课件10张PPT。 §3.3.2 两点间的距离 已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?两点间的距离 已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?两点间的距离Q(x2,y1)练习1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1)
(3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)例题分析解：设所求点为P(x,0)，于是有解得x=1，所以所求点P(1,0)2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 练习3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标。例题分析例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。(b,c)(a+b,c)(a,0)(0,0)解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质可得C(a+b,c)因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.练习4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。(0,0)(a,0)(0,b)平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是小结§3.3.2两点间的距离
【教学目标】
1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.
【重点难点】
教学重点：①平面内两点间的距离公式.
②如何建立适当的直角坐标系.
教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.
【教学过程】
一、导入新课、展示目标
问题 已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?
二、检查预习、交流展示
核对课前预习中的答案。1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练
探究一 平面内两点间的距离公式
问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?
(2)求B(3，4)到原点的距离.
(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.
教师 ①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?
②求点B(3，4)到原点的距离.
③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.
④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).
学生 回答 ①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|.
②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.
③
图1
在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.
在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.
因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，
所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.
由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=
教师 ④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.
(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.
(c)猜想了任意两点间距离公式.
(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.
这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!
应用示例
例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.
图2
解:设B(x，3)，根据|AB|=13，
即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.
点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.
变式训练1
课本106页练习第一题
例2 已知点A(-1，2)，B(2，)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
解:设所求点P(x，0)，于是有.
由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.
即所求点为P(1，0),且|PA|==2.
点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。
变式训练2
课本106页练习第二题.
探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题
例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
解析：首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
所以，
,
所以，
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
点评 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
变式训练：已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式
≥2中的等号成立的条件.
解析：此题需要学生将不等式转化为平面内两点间的距离问题来研究。数形结合。
答案：x=y=
点评：强调数形结合，转化划归来解决问题。建立适当的直角坐标系，来解决问题很有必要。
当堂检测
导学案当堂检测
课堂小结
通过本节学习，要求大家:
①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；
②能灵活运用此公式解决一些简单问题；
③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.
【板书设计】
一、两点间距离公式
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
例3
变式3
【作业布置】
课本习题3.3 必做题 A组6、7、8；
选做题B组6.
及 导学案课后练习与提高
§ 3.3.2两点间的距离
课前预习学案
一、预习目标
1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.
二、预习内容
（一）巩固所学
1．直线，无论取任意实数，它都过点 .
2．若直线与直线的交点为，则 .
（二）探索新知，提出疑惑
预习教材P104~ P106，找出疑惑之处
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
并回答下列问题：
1.已知平面上两点，则｜P1P2｜ = （ ）.
特殊地：与原点的距离为 ｜P1P2｜= （ ）.
2.特别地，当P1P2平行于x轴时，｜P1P2｜= （ ）；
当P1P2平行于y轴时，｜P1P2｜=（ ）
课内探究学案
一、学习目标
1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.
学习重点：①平面内两点间的距离公式.
②如何建立适当的直角坐标系.
学习难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题
二、学习过程
问题 已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?
探究一 平面内两点间的距离公式
问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?
(2)求B(3，4)到原点的距离.
(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.
（4）同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程)
得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=
例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.
图2
变式训练1
课本106页练习第一题
例2 已知点A(-1，2)，B(2，)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
变式训练2
课本106页练习第二题.
探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题
例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
上述解决问题的基本步骤学生归纳如下：
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
变式训练：已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式
≥2中的等号成立的条件.
学习小结
1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.
当堂检测
1.在x轴上求一点P，使P点到A(-4，3)和B(2，6)两点的距离相等.
2.求在数轴上，与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.
3.已知三点A(3，2)、B(0，5)、C(4，6)，则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
4.以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
参考答案
1. 解:设点P坐标为(x,0)，由P点到A(-4，3)和B(2，6)两点的距离相等及两点间的距离公式，可得x=，即点P坐标为(,0).
2.答案：(,0)或(0,5).
