3. 1.2两条直线平行与垂直的判定
【教学目标】
（1）掌握直线与直线的位置关系。
（2）掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法。
【教学重点难点】
教学重点难点：两条直线的平行与垂直的判定方法又是教学难点。
【教学过程】
一、引入：
问题1：平面内两条直线的位置关系
问题2：两条直线的平行和直线的倾斜角和斜率之间的关系
二、新课
问题探究1：
（1）、如何判定两条不重合直线的平行？
（2）、当两条直线斜率不存在，位置关系如何？
（3）、直线l1和直线l2的斜率k1=k2，两条直线可能重合的情况下：两条直线位置关系怎样？
总结归纳直线与直线平行的判定方法
例题1（课本87页的例题3）
解答过程见课本
变式：判断下列各小题中的直线与是否平行。
（1）经过点A（-1，-2）,B(2,1), 经过点M（3，4），N（-1，-1）
答案：不平行
（2）经过点A（0，1）,B(1,0), 经过点M（-1，3），N（2，0）
答案：平行
例题2（课本87页的例题4）
解答过程见课本
变式：判断下列各小题中的直线与是否垂直。
（1）经过点A（-1，-2）,B(1,2), 经过点M（-2，-1），N（2，1）
答案：不垂直
（2）经过点A（3，4）,B(3,100), 经过点M（-10，40），N（10，40）
答案：垂直
问题探究2
（1）、如何利用直线的斜率判定两条直线的垂直？
（2）、两条垂直的直线斜率有怎样的关系？
总结直线与直线垂直的判定方法：
例题3（课本87页的例题5）
解答过程见课本
变式：已知点A（-2，-5），B（6，6），点P在轴上，且，试求点P的坐标。
分析：利用两直线的条件建立点p的坐标满足的方程与关系式。
答案;P的坐标为（0，-6）或（0，7）。过程略
例题4（课本87页的例题6）
解答过程见课本
变式：已知定点A（-1，3），B（4，2），以A、B为直径的端点，作圆与轴有交点C，求交点C的坐标。
分析：本题中有三个点A、B、C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以，因此，必有，列出方程，求解即可。答案：C（1，0）或（2，0）。过程略
例5（创新应用）
已知一直线恒过定点A（2，1），直线外有一点B（3，-2），问当直线的斜率为多少时，点B（3，-2）到直线的距离最大？最大距离是多少？
分析：结合图形观察直线绕点A转动时，点B到直线距离的变化
答案：当=时，最大距离为。过程略
变式：已知定点A（0，1），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是__________
答案：()。过程略
归纳总结
1、两条直线平行的判定程序：
（1）斜率存在的情况
（2）直线斜率不存在的情况
2、两条直线垂直的判定程序：
（1）斜率存在的情况
（2）直线斜率不存在的情况
三、达标检测
1、练习：教材89页练习第1题
2、练习：教材89页练习第2题
3、课本89页习题3.1 A组6，7
【板书设计】
一、两直线平行的判定
二、两直线垂直的判定
三、综合应用
【作业布置】
课后作业与提高
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
课前预习导学案
一、预习目标
知道直线的位置关系
初步明确直线的平行与垂直的判定
二、预习内容
（1）平面内两条直线的位置关系
（2）两条直线的平行和直线的倾斜角和斜率之间的关系
（3）在坐标系中画出下列各组直线，判断他们的位置关系。并求出他们的斜率，试发现：直线的斜率与直线的位置关系之间的联系。
① ②
③ ④
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究导学案
一、学习目标
（1）明确直线平行于垂直的条件。
（2）利用直线的平行与垂直解决有关问题。
学习重点难点：两条直线的平行与垂直的判定方法。
二、学习过程
1、直线平行的判定方法
问题探究1：
（1）、如何判定两条不重合直线的平行？
（2）、当两条直线斜率不存在，位置关系如何？
（3）、直线l1和直线l2的斜率k1=k2，两条直线可能重合的情况下：两条直线位置关系怎样？
总结归纳直线与直线平行的判定方法
应用
例题1（课本87页的例题3）
变式：判断下列各小题中的直线与是否平行。
（1）经过点A（-1，-2）,B(2,1), 经过点M（3，4），N（-1，-1）
（2）经过点A（0，1）,B(1,0), 经过点M（-1，3），N（2，0）
例题2（课本87页的例题4）
变式：判断下列各小题中的直线与是否平行。
（1）经过点A（-1，-2）,B(1,2), 经过点M（-2，-1），N（2，1）
（2）经过点A（3，4）,B(3,100), 经过点M（-10，40），N（10，40）
2、直线垂直的判定方法
（1）、如何利用直线的斜率判定两条直线的垂直？
（2）、两条垂直的直线斜率有怎样的关系？
总结直线与直线垂直的判定方法：
例题3（课本87页的例题5）
变式：已知点A（-2，-5），B（6，6），点P在轴上，且，试求点P的坐标。
分析：利用两直线的条件建立点p的坐标满足的方程与关系式。
例题4（课本87页的例题6）
变式：已知定点A（-1，3），B（4，2），以A、B为直径的端点，作圆与轴有交点C，求交点C的坐标。
例5（创新应用）
