课件13张PPT。点到直线的距离点到直线的距离lP.: Ax+By+C=0(x0,y0)点到直线的距离QP（x0，y0）l:Ax+By+C=0问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。 法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,由三角形面积公式可得：? A=0或B=0，此公式也成立，
但当A=0或B=0时一般不用此
公式计算距离．注： ?在使用该公式前，须将
直线方程化为一般式． 例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。解： ①根据点到直线的距离公式，得②如图，直线3x=2平行于y轴，用公式验证，结果怎样？例2、已知点A（1，3），B（3，1），
C（-1,0），求三角形ABC的面积。例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。两平行线间的距离处处相等在l2上任取一点，例如P(3,0)P到l1的距离等于l1与l2的距离?直线到直线的距离转化为点到直线的距离任意两条平行直线都可以写成如下形式：PQ思考：任意两条平行线的距离是多少呢？ 注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为
对应相同的形式。
（两平行线间
的距离公式）例4、过点（1，2），且与点A（2，3）和
B（4，-5）距离相等的直线L的方程。注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理
为对应相等的形式。作业:
书本P109 (A)9,10(B)2,4,5
随堂:P105 8,9课件11张PPT。3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离 问题提出 1.直角坐标平面上两点间的距离公式是什么？它有哪些变形？ 2.构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有哪几种基本类型？ 3.已知平面上三点A(-2，1)，B(2， -2)，C(8，6)，若求△ABC的面积需要解决什么问题？ 4.我们已经掌握了点与点之间的距离公式，如何求点到直线的距离、两条平行直线间的距离便成为新的课题.点到直线的距离两条平行直线间的距离知识探究（一）：点到直线的距离思考1:点到直线的距离的含义是什么？在直角坐标系中，若已知点P的坐标和直线l的方程，那么点P到直线l的距离是否确定？ 思考2:若点P在直线l上，则点P到直线l的距离为多少？若直线l平行于坐标轴，则点P到直线l的距离如何计算？思考3:一般地，设点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为d，试设想d的值与哪些元素有关？思考4:你能设计一个方案求点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离吗？ 这是点到直线的距离公式.当直线l平行于坐标轴时，公式是否成立？思考5:根据上述分析，点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0的距离为： 知识探究（二）：两平行直线的距离思考1:两条平行直线的相对位置关系常通过距离来反映，两平行直线间的距离的含义是什么？ 思考2:你有什么办法求两条平行直线之间的距离？思考4:根据上述思路，你能推导出两平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）之间的距离d的计算公式吗？思考3:直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0平行的条件是什么？ 理论迁移 例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求△ABC的面积.
作业：
P110习题3.3A组： 9，10.
习题3.3B组：2，4，5.3.3.3 点到直线的距离
（一）教学目标
1．知识与技能
理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.
2．过程和方法
会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
3．情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点
教学重点：点到直线的距离公式.
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
（三）教学方法
学导式
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？
设置情境导入新课
概念形成
1．点到直线距离公式
点P (x0，y0)到直线l：Ax + By + C = 0的距离为
推导过程
方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.
此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法.
（1）教师提出问题
已知P (x0，y0)，直线l：Ax + By + C = 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？
学生自由讨论
（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.
把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，
由
得
所以
由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.
所以
可证明，当A = 0时仍适用.
这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.
通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.
应用举例
例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离.
解：
例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.
学生分析求解，老师板书
例2 解：设AB边上的高为h，则
AB边上的高h就是点C到AB的距离.
AB边所在直线方程为
即x + y – 4 = 0.
点C到x + y – 4 = 0的距离为h
，
因此，
通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
概念深化
2．两平行线间的距离d
已知l1：Ax + By + C1 = 0
l2：Ax + By + C2 = 0
证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为
.
又Ax0 + By0 + C2 = 0
即Ax0 + By0= –C2，
∴
教师提问：
能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？
学生交流后回答.
再写出推理过程
进一步培养学生化归转化的思想.
应用举例
例3 求两平行线
l1：2x + 3y – 8 = 0
l2：2x + 3y – 10 =0的距离.
解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是
解法二：直接由公式
课堂练习：已知一直线被两平行线3x + 4y – 7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.
在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.
开拓学生思维，培养学生解题能力.
归纳总结
小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.