3.解:由两点间的距离公式，可得|AB|=≠|BC|=|CA|=，故选C.
答案：C
4.答案：C
课后巩固练习与提高
1.点M(x,)、N(y,)之间的距离为( )
A.|x+y| B.x+y C.|x-y| D.x-y
2.光线从点A(-3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知A(3，-1)、B(5，-2)，点P在直线x+y=0上，若使｜PA｜+｜PB｜取最小值，则P点坐标是( )
A.(1，-1) B.(-1，1) C.() D.(-2，2)
4.已知A(1，3)、B(5，-2)，点P在x轴上，则使｜AP｜-｜BP｜取最大值的点P的坐标是( )
A.(4，0) B.(13，0) C.(5，0) D.(1，0)
5.已知A(a，3)、B(3，3a+3)两点间的距离是5，则a的值为_____________.
6.以A(-1，1)、B(2，-1)、C(1，4)为顶点的三角形是______________三角形.
7.已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(，)，则AB边上的中线CM的长为_____________________.
8.若2a-b=3，求证：三点A(-2，3)、B(3，a)、C(8,b)在一条直线上.
9.如图3-3-3，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试证明AE=CD.
图3-3-3
10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.
参考答案
1．思路解析: 思路解析:考查平面上两点间距离公式.
MN==|x+y|.
故选A.
2. 思路解析:直接求本题较为麻烦，可以通过对称问题求解.A(-3,5)关于x轴的对称点
A′(-3，-5)，则｜A′B｜即为所求，由两点间距离易求得｜A′B｜=.
答案:C
3. 思路解析:点A(3，-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1，-3)，连结A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y+3=(x-1)，即y=，与x+y=0联立,解得x=，y=.
答案:C
4. 思路解析:点A(1，3)关于x轴的对称点为A′(1，-3)，连结A′B交x轴于点P，
即为所求.直线A′B的方程是y+3=(x-1)，即y=.令y=0，得x=13.
答案:B
5. 思路解析:由两点间距离公式得｜AB｜=，解之,可得a=-1或.
答案:-1或
6.
思路解析:本题主要是考查平面上两点间距离公式和三角形形状的判断.目前，判断三角形的形状主要是利用三角形的三边关系.而知道三角形的三个顶点求三角形的三边，主要是利用平面上两点间的距离公式.
由两点间的距离公式可得|AB|=.
同理可得|AC|=，|BC|=.
所以|AB|=|AC|.
又AB2+AC2=BC2=26，所以△ABC为等腰直角三角形.
答案:等腰直角
7.
答案: 思路解析:由中点公式得AB的中点的坐标为M(2，1).
由两点间的距离公式，有|CM|=.
∴AB边上的中线CM的长为.
答案:
9.思路解析:本题是证明两线段的相等问题，可以通过坐标法来证，这就需要根据图形的特征建立直角坐标系，得出相关点的坐标，通过两点间距离公式证明相等.
解:以B为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，设等边△ABD和△BCE的边长分别为2a和2b，于是可得相关各点坐标：B(0，0)，A(-2a,0)，C(2b,0)，D(-a,)，E(b,),由两点间的距离公式，则|AE|=，
|CD|=，所以|AE|=|CD|
10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.
思路解析:根据题意，可将问题用数学表达式写出：已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB.
求证：对角线AC=BD.
所以考虑建立适当的直角坐标系，得出相关点的坐标，利用两点间距离公式证明.
解:设等腰梯形ABCD中，AB∥CD，并设其上、下底边长和高分别为2a、2b和ｃ，建立如图所示直角坐标系，以下底AB中点O为坐标原点，以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建系，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB.
可设A(-a，0)，B(a，0)，D(-b，c)，C(b，c)，
则由两点间距离公式得｜AC｜=，
｜BD｜=，∴|AC|=｜BD｜，即等腰梯形两对角线长相等.
