课件28张PPT。3.1直线的倾斜角与斜率问题1：如何确定一条直线在直角坐标
系的位置呢？
两点或一点和方向
问题2：如果已知一点还需附加什么条件，才能确定直线？
一点和方向
问题3：如何表示方向？
用角直线的倾斜角lα 我们取x轴为基准，x轴正向与直线L向上的方向之间所成的角α叫做直线L的倾斜角。规定：当直线和x轴平行或重合时，
它的倾斜角为0°1、直线的倾斜角由此我们得到直线倾斜角α的范围为：l1l2l3看看这三条直线，它们倾斜角的大小关系是什么？想一想想一想你认为下列说法对吗？1、所有的直线都有唯一确定的倾斜
角与它对应。2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？问题引入问题2、直线的斜率倾斜角是90 °的直线没有斜率。描述直线倾斜程度的量——直线的斜率应用：Oxy例2 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，试比较斜率的大小l1l２l３小结1、倾斜角的定义及其范围
2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化k=0k >0k不存在k<0想一想我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。 如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？所以我们的问题是：3、探究：由两点确定的直线的斜率如图，当α为锐角时， 锐角 如图，当α为钝角是， 钝角 1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？思考？答：斜率不存在，
因为分母为0。答：与A、B两点的顺序无关。3、直线的斜率公式： 直线AB的斜率直线BC的斜率直线CA的斜率∴直线CA的倾斜角为锐角∴直线BC的倾斜角为钝角。解： ∴直线AB的倾斜角为零度角。例1四、小结： 1、直线的倾斜角定义及其范围：2、直线的斜率定义：4、斜率公式：例3 判断正误： ②直线的斜率为 ，则它的倾斜角为 （ ） ③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有
斜率。 （ ） ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平
行于y轴的直线的倾斜角不存在 （ ）⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( ) 例题例1、求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的斜率变式1、在例1基础上加上点C（m，4）也在直线上，求m。变式2、在例1基础上加上点D（8，6）,判断点D是否在直线上。例2、已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线,
求a 的值.例3、直线L的倾斜角是连接（3，-5），（0，-9）两点的直线的倾斜角的两倍，求直线L的斜率。例4、从M（2，2）射出一条光线，经过X轴反射后过点N（-8，3），求反射点P的坐标小 结：一、求直线的倾斜角和斜率二、利用斜率相同判定三点共线因为入射角等于反射角小结提高核心知识?方法?思想直线的斜率课件17张PPT。直线的倾斜角与斜率直线的位置 我们知道，两点确定一条直线。 过一点O的直线可以作无数条，可以用直线与X轴的夹角来描述它们的倾斜程度一点能确定一条直线的位置吗？1、直线的倾斜角直线倾斜角的定义： 当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角注意： (1)直线向上方向；
(2)X轴的正方向。特别地，当直线和x轴平行或重合时，
它的倾斜角为0°.问题：下列图中标出的直线的倾斜角对不
对？如果不对，违背了定义中的哪一条？xyoxyoxyoxyo（1）（2）（3）（4）特别地，当直线和x轴平行或重合时，
它的倾斜角为0°。规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。坐标平面上任何一条直都有唯一的倾斜角。倾斜角的取值范围是:思考: 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？ 如图，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即2、直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：（直线存在）倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，2. 由正切函数的单调性，
倾斜角不同的直线，其斜率也不同；
斜率不同的直线，其倾斜角也不同。k是一个实数. 每条直线都存在唯一的倾斜角，
但不是每条直线都存在斜率;判断：1.若直线的斜率存在，则必有唯一的倾斜角
与之对应.2.若直线的倾斜角存在，则必有唯一的斜率
与之对应.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，(3)直线的倾斜角越大，它的斜率就越大? 3、斜率公式直线过P1(x1,y1), P2(x2,y2)两点,则 例1、已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？例2 求证：A(-2,8) B(3,-2) C(1,2)
三点在同一直线上.例4. 已知两点A(2,3)、B(3，0)，过点P(-1，0)的直线与线段AB有公共点.求直线的斜率k的取值范围.
若B(-3,1), B(3,-1),则k的取值范围为？巩固练习：1、下列命题中真命题是（ ）
A、倾斜角为?的直线的斜率为tan?
B、斜率为tan?的直线倾斜角为?
C、斜率为0的直线倾斜角为0或?
D、斜率小于0的直线倾斜角为钝角D3. 1.1?直线的倾斜角与斜率
【学习目标?】
1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；?
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；?
3．能用公式和概念解决问题.?