已知一直线恒过定点A（2，1），直线外有一点B（3，-2），问当直线的斜率为多少时，点B（3，-2）到直线的距离最大？最大距离是多少？
分析：结合图形观察直线绕点A转动时，点B到直线距离的变化
变式：已知定点A（0，1），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是__________
当堂达标检测：
1、练习：教材89页练习第1题
2、练习：教材89页练习第2题
3、课本89页习题3.1 A组6，7
课后巩固练习与提高
有如下几种说法：①若直线，都有斜率且斜率相等，则//;②若直线，则他们的斜率之积为-1③两条直线的倾斜角的正弦值相等，则两直线平行。
以上三种说法中，正确的个数是（ ）
A、 1 B、2 C、3 D、0
2、顺次连接A（-4，3），B（2，5），C（6，3），D（-3，1）四点所组成的图形是（ ）
A、平行四边形 B、直角梯形 C等腰梯形 D 以上都不对
3、若过点P（1，4）和Q（a，2a+2）的直线与直线平行，则a的值是（ ）
A、1 B、-1 C D
4、已知直线的斜率为3，直线经过点A(1,2),B(2,a).若直线//,则a=______;若，则a=______
5、已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D使CDAB且CB//ＡＤ
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
2．过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.
3．情感、态度与价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：两条直线平行和垂直的条件.
难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式.现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.
由学生回忆上节课内容，再由老师引入新课.
设置情境引入新课
概念形成
1．特殊情况下，两条直线平行与垂直.
两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0° ，两直线互相垂直.
由学生讨论得出答案
概念深化
2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.
设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？
首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1 = a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）
∴tga1 = tga2.
即k1 = k2.
反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1 = k2，那么tga1 = tga2.
由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，
∴a1 = a2
又∵两条直线不重合，
∴l1∥l2.
结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2k1 = k2.
注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1 = k2那么一定有l1∥l2；反之则不一定.
借助计算机，让学生通过度量，感知的关系.
通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想.
下面我们研究两条直线垂直的情形.
如果l1⊥l2，这时，否则两直线平行.
设（图）甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
.
因为l1、l2的斜率分别是k1、k2，即，所以.
∴.
即或k1k2 = –1，
反过来，如果即k1·k2 = –1不失一般性，设k1＜0.
k2＞0，
那么.
可以推出a1 = 90°+.
l1⊥l2.
结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意：结论成立的条件，即如果k1·k2 = –1，那么一定有l1⊥l2；反之则不一定.
借助计算机，让学生通过度量，感知k1，k2的关系，并使l1(或l2)转动起来，但仍保持l1⊥l2，观察k1，k2的关系，得到猜想，再加以验证，可使为锐角，钝角等.
通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法.
应用举例
例1 已知A (2,3)，B (–4,0)，P（– 3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.
借助计算机作图，使学生通过观察猜想：BA∥PQ，再通过计算机加以验证.（图略）
例1 解：直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5，
直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5，
因为k1 = k2 = 0.5，所以直线BA∥PQ.