老师和学生共同总结——交流——完善
培养学生归纳、概括能力，构建知识网络.
课后作业
布置作业
见习案3.3的第三课时
独立完成
巩固深化
备选例题
例1 求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.
解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A、B两点距离不相等.
所以可设直线方程为：y – 1 = k(x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0.
由，
解得k = 0或.
故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点.
若l∥AB且，则l的方程为x + 2y = 0.
若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y = 1.
所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P(0，1)对称的直线方程.
（2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l对称，求l的方程.
【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C=0
由P点到两直线的距离相等，即
，所以C = –38.
所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.
（2）依题可知直线l的方程为：6x + 8y + C = 0.
则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离，
到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为
所以d1 = d2即，所以.
即l的方程为：.
例3 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点A的坐标是(1，–2).求边AB、AC所在直线方程.
【解析】已知BC的斜率为，因为BC⊥AC
所以直线AC的斜率为，从而方程
即3x – 2y – 7 = 0
又点A(1，–2)到直线BC：2x + 3y – 6 = 0的距离为，
且.
由于点B在直线2x + 3y – 6 = 0上，可设，
且点B到直线AC的距离为
所以或，所以或
所以或
所以直线AB的方程为或
即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0
所以AC的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0
AB的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.
课件17张PPT。3.3.3点到直线、两条
平行直线间的距离复习引入 两点间的距离公式是什么？复习引入 两点间的距离公式是什么？ 点B(x2，y2)到A(x1，y1)的距离为讲授新课讨 论：
什么是平面上点到直线的距离？
怎样才能求出这一段的距离？讲授新课讨 论：
什么是平面上点到直线的距离？
怎样才能求出这一段的距离？点P0(x0, y0)到直线Ax＋Bx＋C＝0
的距离为例1. 求点P0(0, 5)到直线y＝2x的距离.例2. 已知点A(1, 3)，B(3, 1)，C(－1, 0)，
求△ABC的面积.练习1. 已知A(2, 1)，直线BC的方程是
x＋y＝1，求△ABC的BC边上的高.讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？点到直线的距离转
化
为平行直线间的距离例3. 已知直线l1：2x－7y－8＝0，
l2：6x－21y－1＝0，
l1与l2是否平行？
若平行，求l1与l2间的距离.练习2. 若两条平行直线
l1：ax＋2y＋2＝0
l2：3x－y＋d＝0的距离为 ，
求a与d的值.练习3.求过点M(－2, 1)，且与
A(－1, 2)，B(3, 0)距离相等的
直线方程.练习4. 求两条直线
l1：3x＋4y＋1＝0
l2：5x＋12y－1＝0
的夹角平分线方程.练习5. 求与直线l：5x－12y＋6＝0
平行且到l的距离为2的直线的方程.课堂小结1. 点到直线的距离；
2. 两条平行直线间的距离.课后作业1. 阅读教材P.106到P.108；
2. 《习案》二十四.点到直线的距离
【教学目标】
1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.
2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.
【重点难点】
教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.
教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.
【教学过程】
导入新课
思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.
思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0).
图1
新知探究
提出问题
①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?
②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？
③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离)
活动：
①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:
(ⅰ)x0=0,y0=0时，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=；
(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=.
观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d=?
学生应能得到猜想：d=.
启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)
证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0).
∴P′N=. (*)
∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上,
∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.
代入(*)得|P′N|=
即d=,.
②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.
③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.
证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.
又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=.
讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=.
②当A=0或B=0时，上述公式也成立.
③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=.
应用示例
例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：
(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.
解:(1)根据点到直线的距离公式得d=.
(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|-(-1)|=.
点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.
变式训练
点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.
解:=4|3a-6|=20a=20或a=.
例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积.
解:设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h.
|AB|=，
AB边上的高h就是点C到AB的距离.
AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0.
点C到x+y-4=0的距离为h=，
因此，S△ABC=×=5.
点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
变式训练
求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程.
解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0.
例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.
解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,
d=.
点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.
变式训练
求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离.
答案：.
解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-,)，
则直线MO′的方程为y-3=x.
直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P()即为所求，
相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=.
课堂小结
通过本节学习，要求大家：
1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.
2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.
3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.