【教学重难点】
重点：倾斜角与斜率的概念
难点：直线的斜率与倾斜角的关系
【教学过程】
一、课前准备
（预习教材?~?，找出疑惑之处）
复习?1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不 能确定一条直线呢??
复习?2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,?有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢??
二、新课导学
探究点一：①倾斜角的概念
当直线??与轴相交时，取轴作为基准，?轴正向与直线??向上方向之间所成的角 叫做直 线??的倾斜角（angle?of? ? inclination）.?
发现：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.?
注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为?0?度..?
思考：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” ，则坡度的公式是怎样的？
②斜率与倾斜角的关系
一条直线的倾斜角? ( ) 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为k=? tan? .?
试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为
（1）=0°时，则
（2）0°<< 90°,则
（3）= 90°，,则
（4）90?°<< 180°，则
③ 已知直线上两点(,()的直线的斜率公式：
?.
探究任务二：?
1.已知直线上两点?运用上述公式计算直线的斜率时，与?A B?两点坐标的顺序有关吗？?
2．当直线平行于?轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？
三、典型例题分析
例1? 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
? ；
?；
?
?
解（略）
变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.?
（1）=0； （2） = 1 ；（3）? = ； （4）不存在.?
解（略）
例2? 求经过两点? (2,3), (4,7)? A B? 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解（略）
变式.?1 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.?
（1）? A(2,3),B ( 1,4)? ； （2）?A (5,0), B(4, 2)? .
解（略）?
? 2．画出斜率为0,1, -1 且经过点(1,0)的直线.?
3．判断? A( -2,12),B (1,3), C(4, -6)? 三点的位置关系，并说明理由.?
解略
四、总结提升
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角 的范围是[0,180°).?
2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；
⑵ 利用直线上两点(,的坐标来求；
（3）当直线的倾斜角? = 90°时，直线的斜率是不存在的.
3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：
直线的倾斜角
直线的斜率
直线的斜率公式
定义
=tan a
?.
取值范围
[0,180°)?
()
五、当堂检测
1.? 下列叙述中不正确的是（ ）.?
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应?
B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角?
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0?°或90°
D．若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为tana?
2.? 经过A? ( 2,0), B( 5,3)?两点的直线的倾斜角 （ ）.?
A．45° B．135° C．90 °D．60 °
3.? 过点?P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于?1，则?m?的值为(? ? ? ? ).?
A.1? ? ? ? ? ? ? ? B.4? ? ? ? ? ? ? ? C.1?或?3? ? ? ? ? D.1?或?4?
4.直线经过二、三、四象限，的倾斜角为 ，斜率为?，则为 角；的取值范围? .?
5、已知直线??的倾斜角为?，则??关于??轴对称 的直线的倾斜角 为________.?
【板书设计】
一、直线的倾斜角
二、直线的斜率
三、直线的倾斜角与斜率的关系
四、求直线的斜率
【作业布置】
课后巩固练习与提高
3.1.1?直线的倾斜角与斜率
课前预习学案
一、预习目标
（1）知道确定直线的要素
（2）知道直线倾斜角的定义
（3）知道直线的倾斜角与斜率的关系
二、预习内容
在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢？要想确定一条直线，的给出什么条件呢？
通过咱们的预习，什么是直线的倾斜角？倾斜角的范围是什么？
什么是直线的斜率？它与直线的倾斜角的关系是什么？
如果知道了直线上的两个点，直线已经确定了，那么如何求直线的斜率？
5、练习：
①倾斜角为，求斜率 ②倾斜角为，求斜率
③直线过点（18， 8）（4， -4）求斜率④直线过点（0， 0）（-1， ）求斜率
课内探究学案
一．学习目标
1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；?
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；?
3．能用公式和概念解决问题.?
学习重点：倾斜角与斜率的概念
学习难点：直线的斜率与倾斜角的关系
二、学习过程
1、探究一：直线的倾斜角的定义及范围
（1）倾斜角的定义：
（2）倾斜角的范围：
（3）倾斜角与斜率的关系
例1已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
(1)? ；(2)?；(3)?; (4)
变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.?
（1）=0； （2）= 1 ；? （3）= ； ⑷不存在.?
2、探究二：由直线上的两点求直线的斜率（阅读课本的推导过程）
思考：（1）已知直线上两点?运用上述公式计算直线的斜率时，与?A B?两点坐标的顺序有关吗？?
（2）当直线平行于?轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么?
例2：求经过两点? (2,3), (4,7)? A B? 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.
变式：
1、求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.?