通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B (2, –1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
例3 已知A(–6,0)，B (3,6)，P (0,3)，Q (–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.
例4 已知A(5, –1)，B (1,1)，C (2,3)，试判断三角形ABC的形状.
分析：借助计算机作图，通过观察猜想：三角形ABC是直角三角形，其中AB⊥BC，再通过计算加以验证.（图略）
课堂练习 P94 练习1、2.
借助计算机作图，使学生通过观察猜想：四边形ABCD是平行四边形，再通过计算加以验证.
例2 解：直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5，
直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5，
因为k1 = k2 = 0.5，所以直线BA∥PQ.
例3 解：直线AB的斜率k1 = (6 – 0)/ (3 – (–6)) = 2/3，
直线PQ的斜率k2 = (6 – 3) (–2 – 0) = 3/2，
因为k1·k2 = –1，所以AB⊥PQ.
归纳总结
（1）两条直线平行或垂直的真实等价条件；
（2）应用条件，判定两条直线平行或垂直.
（3）应用直线平行的条件，判定三点共线.
由学生归纳，教师再补充完善.
培养学生的概括能力
课后作业
见习案3.1的第二课时
由学生独立完成
巩固深化新学知识
备选例题
例1 试确定M的值，使过点A(m + 1，0)，B(–5，m)的直线与过点C(–4，3)，D(0，5)的直线平行.
【解析】由题意得：
由于AB∥CD，即kAB = kCD，
所以，所以m = –2.
例2 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D的坐标.
【解析】设第四个顶点D的坐标为(x，y)
因为AD⊥CD，AD∥BC 所以kAD·kCD = –1，且kAD = kBC
，
所以第四个顶点D的坐标为(2，3).
例3 已知定点A(–1，3)，B(4，2)，以A、B为直径的端点，作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标.
【解析】以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.
则AC⊥BC，设C (x，0)
则
所以
所以x = 1或2，所以C (1，0)或(2，0)
课件22张PPT。 在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角. 倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
k=tan α复习回顾倾斜角x轴正方向与直线向上方向之间所成的角αxya倾斜角倾斜角的范围：1、已知直线L 的倾斜角是α，且450≤α≤1350,求直线L的斜率k的取值范围。练习2、已知直线L的斜率是k，且-≤k≤1,求直线L的倾斜角α的取值范围。例3 判断正误： ②直线的斜率为 ，则它的倾斜角为 （ ） ③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有
斜率。 （ ） ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平
行于y轴的直线的倾斜角不存在 （ ）⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( ) §3.1.2 两直线的平行与垂直的判定设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.结论1：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有两条直线平行的判定(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,它们
平行吗?
(1) 若两条直线的斜率相等,这两条直线一定平行吗?思考(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等吗?(×)(×)平行例题讲解例1、已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。例题讲解设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2（ α1、α2≠90°）.xOyl2l1α1α2两条直线垂直的判定结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为k1、k2，则有 若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零,
它们的位置关系也是垂直.思考若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定
