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人教版数学九年级上册21.1一元二次方程教学设计
课题 21.1一元二次方程 单元 第二十一章 学科 数学 年级 九年级上
学习 目标 知识与技能： 1.理解一元二次方程及一元二次方程的解的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.过程与方法：1.通过一元二次方程的引入,培养学生的建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力. 2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.情感态度与价值观：1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识. 2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.
重点 一元二次方程的概念及其一般形式.
难点 正确识别一元二次方程及其一般式中的“项”及“系数”.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、知识回顾： 什么叫方程？我们学过哪些方程？ 什么叫一元一次方程？ 指出下面哪些方程是已学过的方程，分别是什么方程？创设情境：(1)要设计一座高2 m的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？(2)有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？(3)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ 学生发现方程（4）和（6）不是我们以前学过的方程 通过实际问题，引入问题．通过教师引导，学生独立思考列出方程，解决问题． 帮助学生初步感知上述方程与以往学过的方程形式的不同,通过学生的好奇心激发本节课的学习欲望. 通过实际问题引入一元二次方程的概念，提高学生建立方程模型解决实际问题的能力．
讲授新课 探究新知：探究一：这三个方程都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 思考1： 类比一元一次方程，我们可以给这类方程取一个什么名字？ 思考2： 类比一元一次方程的概念，能否给出一元二次方程的概念呢？只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．同步练习： 下列方程中哪些是一元二次方程？请说明理由.(1)-2x2 +x＝3； (2)4x2－3y-1＝0； (3)x3+2x+9＝0； (4)x(x+1)+2=0； (5)x2－2x＝x2+1; (6）ax2+bx+c=0.把上述一元二次方程化简成右边为0的形式.提出问题：类比一元一次方程的一般形式，你能写出一元二次方程的一般形式吗？ax2+bx+c=0（a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 例 将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.同步练习：探究二：前面有关排球邀请赛的问题中，我们列出方程x2-x=56，你能猜出应邀请多少个队参加比赛吗? 同学们完成表格，你发现哪几个数值使方程 左右两边的值相等？ 类比一元一次方程的解的概念，你能说出一元二次方程的解的概念吗？ 使一元二次方程左右相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 同步练习： 拓展提高： 已知关于x的方程当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根. 当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.同步练习： 学生观察，并归纳出共同特征：①整式；②一元；③2次 学生给出名称并类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义： 学生独立思考后回答． 教师引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念． 教师引导学生类比一元一次方程的解的概念，总结归纳一元二次方程的解的概念． 学生以抢答的形式来完成此题,教师应注意对学生给出的答案进行点评和归纳. 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的． 进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,提高学生学习数学的兴趣和积极性. 让学生自己概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解,是对数学符号语言的应用能力的提升,同时通过思考强调一元二次方程概念中的易错点. 类比一元一次方程解的概念归纳一元二次方程解的概念，减少学生对新知识的陌生感，可以提高学生的学习兴趣. 巩固对一元二次方程定义中3个特征的理解．
课堂小结 1、什么是一元二次方程？ 2、一元二次方程的一般形式是什么？二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项分别是什么？ 3、什么是一元二次方程的解？ 4、本节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？
板书 21.1 一元二次方程1、一元二次方程 例题 练习2、一元二次方程的一般形式 3、一元二次方程的解 作业布置： 教材习题21.1 必做题：第1、2、3题 选做题：第4、5、6题
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21.1 一元二次方程
数学人教版 九年级上
新知导入
知识回顾：
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
2.什么叫一元一次方程？
3.指出下面哪些方程是已学过的方程，分别是什么方程？
问题1：要设计一座高2m的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?
A
C
B
如图：雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:
分析:
即
设雕像下部高xcm,于是得方程
整理得
x
2-x
新知导入
创设情境：
问题2: 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm ,宽为(50-2x)cm.
根据方盒的底面积为3600cm2,得
即
新知导入
创设情境：
问题3: 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
分析:
全部比赛的场数为
4×7=28
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他（x-1)个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,
所以全部比赛共 场.