（1）? A(2,3),B ( 1,4)? ； （2）?A (5,0), B(4, 2)? .?
? 2．画出斜率为0,1, -1 且经过点(1,0)的直线.?
3．判断? A( -2,12),B (1,3), C(4, -6)? 三点的位置关 系，并说明理由.?
3、当堂检测
（1）? 下列叙述中不正确的是（ ）.?
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应?
B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角?
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0?°或90°
D．若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为tana?
（2）? 经过A? ( 2,0), B( 5,3)?两点的直线的倾斜角 （ ）.?
A．45° B．135° C．90 °D．60 °
（3）? 过点?P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于?1，则?m?的值为(? ? ? ? ).?
A.1? ? ? ? ? ? ? ? B.4? ? ? ? ? ? ? ? C.1?或?3? ? ? ? ? D.1?或?4?
（4）? 直线经过二、三、四象限，???的倾斜角为 ，斜 率为?，则 为 角；?的取值范围? .?
（5） 已知直线??的倾斜角为?，则??关于??轴对称 的直线??的倾斜角 为________.?
课后巩固提升学案
1.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线斜率是0,则AC、AB所在的直线斜率之和为（ ）
A. B.0 C. D.
2.过点（0，）与点（7，0）的直线，过点（2，1）与点（3，）的直线，与两坐标轴围成四边形内接于一个圆，则实数k为（ ）
A. B.3 C. D.6
3.经过两点A（2,1），B（1,）的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.或
4.若三点A（2 , 2）,B（）,C（0，）（）共线，则的值等于________。
5.已知直线l的斜角，则直线l的斜率的取值范围是_________。
6.? 已知点?A (2,3),B ( 3, 2)? ，若直线??过点?p (1,1)? 且与线段AB?相交，求直线??的斜率?的取值范围.?
7.? 已知直线?过??两点，求此直线的斜率和倾斜角.
3.1.1 倾斜角与斜率
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）理解直线倾斜角的唯一性.
（3）理解直线斜率的存在性.
（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
2．过程与方法
引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.
3．情感、态度与价值观
（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
（二）教学重点与难点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
（三）教学方法
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题引入
我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？
直线的倾斜角的概念.
学生回答（不能确定）
（1）它们都经过点P.
（2）它们的倾斜程度不同.
接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.
设疑激趣导入课题
概念形成
1．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定.
教师提问：
倾斜角的取值范围是什么？
当直线l与x轴重合时
（由学生结合图形回答）
概念深化
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.
教师提问：
如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？
学生回答后作出结论.
一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出. 确定一条直线位置的几何要素.
通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素
概念形成
2．直线的斜率
一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.
由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如= 45°时
k = tan45°= 1
= 135°时 k = tan135°= –1
教师提问：（由学生讨论后回答）
（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？
k = tan0°= 0
（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？
= 90°，k不存在
设疑激发学生思考得出结论
概念形成
3．直线的斜率公式
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
（1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角= 90°，直线与x轴垂直；
（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
（4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角= 0°，直线与x轴平行或重合.
（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.
教师提出问题：
给定两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？
可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.
借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.
应用举例
例1 已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）
分析：已知两点坐标，而且x1 ≠ x2，由斜率公式代入即可求得k的值；
而当时，倾斜角是钝角；
而当时，倾斜角是锐角；
而当时，倾斜角是0°.
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.
分析：要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.
学生分析求解 ，教师板书
例1 略解：直线AB的斜率k1 = 1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角.
直线BC的斜率k2 = –0.5＜0，所以它的倾斜角是锐角.
例2 略解：设直线a上的另个一点M的坐标为(x，y)，根据斜率公式有1 = (y – 0)/(x – 0)
所以 x = y
可令x = 1，则y = 1，于是点M的坐标为(1，1).此时过原点和点M(1，1)，可作直线a.
同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）
课堂练习：P91 1题、2题、3题、4题.
通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义
归纳总结
（1）直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）直线的斜率公式.
师生共同总结——交流——完善
引导学生学会自己总结
课后作业
布置作业
见习案3.1第一课时
由学生独立完成
巩固深化
备选例题
例1 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）(1，1)，(2，4)； （2）(–3，5)，(0，2)；
（3）(2，3)，(2，5)； （4）(3，–2)，(6，–2)
【解析】（1），所以倾斜角是锐角；
（2），所以倾斜角是钝角；
（3）由x1 = x2 = 2得：k不存在，倾斜角是90°
（4），所以倾斜角为0°
例2 已知点P点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为 .