垂直吗?(√)(×)(2)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为-1吗?例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。例题讲解小结两条直线平行与垂直的判定条件：不重合、都有斜率条件：都有斜率例题讲解例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状。例题例6、求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的斜率变式1、在例1基础上加上点C（m，4）也在直线上，求m。变式2、在例1基础上加上点D（8，6）,
判断点D是否在直线上。因为入射角等于反射角课堂小结1.填表K1,k2存在K1k2=-1K1=k2且b1≠b2l1:y=k1x+b1l2:y=k2x+b2适用范围垂直平行两直线方程2.利用斜率判断两直线平行或垂直时，特别注意斜率
不存在时是否满足题意，注意分类讨论
数学理论 从倾斜角看 对于不重合的两条直线：
两条直线平行?倾斜角相等
从斜率看 对于不重合的两条直线：
两条直线平行?斜率相等
或斜率都不存在
从（斜截式）方程看
两条直线平行 ? k1=k2且b1≠b2
或斜率都不存在且不重合 例：已知两直线L1：x+a2y+6=0，
L2（a-2）x+3ay+2a=0，
问: a为何值时L1与L2
（1）平行（2）重合（3）相交解：若a=0时，L1：x+6=0 L2：x=0，所以L1∥L2（2）当a=-1或0时，L1、L2平行（3）当a≠3，a≠-1，a≠0时，L1、L2相交 思考（97年高考题）如果直线 ax＋2y＋2 = 0 与3x－y－2 = 0平行，那么系数a = （ ）两直线 mx＋y－n =0和 x＋my＋1 =0 互相平行的条件是什么？ - 3 B. - 6
C. - 3/2 D. 2/3课件17张PPT。两直线的位置关系--两直线平行一、复习提问:* 平面内两直线有哪几种位置关系？你知道用什么来刻画直线的倾斜程度吗?那能否用倾斜角,斜率来刻画两条直线的位置关系呢?在同一坐标系内画出下列方程的直线，并观察它们的位置关系。
练习1它们的倾斜角如何?那他们的斜率呢?二、探究引入:右图中是否仍有斜率相等?三、讲授新知:定理：分析：不重合* 两条直线平行的等价条件例1证：练习2判断两条直线平行的程序两条直线方程化为斜截式方程两条直线斜率截距两条直线斜率都不存在 平行或重合k1= k2 b1≠b2平行相交k1= k2 b1= b2重合k1 ≠ k2 请思考：
l1：A1x + B1y +C1 = 0，l2：A2x + B2y +C2 = 0（A1B1C1 0 ，A2B2C2 0）
试探求l1∥l2 的条件？
+
讨论
发现并总结 l1：A1x + B1y +C1 = 0，l2：A2x + B2y +C2 = 0（A1与B1不全为零、A2与B2也不全为零）
l1∥l2 ? A1 B2 – A2 B1= 0且A1 C2 – A2 C1 0
或A1 B2 – A2 B1= 0且B1 C2 – B2 C1 0分析:1.什么是梯形?2.怎么样处理直线平行?例3 已知直线平行, 求实数a的值。分析：求直线的方程需要哪些条件？
还差什么条件？
可以怎么求？合作探究：小金库：例4 求过点A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程.判断两直线平行的方法：
在两条直线不重合的前提下， (１).如果Ｌ１,Ｌ２斜率都存在，则直线
平行能得到斜率相等；反之，斜率相等也能
得到直线平行． (２).如果Ｌ１,Ｌ２斜率都不存在,那么两
直线都垂直于Ｘ轴，故它们平行． 四、课堂小结：1．填表课件16张PPT。两直线的位置关系--两直线垂直一、复习提问:* 两条直线平行的等价条件当直线方程为一般式时:分析：求直线的方程需要哪些条件？
还差什么条件？
可以怎么求？合作探究：小金库：练习: 求过点A(1,-4)，且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程.二、探究引入:练习1在同一坐标系内画出下列方程的直线，并观察它们的位置关系。
* 两条直线垂直的等价条件是什么呢?三、讲授新知:一、特殊情况下的垂直如图，两直线L1与L2垂直P归纳:一、特殊情况下的垂直二、斜率都存在情况下的垂直如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；
反之如果它们的斜率互为负倒数则它们互相垂直。直线方程为一般式时分析：解此题的关键在于抓住垂直这个概念，两直线垂直，说明这两条直线的斜率互为负倒数。其中一条直线方程知道，从而就可轻易的得出这条已知直线的斜率，那么，所求直线的斜率也就可以得出来了。两直线垂直斜率互为负倒数其中一条直线的斜率知道求出另一条直线的斜率由点斜式求出所求直线的方程小金库：两直线斜率存在吗?斜率存在时,怎样确定两直线垂直?由两直线垂直,能得到什么结论?它与a有关系吗?例3、已知三角形的顶点A(2,4),B(1,-2),C(-2,3), 求BC边上的高AD所在的直线方程.分析:
确定直线方程需要几个条件?已知什么?还缺什么?怎么解决?一、判断下列两直线是否垂直,并说明理由.