当堂检测
导学案当堂检测
【板书设计】
一、点到直线距离公式
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
课本习题3.3 A组9、10；B组2、4及导学案课后练习与提高
3.3.3 点到直线的距离
课前预习学案
一、预习目标
让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离
二、学习过程
预习教材P117~ P119，找出疑惑之处
问题1．已知平面上两点，则的中点坐标为 ，间的长度为 .
问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢?
5分钟训练
1.点（0，5）到直线y=2x的距离是( )
A. B. C. D.
2.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.
3.已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x-y+3=0的距离为1,则a的值等于( )
A. B. C. D.
答案：C
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；??
2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离
3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题
学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.
学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立
二、学习过程
知识点1：已知点和直线，则点到直线的距离为：.
注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；
⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.
问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢并画出图形来.
例 分别求出点到直线
的距离.
问题2：求两平行线：，：
的距离.
知识点2：已知两条平行线直线，
，则与的距离为
注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使的系数相等.
典型例题
例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：
(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.
变式训练
点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.
例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积
变式训练
求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离
当堂检测
课本本节练习.
拓展提升
问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值.
.
学习小结
点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
课后巩固练习与提高
30分钟训练
1.点（3,2）到直线l:x-y+3=0的距离为( )
A. B. C. D.
2.点P(m-n,-m)到直线=1的距离为( )
A. B. C. D.
3.点P在直线x+y-4=0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )
A. B. C. D.2
4.到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合为( )
A.直线2x+y-2=0 B.直线2x+y=0
C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0 D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0
5.若动点A、B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
6.两平行直线l1、l2分别过点P1(1,0)、P2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l1：_________________,l2：_______________.
7.已知直线l过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l的距离为3，求直线l的方程.
8.已知直线l过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l的距离相等，求直线l的方程.
9.已知三条直线l1：2x-y+a=0(a＞0),直线l2：4x-2y-1=0和直线l3：x+y-1=0,且l1与l2的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列3个条件:①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是？若能,求P点的坐标;若不能,请说明理由.
参考答案
1.解析:由点到直线的距离公式可得d=.
答案：C
2.解析:nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得
.
答案：A
3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得.
答案：B
4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得｜m-1｜=1，解得m=2或m=0.
故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0.
答案：D
8.解：直线l平行于直线AB时，其斜率为k=kAB==-1，
即直线方程为y=-(x-1)+1x+y-2=0；直线l过线段AB的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l的方程为y=1.
综上，直线l的方程为x+y-2=0或y=1.
9.解：(1)根据题意得：l1与l2的距离d=a=3或a=-4(舍).
(2)设P点坐标为(x0,y0),则x0＞0,y0＞0.若P点满足条件②,
则2×｜8x0-4y0+12｜=｜4x0-2y0-1｜,
8x0-4y0+12=4x0-2y0-1或8x0-4y0+12=-(4x0-2y0-1)4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0; ①
若P点满足条件③,
则｜2x0-y0+3｜=｜x0+y0-1｜,
2x0-y0+3=x0+y0-1或2x0-y0+3=-(x0+y0-1),
x0-2y0+4=0或3x0+2=0; ②
由①②得
解得
故满足条件的点P为(-3,)或()或()或().