3.3.2 两点间的距离
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；
3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
（二）教学重点、难点
重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
（三）教学方法
启发引导式
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
复习数轴上两点的距离公式.
设问一：
同学们能否用以前所学知识解决以下问题：
已知两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)求|P1P2|
设置情境导入新课
概念形成
过P1、P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N1 (0，y)，M2 (x2，0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.
在直角△ABC中，|P1P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1 (x1，0)过点P2向y轴作垂线，垂足为N2 (0，y2)，于是有|P1Q|2 = |M2M1|2 = |x2 – x1|2，
|QP2|2 = |N1N2|2 = |y2 – y1|2.
由此得到两点间的距离公式
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到.
通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程.
应用举例
例1 已知点A (–1，2)，在x轴上求一点，使|PA| = |PB|，并求|PA|的值.
解：设所求点P (x，0)，于是有
∴x2 + 2x + 5 = x2 – 4x + 11
解得x = 1
∴所求点P (1，0)且
同步练习，书本112页第1、2题.
教师讲解思路，学生上台板书.
教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出
解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为
线段AB的垂直平分线的方程是
在上述式子中，令y = 0，解得x = 1.
所以所求点P的坐标为(1，0).因此
通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.
例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.
证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).
设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因为|AB|2 = a2，|CD|2 = a2，
|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2
|AC|2 = (a + b)2 + c2，
|BD|2 = (b – a)2 + c2
所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 =
2 (a2 + b2 + c2)
|AC|2 – |BD|2 = 2(a2 + b2 + c2)所以，
|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = |AC|2 + |BD|2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.
第二步：进行有关代数运算.
第三步：把代数结果“翻译”成几何关系.
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题.
让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.
归纳总结
主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性.
师生共同总结
让学生更进一步体会知识形成过程
课后作业
布置作业
见习案3.3的第二课时.
由学生独立完成
巩固深化
备选例题
例1 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标
【解析】设点P的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：
解得：x = 11或x = –5.
所以点P的坐标为(–5，0)或(11，0).
例2 在直线l：3x – y – 1 = 0上求一点P，使得：
（1）P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
（2）P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.
【解析】（1）如图，B关于l的对称点B′(3，3).
AB′：2x + y – 9 = 0
由 解得P(2，5).
（2）C关于l对称点
由图象可知：|PA| + |PC|≥|AC′|
当P是AC′与l的交点时“=”成立，
∴.
例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P到Q的长度.
【解析】（1）设点Q′(a，b)是Q关于直线l的对称点
因为QQ′⊥l，k1 = –1，所以
又因为Q′Q的中点在直线l上，所以
所以得，所以Q′(–3，–1)
因为Q′在入射光线所在直线l1上，设其斜率为k，
所以
l1：即2x – 5y + 1 = 0
（2）设PQ′与l的交点M，由（1）知|QM| = |Q′M|
所以|PM| + |MQ| = |PM| + |MQ′| = |PQ′| =
所以沿这光线从P到Q的长度为.
入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.
课件12张PPT。3.3.2两点间的
距 离讲授新课1. 求B(3，4)到原点的距离是多少?
根据是什么?讨 论：讲授新课1. 求B(3，4)到原点的距离是多少?
根据是什么?讨 论：2. 那么B(x2，y2)到A(x1，y1) 的距离
又是怎样求呢？根据是什么?讲授新课1. 求B(3，4)到原点的距离是多少?
根据是什么?讨 论：2. 那么B(x2，y2)到A(x1，y1) 的距离
又是怎样求呢？根据是什么?例1.例2. 证明平行四边形四条边的平方和
等于两条对角线的平方和.练习1.已知△ABC的顶点坐标是A(2, 1)，
B(－2, 3)，C(0, －1)，求△ABC三条中
线的长度.练习2.已知点A(a, －5)与B(0, 10)间的距
离是17，则a的值为多少?练习3.已知点P(a, 2)，Q(－2, －3)，
M(1, 1)，且|PQ|＝|PM|，求a的值.练习4.求在x轴上与点A(5, 12)的距离为
13的点的坐标.练习5.求函数的最小值.课后作业1. 阅读教材P.104到P.106；
2. 《习案》二十三.