(1)
(2)
(3)
练习2:二.基础练习：
１、当m为_____时，直线mx-(3m-2)y=7与2x+my=1互相垂直。
２、已知直线l1 :ax+by+2a=0与直线l2:(a-1)x+y+b=0互相垂直，且直线l1过点（-1，1），则a= ,
b= .0或4/32-23. 求过点A(3,2)且垂直于直线4x+5y-8=0的直线方程. 4.和直线x+3y+1=0垂直，且在x轴上的截距为2的直线方程。四、课堂小结：1、若两条直线斜率都存在，直线L1与L2的斜率分别为 k1,k2则：
L1⊥L2 ? k1 =-1/k2 L1⊥L2 ? k1k2=-1
2、两直线若一条直线无斜率另一条直线斜率为0，则这二直线互相垂直。
3、直线方程为一般式时课件19张PPT。3.1.2两条直线平行
与垂直的判定复习引入1. 倾斜角定义及其取值范围；
复习引入1. 倾斜角定义及其取值范围；
2. 斜率定义及其斜率公式.研读教材P.86-P.87
教材中如何利用代数方法研究两直线
平行的？
讲授新课研读教材P.86-P.87
教材中如何利用代数方法研究两直线
平行的？
2. 对教材中利用代数方法研究直线平行
的结论: l1 // l2? k1=k2，你有何补充? 讲授新课研读教材P.86-P.87
教材中如何利用代数方法研究两直线
平行的？
2. 对教材中利用代数方法研究直线平行
的结论: l1 // l2? k1=k2，你有何补充?
3. 总结一下几何、代数两种方法是如何
研究两直线平行的.讲授新课讲授新课例1.已知A(2, 3)，B(－4, 0)，P(－3, 1)，
Q(－1, 2)，试判断直线BA与PQ的位置
关系，并证明你的结论.例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为
A(0, 0), B(2, －1), C(4, 2), D(2, 3)，试判
断四边形ABCD的形状，并给出证明.研读教材P.86-P.87
教材中如何利用代数方法研究两直线垂
直的？
研读教材P.86-P.87
教材中如何利用代数方法研究两直线垂
直的？
2. 对教材中利用代数方法研究直线垂直的
结论: l1 ⊥ l2?k1·k2=－1, 你有何补充? 研读教材P.86-P.87
教材中如何利用代数方法研究两直线垂
直的？
2. 对教材中利用代数方法研究直线垂直的
结论: l1 ⊥ l2?k1·k2=－1, 你有何补充?
3. 总结一下几何、代数两种方法是如何研
究两直线平行的.例3. 已知A(－6, 0)，B(3, 6)，P(0, 3)，
Q(6, －6)，试判断直线AB与PQ的位
置关系.例4. 已知A(5, －1)，B(1, 1)，C(2, 3)三点, 试判断△ABC的形状.2. 利用斜率研究直线位置关系必须讨论是 否存在.1. 代数方法判定两直线平行或垂直的结论: 若直线l1、l2存在斜率k1, k2，则 l1 //l2 k1=k2, (其中l1, l2不重合); l1⊥l2 k1·k2=－1l1//l2或 l1与l2重合若l1、l2可能重合，则k1=k2归纳练习 教材P.89练习第1、2题 拓展1：已知A(2, 3)，B(－4, 0)，
C(0, 2)，证明A、B、C三点共线.思维拓展 拓展1：已知A(2, 3)，B(－4, 0)，
C(0, 2)，证明A、B、C三点共线.