即
新知导入
创设情境：
列方程得
思考： 这三个方程都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次
方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
新知讲解
探究新知：
思考1： 类比一元一次方程，我们可以给这类方程取一个什么名字？
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，
叫做一元二次方程
新知讲解
探究新知：
思考2： 类比一元一次方程的概念，能否给出一元二次方程的概念呢？
1、下列方程中哪些是一元二次方程？请说明理由.
是一元二次方程的有：（1） （4）
课堂练习
同步练习：
把上述一元二次方程化简成右边为0的形式
新知讲解
探究新知：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能
化成 的形式 ，我们就把
称为一元二次方程的一般形式.
一元二次方程的一般形式：
想一想：为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
其中
类比一元一次方程的一般形式，你能写出一元二次方程的一般形式吗？
例 将方程 化成一元二次方程的一般形式，
并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
解：去括号，得
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
新知讲解
例题解析：
其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10. zx..xk
二次项系数、一次项系数、常数项
要注意带着前面的符号
2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数,一次项系数和常数项.
课堂练习
同步练习：
二次项系数是5,一次项系数-4，常数项是-2.
二次项系数是4,一次项系数0，常数项是-81.
二次项系数是1,一次项系数-3，常数项是0.
二次项系数是1,一次项系数0，常数项是0.
二次项系数是-1,一次项系数-4，常数项是4.
二次项系数是3,一次项系数-7，常数项是1.
课堂练习
同步练习：
3、 根据下列问题列一元二次方程，并将方程化成一元二次方程的一般形式
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x.
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x.
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段
的长的平方，求较短一段的长x.
x2-x=56
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
x2－x 0 2 …
６
12
20
30
42
56
72
90
当x=8时，x2－x＝56，
你发现哪几个数值使方程 左右两边的值相等？
前面有关排球邀请赛的问题中，我们列出方程
新知讲解
探究新知：
请同学们填写下表：
你能猜出应邀请多少个队参加比赛吗?
由此得出应邀请8个队参加比赛.
当x=8时，x2－x＝56，我们就把x=8叫做方程x2－x=56的解．
新知讲解
探究新知：
思考：是否只有x=８是方程x2－x=56的解呢？
将x=－7代入方程 x2－x=56
左边＝（-7）×（-7）-（-7）＝ 56 = 右边
所以x＝－7也是方程x2－x=56的解.
类比一元一次方程的解的概念，你能说出一元二次方程的解的概念吗？
使一元二次方程左右相等的未知数的值叫做一元二次方程的解
也叫做一元二次方程的根.
4、下面哪些数是方程 x2–x–6=0的解?
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
6、已知方程5x?+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______．
5、写出方程x2－x=0的根，你能写出几个？
课堂练习
同步练习：
-2和3是方程的解
x=0 和 x=1
7、已知关于 x 的一元二次方程(a-1)x2 +x+∣a∣-1＝0 的一个根为0，
求实数a的值.
解：把 x＝0 代入方程(a－1)x2＋x+∣a∣-1＝0，得
∣a∣-1＝0. 解得 a＝±1.
又∵a-1≠0 ∴a = -1
拓展提高
已知关于x的方程
（1）当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根.
（2）当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的
二次项系数、一次项系数、常数项
解：（1）若原方程是一元一次方程，则 解得k=1
所以当k=1时，此方程是一元一次方程，方程为2x-2=0，解得x=1
（2）若原方程是一元二次方程，则 即
所以当 时，此方程是一元二次方程，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是-2.
8、方程（2a-4）x2-2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？
在什么条件下此方程为一元一次方程？
课堂练习
同步练习：
9、当 m 为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)(m2－4)x2＋3x＝5； (2)4xm＋3－x－1＝0.
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：(1)由题意，得 m2－4≠0，∴m≠±2 .
(2)由题意，得 m＋3＝2， ∴m＝－1.
课堂总结
1、什么是一元二次方程？
2、一元二次方程的一般形式是什么？二次项、二次项系数、一次项、一次
项系数、常数项分别是什么？
3、什么是一元二次方程的解？
4、本节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？
板书设计
1、一元二次方程的概念 例题 练习
2、一元二次方程的一般形式
21.1 一元二次方程
3、 一元二次方程的解
作业布置
教材习题21.1
必做题：第1、2、3题
选做题：第4、5、6题
谢谢
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