【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为(0，6)
直线PQ的斜率k = tan120°=
∴ ∴b = –2，即Q点坐标为
课件41张PPT。3.1.1 倾斜角
与斜率复习引入 讨论：在直角坐标系中，只知道直线
上的一点，能不能确定一条直线呢?复习引入 讨论：在直角坐标系中，只知道直线
上的一点，能不能确定一条直线呢?2. 在日常生活中，我们常说这个山坡很
陡峭，有时也说坡度，这里的陡峭和坡
度说的是山坡与水平面之间的一个什么
关系呢?讲授新课 我们知道，经过两点有且只有(确定)
一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位
置能确定吗? 讲授新课 我们知道，经过两点有且只有(确定)
一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位
置能确定吗? (1)它们都经过点P.
(2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?直线倾斜角的概念：x轴正向与直线向上
方向之间所成的角叫直线的倾斜角.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?直线倾斜角的概念：x轴正向与直线向上
方向之间所成的角叫直线的倾斜角. 当直线与x轴平行或
重合时，我们规定它的
倾斜角为0度. 注意：讨论：倾斜角的取值范围是什么呢? 讨论：倾斜角的取值范围是什么呢? 0o≤?＜180o 讨论：倾斜角的取值范围是什么呢? 0o≤?＜180o 确定平面直角坐标系内的一条直线位置
的几何要素: 一个点P和一个倾斜角? .讨论：倾斜角的取值范围是什么呢? 0o≤?＜180o 确定平面直角坐标系内的一条直线位置
的几何要素: 一个点P和一个倾斜角? .直线斜率的概念：直线倾斜角?的正切值
叫直线的斜率.常用k表示，k＝tan?.直线斜率的概念：直线倾斜角?的正切值
叫直线的斜率.常用k表示，k＝tan?.讨论：
当直线倾斜角为90o时, 它的斜率不存在吗?
直线斜率的概念：直线倾斜角?的正切值
叫直线的斜率.常用k表示，k＝tan?.讨论：
当直线倾斜角为90o时, 它的斜率不存在吗?
倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?
直线斜率的概念：直线倾斜角?的正切值
叫直线的斜率.常用k表示，k＝tan?.讨论：
当直线倾斜角为90o时, 它的斜率不存在吗?
倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?
斜率为正或负时，直线过哪些象限呢? 给定两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，x1≠x2，如
何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?给定两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，x1≠x2，如
何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?给定两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，x1≠x2，如
何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?思考:
(1)直线的倾斜角?确定后，斜率k的值与点
P1 ，P2的顺序是否有关?给定两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，x1≠x2，如
何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?思考:
(1)直线的倾斜角?确定后，斜率k的值与点
P1 ，P2的顺序是否有关?(2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时，上
述公式还适用吗?归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的
斜率不存在，倾斜角?= 90o，直线与
x轴垂直；
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的
斜率不存在，倾斜角?= 90o，直线与
x轴垂直；
(2) k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2
在公式中的前后次序可以同时交换，
但分子与分母不能交换；
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的
斜率不存在，倾斜角?= 90o，直线与
x轴垂直；
(2) k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2
在公式中的前后次序可以同时交换，
但分子与分母不能交换；
(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线
上两点的坐标求得；
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的
斜率不存在，倾斜角?= 90o，直线与
x轴垂直；
(2) k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2
在公式中的前后次序可以同时交换，
但分子与分母不能交换；
(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线
上两点的坐标求得；
(4) 当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角
?=0o，直线与x轴平行或重合.例1. 已知A(3, 2)，B(－4, 1)，C(0,－1)，
求直线AB、AC、BC的斜率，并判断
这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.OxyABC例1. 已知A(3, 2)，B(－4, 1)，C(0,－1)，
求直线AB、AC、BC的斜率，并判断
这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.例2. 在平面直角坐标系中画出经过原点
且斜率分别为－1, 2, －3的直线l1, l2, l3.例3. 已知三点A(a, 2)、B(5, 1)、C(－4, 2a)
在同一直线上，求a的值. 2．若直线l向上的方向与y轴正方向成
30o角，则l的倾斜角为 ，
l的斜率为 .1．教材P.86练习第1、2、3、4题.练习2．若直线l向上的方向与y轴正方向成
30o角，则l的倾斜角为 ，
l的斜率为 .1．教材P.86练习第1、2、3、4题.练习60o2．若直线l向上的方向与y轴正方向成
30o角，则l的倾斜角为 ，
l的斜率为 .1．教材P.86练习第1、2、3、4题.练习60o或120o2．若直线l向上的方向与y轴正方向成
30o角，则l的倾斜角为 ，
l的斜率为 .1．教材P.86练习第1、2、3、4题.练习60o或120o练习3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的
倾斜角为 ，斜率为 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为 ，
斜率为 .练习3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的
倾斜角为 ，斜率为 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为 ，
斜率为 .0o练习3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的
倾斜角为 ，斜率为 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为 ，
斜率为 .00o练习3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的
倾斜角为 ，斜率为 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为 ，
斜率为 .0120o、60o0o练习3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的
倾斜角为 ，斜率为 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为 ，
斜率为 .0120o、60o0o4．当且仅当m为何值时，经过两点
A(m，3)、B(－m，2m－1)的直线的
倾斜角为60o？练习课堂小结1. 倾斜角、斜率的概念；