拓展2：已知矩形ABCD的三个顶
点的坐标为A(0, 1)，B(1, 0)，C(3, 2)，
求第四个顶点的坐标.思维拓展课堂小结 两条直线平行或垂直的真实等价条件；
2. 应用条件，判定两条直线平行或垂直；
3. 应用直线平行的条件，判定三点共线.课后作业1. 阅读教材P.86到P.89；
2. 《习案》十八.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
【课时目标】 1．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2．能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．
1．两条直线平行与斜率的关系
(1)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2?________．
(2)如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与________垂直，故l1________l2．
2．两条直线垂直与斜率的关系
(1)如果直线l1、l2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么l1⊥l2?__________．
(2)如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2的位置关系是________．
一、选择题
1．有以下几种说法：(l1、l2不重合)
①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2；
②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；
③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；
④只有斜率相等的两条直线才一定平行．
以上说法中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
2．以A(－1,1)、B(2，－1)、C(1,4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
3．已知A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
4．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A．1 B．0 C．0或2 D．0或1
5．若直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2，且l1⊥l2，则有( )
A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90°
C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180°
6．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是( )
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
二、填空题
7．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为________．
8．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________．
9．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是____________．
三、解答题
10．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．
11．已知△ABC的顶点坐标为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，试求m的值．
能力提升
12．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________．
13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．
3．1．2 两条直线平行与垂直的判定 答案
知识梳理
1．(1)k1＝k2 (2)x轴 ∥
2．(1)k1k2＝－1 (2)垂直
作业设计
1．B [①③正确，②④不正确，l1或l2可能斜率不存在．]
2．C [kAB＝－，kAC＝，kAC·kAB＝－1，∴AB⊥AC．]
3．B [直线AB应与x轴垂直，A、B横坐标相同．]
4．D [当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD．]
5．C
6．B [kAB＝kDC，kAD≠kBC，kAD·kAB＝－1，故构成的图形为直角梯形．]
7．－或不存在
8．2 －
解析 若l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，∴b＝2．
若l1∥l2，则k1＝k2，Δ＝9＋8b＝0，∴b＝－．
9．平行或重合
解析 由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，
直线l2的斜率k2＝＝，
因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合．
10．解
由斜率公式可得
kAB＝＝，
kBC＝＝0，
kAC＝＝5．
由kBC＝0知直线BC∥x轴，
∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．
设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，
由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
即k1·＝－1，k2·5＝－1，
解得k1＝－，k2＝－．
∴BC边上的高所在直线斜率不存在；
AB边上的高所在直线斜率为－；
AC边上的高所在直线斜率为－．
11．解 kAB＝＝－，kAC＝＝－，
kBC＝＝m－1．
若AB⊥AC，则有－·＝－1，
所以m＝－7．
若AB⊥BC，则有－·(m－1)＝－1，
所以m＝3．
若AC⊥BC，则有－·(m－1)＝－1，
所以m＝±2．
综上可知，所求m的值为－7，±2,3．
12．(－19，－62)
解析 设A(x，y)，∵AC⊥BH，AB⊥CH，
且kBH＝－，
kCH＝－，
∴解得
13．解
∵四边形ABCD是直角梯形，∴有2种情形：
(1)AB∥CD，AB⊥AD，
由图可知：A(2，－1)．
(2)AD∥BC，AD⊥AB，
?
∴．综上或．
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
一、基础过关
1．下列说法中正确的有 ( )
①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为 ( )
A．－8 B．0 C．2 D．10
3．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为 ( )
A．45° B．135° C．－45° D．120°
4．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为 ( )
A．1 B．0 C．0或2 D．0或1
5．经过点A(1,1)和点B(－3,2)的直线l1与过点C(4,5)和点D(a，－7)的直线l2平行，则a＝________.
6． 直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.
7．(1)已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，求证：AB⊥CD.
(2)已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)且l1⊥l2，求实数a的值．
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1，t)、Q(1－2t,2＋t)、R(－2t,2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．
二、能力提升
9．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是 ( )
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
10．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是____________．
11．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________．
12．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．
三、探究与拓展
13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
答案
1．A 2．A 3.B 4.D
5．52
6．2 －
7．(1)证明 由斜率公式得：
kAB＝＝，
kCD＝＝－，
则kAB·kCD＝－1，∴AB⊥CD.
(2)解 ∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
8．解 由斜率公式得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.
∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.
∴四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形．
9．B
10．平行或重合
11．(－19，－62)
12．解 由斜率公式可得
kAB＝＝，
kBC＝＝0，
kAC＝＝5.
由kBC＝0知直线BC∥x轴，
∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．
设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
即k1·＝－1，k2·5＝－1，
解得k1＝－，k2＝－.
∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为－；
AC边上的高所在直线的斜率为－.
13．解 ∵四边形ABCD是直角梯形，
∴有2种情形：
(1)AB∥CD，AB⊥AD，
由图可知：A(2，－1)．
(2)AD∥BC，AD⊥AB，
?
∴.
综上或.
