=90°
在△ABD和△ACF中，
∴△ABD≌△ACF
∴BD=CF
∴BD=2CE
每日一练（四）
1. 证明：如图，连接DB
在△ADB和△CBD中，
∴△ADB≌△CBD（SSS）
∴∠ADB＝∠CBD
∴∠EDB＝∠FBD
在△EDB和△FBD中，
∴△EDB≌△FBD（SAS）
∴∠E=∠F
2. （1）证明：如图，
由题意得，∠BEA=∠AFC=90°
∴∠EAB+∠EBA=90°
∵∠BAC=90°
∴∠EAB+∠FAC=90°
∴∠EBA=∠FAC
在△EBA和△FAC中，
∴△EBA≌△FAC（AAS）
∴BE=AF，AE=CF
∵EF=AF+AE
∴EF=BE+CF
（2）由题意得，∠BEA=∠AFC=90°
∴∠EAB+∠EBA=90°
∵∠BAC=90°
∴∠EAB+∠FAC=90°
∴∠EBA=∠FAC
在△EBA和△FAC中，
∴△EBA≌△FAC（AAS）
∴AE=CF，BE=AF
∵EF=AF?AE
∴EF=BE?CF
∵BE=10，CF=3
∴EF=7
即EF的长为7
全等三角形之辅助线（习题）
? 例题示范
例1：已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB边上一点，AD=AC，过点D作DE⊥AB，交BC于点E．
求证：CE=DE．
【思路分析】
1 读题标注：
2 梳理思路：
要证CE=DE，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明．
观察图形，发现不存在全等的三角形．
结合条件，AC=AD，∠C=∠ADE=90°，考虑连接AE，证明△ACE≌△ADE．
【过程书写】
证明：如图，连接AE
∵DE⊥AB
∴∠ADE=90°
∵∠C=90°
∴∠C=∠ADE
在Rt△ACE和Rt△ADE中
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL）
∴CE=DE（全等三角形对应边相等）
? 巩固练习
1. 已知：如图，B，C，F，E在同一条直线上，AB，DE相交于点G，且BC=EF，GB=GE，∠A=∠D．求证：DC=AF．
2. 已知：如图，∠C=∠F，AB=DE，DC=AF，BC=EF．
求证：AB∥DE．
3. 已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的中点．求证：BE=DF．
4. 已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°，点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF交DE于点G．
求证：DE⊥AF．
5. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC ，AC与BD相交于点O，过O作EF交AD于点E，交BC于点F，则图中的全等三角形共有（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
6. 如图，C为线段AB上一点，△MAC和△NBC均是等边三角形，连接AN，交CM于点E，连接BM，交CN于点F．有下列结论：①∠AMB=∠ANB；②△ACE≌△MCF；③CE=CF；④EN=FB．其中正确结论的序号是_________________．
? 思考小结
1. 根据本章知识结构图回答下列问题：
（1）补全知识结构图．
（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑它们所在
的三角形________；如果所在的三角形不全等或者不在三角形中，则可以把一条边转移或者重新整合条件去构造全等三角形．
（3）要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组
条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．
（4）由全等三角形的性质可知：全等三角形__________相等，
__________相等，所以全等关系是转移边和角的有力工具．
【参考答案】
? 巩固练习
1. 证明：如图，过点G作GH⊥BE于点H
∵GH⊥BE
∴∠GHB=∠GHE=90°
在Rt△GHB和Rt△GHE中，
∴Rt△GHB≌Rt△GHE（HL）
∴∠B=∠E（全等三角形对应角相等）
∵BC=EF
∴BC+CF=EF+CF
即BF=EC
在△ABF和△DEC中，
∴△ABF≌△DEC（AAS）
∴DC=AF
2. 证明：如图，连接BE
在△AEF和△DBC中，
∴△AEF≌△DBC（SAS）
∴AE=DB（全等三角形对应边相等）
在△ABE和△DEB中，
∴△ABE≌△DEB（SSS）
∴∠ABE=∠DEB（全等三角形对应角相等）
∴AB∥DE
3. 证明：如图，连接BD
∵AB∥CD，AD∥BC
∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（ASA）
∴AD=CB（全等三角形对应边相等）
∵E，F分别是AD，BC的中点
∴DE=BF
在△BED和△DFB中，
∴△BED≌△DFB（SAS）
∴BE=DF（全等三角形对应边相等）
4. 证明：如图，
在△DAE和△ABF中
∴△DAE≌△ABF（SAS）
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）
∵∠DAB=90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠1+∠3=90°
∴∠AGD=90°
∴DE⊥AF
5. B
6. ②③④
? 思考小结
1. （1）SAS，SSS，ASA，AAS
SAS，SSS，ASA，AAS，HL
相等；
相等．
（2）全等
（3）3，边；AAA反例：大小三角板；SSA反例：作图略
（4）对应边，对应角．