2. 斜率的计算公式.课堂小结1. 阅读教材P.82到P.86；
2. 《习案》十七.第三章 直线与方程
§3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
【课时目标】 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．
1．倾斜角与斜率的概念
定义
表示或记法
倾
斜
角
当直线l与x轴________时，我们取________作为基准，x轴________与直线l________________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°
α
斜率
直线l的倾斜角α(α≠90°)的____________
k＝tan α
2．倾斜角与斜率的对应关系
图示
倾斜角
(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝____
90°<α<180°
斜率
(范围)
0
大于0
斜率不
存在
小于0
一、选择题
1．对于下列命题
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为( )
A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3
3．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A．[0°，90°] B．[90°，180°)
C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]
5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( )
A．k1C．k36．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是( )
A．mn>0 B．mn<0
C．m>0，n<0 D．m<0，n<0
二、填空题
7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．
8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为________．
9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________________________．
三、解答题
10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
11．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．
能力提升
12．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，求的最大值和最小值．
13．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，a>b>c>0，则，，的大小关系是________________．
1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．
2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线．
3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．
第三章 直线与方程
§3．1 直线的倾斜角与斜率
3．1．1 倾斜角与斜率
答案
知识梳理
1．相交 x轴 正向 向上方向 正切值
2．90°
作业设计
1．C [①②③正确．]
2．C [由题意，得即
解得a＝4，b＝－3．]
3．D [因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]
4．C [倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．]
5．D [由图可知，k1<0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的倾斜角大．∴k16．C [由题意知，直线与x轴不垂直，故n≠0．直线方程化为y＝－x＋，则－>0，且<0，即m>0，n<0．]
7．30°或150° 或－ 8．0
9．20°≤α<200°
解析 因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)，
所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°．
10．解 αAD＝αBC＝60°，αAB＝αDC＝0°，αAC＝30°，αBD＝120°．
kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，kAC＝，kBD＝－．
11．解 设P(x,0)，则kPA＝＝－，
kPB＝＝，依题意，
由光的反射定律得kPA＝－kPB，
即＝，解得x＝2，即P(2,0)．
12．解
＝其意义表示点(x，y)与原点连线的直线的斜率．
点(x，y)满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则点(x，y)在线段AB上，并且A、B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，如图所示．则kOA＝2，kOB＝．
所以得的最大值为2，最小值为．
13．>>
解析 画出函数的草图如图，可视为过原点直线的斜率．
第三章 直线与方程
§3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
一、基础过关
1．下列说法中：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②任何一条直线都有唯一的斜率；
③倾斜角为90°的直线不存在；
④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为 ( )
A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3
3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为 ( )
A．－2 B．0 C. D．2
4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A．[0°，90°] B．[90°，180°)
C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]
5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．
6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．
7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的
坐标．
二、能力提升
9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为 ( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
10. 若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则 ( )
A．k1C．k311．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．
12．△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率．
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，a>b>c>0，试比较，，的大小．
答案
1．B 2．C 3.B 4．C
5．30°或150° 或－
6．(－2,1)
7．解 直线AD，BC的倾斜角为60°，直线AB，DC的倾斜角为0°，直线AC的倾斜角为30°，直线BD的倾斜角为120°.
kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，
kAC＝，kBD＝－.
8．解 设P(x,0)，则kPA＝＝－，kPB＝＝，依题意，
由光的反射定律得kPA＝－kPB，
即＝，解得x＝2，即P(2,0)．
9．D 10．D
11.20°≤α<200°
12．解 如右图，由题意知∠BAO＝∠OAC＝30°，
∴直线AB的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC的倾斜角为30°，
∴kAB＝tan 150°＝－，
kAC＝tan 30°＝.
13．解 画出函数的草图如图，可视为过原点直线的斜率．
由图象可知：>>.