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4两条平行直线间的距离
【课时目标】 1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂
线段的长度
夹在两条平行直
线间____________的长
图示
公式(或求法)
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝__________________
一、选择题
1．点(2,3)到直线y＝1的距离为( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
2．原点到直线3x＋4y－26＝0的距离是( )
A． B． C． D．
3．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是( )
A． B．2 C． D．2
4．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A． B． C．3 D．6
5．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是( )
A．y＝1
B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0
D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
6．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0,5]
C．(0,5] D．[0，]
二、填空题
7．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．
8．若直线3x＋4y＋12＝0和6x＋8y－11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．
9．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．
三、解答题
10．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
11．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2,3)．
(1)求BC边的高所在直线方程；
(2)求△ABC的面积S．
能力提升
12．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．
13．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边的方程．
1．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下两点：
(1)若方程不是一般式，需先化为一般式．
(2)当点P在直线上时，公式仍成立，点P到直线的距离为0．
2．在使用两平行线间的距离公式时，要先把直线方程化为一般式，且两直线方程中x，y的系数要化为分别相等的数．
3．注意数形结合思想的运用，将抽象的代数问题几何化，要能见“数”想“形”，以“形”助“数”．
3．3．3 点到直线的距离
3．3．4两条平行直线间的距离
答案
知识梳理
公垂线段
作业设计
1．D [画图可得；也可用点到直线的距离公式．]
2．B
3．B [|OP|最小值即为O到直线x＋y－4＝0的距离，
∴d＝＝2．]
4．C [|PQ|的最小值即为两平行线间的距离，d＝＝3．]
5．C [①所求直线平行于AB，
∵kAB＝－2，∴其方程为y＝－2x＋1，即2x＋y－1＝0．
②所求直线过线段AB的中点M(4,1)，
∴所求直线方程为y＝1．]
6．C [当这两条直线l1，l2与直线PQ垂直时，d达到最大值，此时
d＝＝5．
∴07．2x＋y－5＝0
解析
如图所示，只有当直线l与OA垂直时，原点到l的距离最大，
此时kOA＝，∴kl＝－2，
∴方程为y－1＝－2(x－2)，
即2x＋y－5＝0．
8．π
9．
解析 直线3x＋2y－3＝0变为6x＋4y－6＝0，
∴m＝4．由两条平行线间的距离公式得d＝＝．
10．解 (1)由点斜式方程得，
y－5＝－(x＋2)，
∴3x＋4y－14＝0．
(2)设m的方程为3x＋4y＋c＝0，
则由平行线间的距离公式得，
＝3，c＝1或－29．
∴3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0．
11．解 (1)设BC边的高所在直线为l，
由题知kBC＝＝1，
则kl＝＝－1，
又点A(－1,4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，
即x＋y－3＝0．
(2)BC所在直线方程为：
y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1,4)到BC的距离
d＝＝2，
又|BC|＝＝4
则S△ABC＝·|BC|·d
＝×4×2＝8．
12．解 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b．
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，由梯形面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3．
但b>1，∴b＝3．
从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0．
13．解 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边的直线方程为l1：
x＋3y＋c＝0．
由得正方形的中心坐标P(－1,0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，
则＝，
得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0．
又∵正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边方程为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0．
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或－3，
∴另两条边所在的直线方程为
3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0．
∴另三边所在的直线方程分别为
3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0．
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
一、基础过关
1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为 ( )
A．1 B．－1 C. D．±
2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是 ( )
A. B．2 C. D．2
3．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为 ( )
A．3x－4y－11＝0 B．3x－4y＋9＝0
C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0 D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
4．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
5．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．
6．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．
7．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)．
(1)求BC边的高所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积S.
8．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．
二、能力提升
9．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋 转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是 ( )
A．(0，＋∞) B．[0,5]
C．(0,5] D．[0，]
10．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
11．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
12．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0.直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程．
三、探究与拓展
13．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是(1，－2)．求边AB、AC所在直线方程．
答案
1．D 2.B 3．C 4．C
5.
6．2x＋y－5＝0
7．解 (1)设BC边的高所在直线为l，
由题意知kBC＝＝1，
则kl＝＝－1，
又点A(－1,4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，
即x＋y－3＝0.
(2)BC所在直线方程为
y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1,4)到BC的距离
d＝＝2，
又|BC|＝＝4，
则S△ABC＝·|BC|·d
＝×4×2＝8.
8．解 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.
从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.
9．C 10．B
11．①⑤
12．解 因为直线l平行l1，设直线l的方程为7x＋8y＋C＝0，则d1＝，d2＝.
又2d1＝d2，∴2|C－9|＝|C＋3|.
解得C＝21或C＝5.
故所求直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.
13．解 已知BC的斜率为－，因为BC⊥AC，所以直线AC的斜率为，从而方程y＋2＝
(x－1)，即3x－2y－7＝0，又点A(1，－2)到直线BC：2x＋3y－6＝0的距离为|AC|＝，且|AC|＝|BC|＝.由于点B在直线2x＋3y－6＝0上，可设B(a,2－a)，且点B到直线AC的距离为＝，|a－11|＝10.
所以a－11＝10或a－11＝－10，所以a＝或，
所以B或B
所以直线AB的方程为y＋2＝·(x－1)或y＋2＝(x－1)．即x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0，
所以AC所在的直线方程为3x－2y－7＝0，AB所在的直线方程为x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0.