全等三角形之辅助线（讲义）
? 课前预习
1. 为了解决几何问题，在原图的基础上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成________．
辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立_________和_________之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况．
辅助线的作用：
①________________________________________________；
②________________________________________________．
添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试．
2. 要证明边相等（或角相等），可以考虑证明它们所在的三角形_________；要证全等，需要找____组条件．
? 精讲精练
1. 已知：如图，AB=CD，AC与BD相交于点O，且AC=BD．
求证：∠ABO=∠DCO．
2. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．
求证：AB=CD且AD=BC．
3. 已知：如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，F是CD的中点．
求证：AF⊥CD．
4. 已知：在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．
5. 已知：如图，在△ABC中，点D，E在AC上，∠ABD=∠CBE，∠A=∠C．求证：BD=BE．
6. 已知：如图，在△ABD中，BC⊥AD于点C，E为BC上一点，AE=BD，EC=CD，延长AE交BD于点F．求证：AF⊥BD．
7. 已知：如图，BD，CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的数量和位置关系，并加以证明．
【参考答案】
? 课前预习
1. 虚线
已知；未知
1 把分散的条件转为集中；
2 把复杂的图形转化为基本图形．
2. 全等；3
? 精讲精练
1. 证明：如图，连接AD
在△ABD和△DCA中
∴△ABD≌△DCA（SSS）
∴∠ABO=∠DCO（全等三角形对应角相等）
2. 证明：如图，连接AC
∵AB∥CD
∴∠CAB=∠ACD
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA（ASA）
∴AB=CD，BC=DA（全等三角形对应边相等）
3. 证明：如图，连接AC，AD
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD（全等三角形对应边相等）
∵F是CD的中点
∴CF=DF
在△ACF和△ADF中，
∴△ACF≌△ADF（SSS）
∴∠CFA=∠DFA（全等三角形对应角相等）
∵∠CFA+∠DFA=180°
∴∠CFA=90°
∴AF⊥CD
4. 证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC（AAS）
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）
5. 证明：如图，过点B作BF⊥AC于点F
∵BF⊥AC
∴∠BFA=∠BFC=90°
在△ABF和△CBF中，
∴△ABF≌△CBF（AAS）
∴AB=CB（全等三角形对应边相等）
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE（ASA）
∴BD=BE（全等三角形对应边相等）
6. 证明：如图，
∵BC⊥AD
∴∠ACE=∠BCD=90°
在Rt△ACE和Rt△BCD中
∴Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）
∴∠CAE=∠CBD（全等三角形对应角相等）
∵∠ACE=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°
∵∠AEC=∠BEF
∴∠CBD+∠BEF=90°
∴∠BFE=90°
∴AF⊥BD
7. 解：AP=AQ且AP⊥AQ，理由如下：
如图，
∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BEQ=∠BDC=∠ADP=90°
∴∠1+∠3=90°
∠2+∠4=90°
∵∠3=∠4
∴∠1=∠2
在△ABP和△QCA中
∴△ABP≌△QCA（SAS）
∴AP=AQ（全等三角形对应边相等）
∠P=∠5（全等三角形对应角相等）
∵∠ADP=90°
∴∠P+∠PAD=90°
∴∠5+∠PAD=90°
即∠QAP=90°
∴AP=AQ且AP⊥AQ
全等三角形之辅助线（随堂测试）
1． 已知：如图，∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的中点．
求证：AF=CE．
【参考答案】
1. 证明：如图，连接AC
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA（AAS）
∴BC=DA（全等三角形对应边相等）
∵E，F分别是AD，BC的中点
∴
∴BF=DE
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS）
∴AF=CE（全等三角形对应边相等）
过程规划
过程规划:
1.描述辅助线:
连接AC
2.为第一次全等准备条件:
∠DAC=∠BCA
证明:△ABC≌△CDA
3.根据全等三角形的性质得:
BC=DA
4.利用中点为第二次全等准
备条件:BF=DE
第二次全等:△ABF≌△CDE
5.根据全等三角形的性质得
AF=CE