3.3.2 两点间的距离
【课时目标】 1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．
1．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为
|P1P2|＝________________．
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝________．
2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：
第一步：________________________________________________．
第二步：________________________．
第三步：____________________________________．
一、选择题
1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于( )
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
2．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．无法确定
3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4
C．2 D．2
4．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
5．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C． D．
6．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
二、填空题
7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．
8．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
9．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．
三、解答题
10．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．
11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
能力提升
12．求函数y＝＋的最小值．
13．求证：＋＋＋≥2．
1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．
2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．
3．3．2 两点间的距离 答案
知识梳理
1．
2．建立坐标系，用坐标表示有关的量 进行有关代数运算 把代数运算结果“翻译”成几何关系
作业设计
1．A [由＝5，解得b＝0或8．]
2．B
3．C [设A(a,0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，
解得a＝4，b＝－2，
∴|AB|＝2．]
4．B [设到A、B距离相等的点P(x，y)，
则由|PA|＝|PB|得，
4x－2y＝5．]
5．B
[(如图)A关于x轴对称点为
A′(－3，－8)，
则A′B与x轴的交点即为M，
求得M坐标为(1,0)．]
6．A [由已知得A(－1,0)，P(2,3)，由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0．]
7．
解析 由题意知解得
∴d＝＝．
8．(2,10)或(－10,10)
解析 设M(x，y)，则|y|＝＝10．
解得或．
9．2
解析 |BD|＝|BC|＝2，
|AD|＝＝2．在Rt△ADB中，
由勾股定理得腰长|AB|＝＝2．
10．解 由于B在l上，可设B点坐标为(x0，－2x0＋6)．
由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，
化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5．
当x0＝1时，AB方程为x＝1，
当x0＝5时，AB方程为3x＋4y＋1＝0．
综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0．
11．证明
如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，
则|AB|＝c，
又由中点坐标公式，
可得D，E，
所以|DE|＝－＝，
所以|DE|＝|AB|．
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
12．解
原式可化为
y＝
＋．
考虑两点间的距离公式，如图所示，
令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，
则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，
使得|PA|＋|PB|最小．
作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，
由图可直观得出
|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
故|PA|＋|PB|的最小值为A′B的长度．
由两点间的距离公式可得|A′B|＝＝5，
所以函数y＝＋的最小值为5．
13．
证明 如图所示，设点O(0,0)，A(x，y)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则原不等式左边＝|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|，
∵|OA|＋|AC|≥|OC|＝，|AB|＋|AD|≥|BD|＝，
∴|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|≥2(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．
3.3.2 两点间的距离
一、基础过关
1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于 ( )
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
2．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于 ( )
A．5 B．4 C．2 D．2
3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是 ( )
A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋2
4．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
5． 已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是_______．
6．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
7．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．
8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
二、能力提升
9．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1,0) B．(1,0) C. D.
10．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为 ( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
11．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．
12．△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形．
三、探究与拓展
13．已知直线l过点P(3,1)且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
答案
1．A 2．C 3．C 4．B
5. 6.(2,10)或(－10,10)
7．解 由于B在l上，可设B点坐标为(x0，－2x0＋6)．
由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，
化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.
当x0＝1时，AB方程为x＝1，
当x0＝5时，AB方程为3x＋4y＋1＝0.
综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
8．证明 如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，
以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝c，
又由中点坐标公式，
可得D，E，
所以|DE|＝－＝，
所以|DE|＝|AB|.
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
9．B 10．A
11．2
12．证明 作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系(如右图所示)．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．
因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距离公式可得
b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.
所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．
13．解 设直线l与直线l1，l2分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，
两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5①
又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25 ②
联立①②可得
或，
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，
故所求的直线方程为x＝3或y＝1.
