高一（人教A版）必修四2.4平面向量的数量积（一）

必修四 2.4 平面向量的数量积
平面向量数量积的物理背景及其含义
【学习目标】
理解平面向量数量积的概念及其物理意义；
了解平面向量投影的概念；
理解平面向量数量积的性质及运算律。
【学习过程】
学前预习
向量数量积的物理背景有哪些？
两个平面向量数量积的定义是什么形式？
如何理解向量数量积的几何意义？
平面向量数量积的性质和运算律的形式？
向量数量积的常用结论有哪些？
探究活动
（一）、平面向量的数量积
、向量数量积的物理背景：
、两个平面向量数量积的定义：
、投影的定义：
、向量的数量积的几何意义：
注意：写成，投影是一个数量，可正，可负，可为0，它的符号取决于角的范围；

例1、已知
； ；
；
例2、在Rt中， 。

、平面向量数量积的性质和运算律
平面向量数量积的性质：
设是两个非零向量，则由向量数量积的定义，有：
、
、当同向时，=
当反向时，=
、， 取等号。
、，其中是非零向量
2、平面向量数量积的运算律
（1）、由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，这种运算涉及长度、角度。已知向量
、交换律：
、数乘结合律：
、分配率：
（2）、向量的数乘积、数乘、实数的乘法之间的区别
数量积 数乘 实数的乘法
或



给出下列的关系式：

其中正确的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
设是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：



其中为正确命题的是

、向量数量积的常用结论




，当且仅当同向共线时右边等号成立，反向共线时左边等号成立。
已知非零向量，则下列结论正确的是（ ）
D.
已知单位向量的夹角为，且，若向量
，则

练一练
已知，则=（ ）
A.3 B. C. D.
已知=（ ）
A.12 B.3 C.6 D.
正三角形ABC中，
则=（ ）

在四边形ABCD中，则四边形ABCD是（ ）
矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.直角梯形
已知向量的夹角为，
已知
、
、求向量
已知平行四边形的其中两条边长分别为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线的长。



已知O为三角形ABC所在平面内一点，且
，求证：点O是三角形ABC的垂心。














平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【学习目标】
掌握数量积的坐标表示；
理解两个向量夹角的坐标运算；
理解两个向量模的坐标运算。
【学习过程】
学习预习
平面向量数量积的坐标表示的形式是什么？与平面向量数量积的几何表示的区别是什么？
平面向量长度（模）的坐标表示是什么？向量的单位向量如何表示？
平面向量垂直的坐标表示是什么？
平面向量夹角的坐标表示是什么？
有哪些应用？
探究活动
、平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量。由于向量分别等价于，，根据向量数量积的运算, 其含义是：
。
的适用情况：
的适用情况：
当向量夹角的取值范围：
当向量夹角的取值范围：
当向量夹角的取值范围：
在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O（0,0），B（1,1），则
在平行四边形ABCD中，，则

、平面向量长度（模）的坐标表示
已知，由于，所有
平面内两点间的距离公式：已知原点O（0,0）,
则=
向量的单位向量，若，单位向量用坐标表示为：
。
设平面向量则（ ）
D,
设。



平面向量垂直、夹角的坐标表示
已知向量，由于用坐标表示得 。
垂直向量的坐标之间的关系：设，，则 。
已知向量，
则=
已知向量，用坐标表示向量：

判断下列各对向量是否垂直。



已知向量，则

重难拓展：的应用
已知向量，是的夹角。


由此还可以推广到一般（柯西不等式）：


已知实数的最小值；





练一练
已知向量（ ）
D.
已知三点A（2，-2），B（5,1），C（1,4），则的余弦值为
已知向量。

已知平面上三点A，B，C，
，若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
，若三角形ABC为直角三角形，求实数k的值。


在等腰直角三角形ABC中，
。


已知，且。
、用；
、求