第二十三章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
23.1.1 锐角的三角函数
第1课时 正 切
知识点一 正切的定义 精练版P77
在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝.
例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝2，AB＝3，求tan∠BCD的值．
解析：本题有两种解法：一种是在Rt△BCD中求tan∠BCD，这需要我们利用△BCD∽△BAC求出△BCD的两直角边长；一种是利用∠BCD＝∠A的关系，在Rt△ABC中求tanA(即tan∠BCD)．
解：解法一：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝＝，
∵∠DBC＝∠ABC，∠BDC＝∠ACB＝90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝＝，即＝＝ .
解得BD＝，CD＝2.
∴tan∠BCD＝＝.
解法二：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝＝，
∵∠BCD＋∠ACD＝∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A.
∴tan∠BCD＝tanA＝＝＝.
注意：对比以上两种解法，可知解法二更简单一些，因此在解题过程中，可把求一个角的正切值转化为求与它相等的角的正切值．
知识点二 坡度(坡比)、坡角 精练版P77
定义：如图，坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫坡度(或坡比)，坡度一般用i表示．坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
i＝tanα＝.
温馨提示：(1)坡度的大小只与坡角α的大小有关，与坡面的长短无关．(2)坡度即是坡角α的正切值，这一关系在解题过程应用广泛．
例2 河堤横断面如图，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为( )
A．12米 B．4米
C．5米 D．6米
解析：先由坡比的定义，得BC∶AC＝1∶.由BC＝6米，可得AC＝6米．由勾股定理，得AB＝＝12米．
答案：A
课件21张PPT。23.1.1 锐角的三角函数第1课时 正 切第二十三章 解直角三角形A C C D C 26 C A A 210 第2课时 正弦和余弦
知识点一 正弦的定义 精练版P79
在Rt△ABC(∠C＝90°)中，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝.
例1 如图(1)，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝________.
解析：如图(2)，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，由勾股定理，得AB＝AC＝2，BC＝2，AD＝3，可以得知△ABC是等腰三角形，由△ABC的面积公式，得BC·AD＝AB·CE，∴CE＝＝，∴sinA＝＝＝.
答案：
知识点二 余弦的定义 精练版P79
在Rt△ABC(∠C＝90°)中把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.即cosA＝.
例2 如图所示，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是( )
A. B. C. D.
解析：根据锐角余弦的定义，把∠α放置在直角三角形中求解，∠α不仅是Rt△BCD中的一个锐角，而且是Rt△ABC中的一个锐角．由“同角的余角相等”可知∠α＝∠ACD，所以∠ACD的余弦值等于∠α的余弦值．故表示cosα的值，错误的是C.
答案：C
知识点三 锐角的三角函数 精练版P59
定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做锐角A的三角函数．
温馨提示：(1)正弦、余弦的概念是类比正切得到的，它们的本质都是两条线段长度的比值，是数值，没有单位，只与角的大小有关．
(2)由于直角三角形的斜边长大于直角边长，且各边长均为正数，所以有0<<1,0<<1，所以0(3)根据正弦、余弦的概念，我们既可以求锐角的正弦值、余弦值，也可以根据已知的正弦值、余弦值求线段的长．
例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA的值为( )
A. B. C. D.
解析：如图，sinA＝＝.设BC＝5x，则AB＝13x，根据勾股定理，得AC＝12x，∴cosA＝＝＝.
答案：D
易错点 对锐角三角函数的定义理解不透彻
例4 在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A，∠B，∠C分别对应a，b，c，其中a＝3，c＝5，求sinA.
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴b为斜边．∴b＝＝＝，∴sinA＝＝＝.
注意：本例易忽略∠B＝90°的条件，受∠C＝90°的思维定式的影响，容易错解成sinA＝＝，所以在解题时应明确直角三角形的直角边和斜边．
课件30张PPT。23.1.1 锐角的三角函数第2课时 正弦和余弦第二十三章 解直角三角形C C D A C 23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值
知识点 30°，45°，60°角的三角函数值 精练版P81
熟记30°，45°，60°角的三角函数值.
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
温馨提示：由上表可以看出这样一个规律：30°，45°，60°角的正弦值分子依次是，，，分母都是2，所以一个锐角的正弦值随角度的增大而增大；30°，45°，60°角的余弦值恰好分别是60°，45°，30°角的正弦值，即分子依次是，，，分母都是2，所以锐角的余弦值随角度的增大而减小；30°，45°，60°角的正切值分母可看作是3，分子依次是，，，所以锐角的正切值随角度的增大而增大．可简记为“正增余减”．
例 求下列各式的值：
(1)2sin30°＋6tan30°＋2cos45°；
(2)sin260°＋cos45°·tan30°.
解析：把对应的三角函数值代入计算即可，需注意：若无特别说明，用特殊三角函数值进行计算时一般不取近似值．
解：(1)2sin30°＋6tan30°＋2cos45°
＝2×＋6×＋2×
＝1＋2＋.
(2)sin260°＋cos45°·tan30°
＝＋×
＝＋.
注意：把30°，45°，60°角的三角函数值代入代数式，利用实数的运算法则进行计算．
课件27张PPT。23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值第二十三章 解直角三角形C A B C C 75° C 60° 30° 第2课时 互余两角三角函数的关系
知识点 互余两角三角函数的关系 精练版P83
通过对比特殊角的正弦、余弦之间的关系，根据锐角三角函数的概念我们可以得到互余两角的正弦、余弦之间的关系：任意锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值，可以表示为：
(1)sinA＝cos(90°－A)，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；
(2)cosA＝sin(90°－A)，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
(3)tanA＝，即一个锐角的正切值等于它的余角的正切值的倒数．
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：此题可构造Rt△ABC，利用余弦函数定义，求出∠B的邻边与斜边的关系即可求出cosB.若利用互余两锐角的正、余弦关系，则十分简捷．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴cosB＝sinA＝.
答案：B
注意：(1)要灵活运用互为余角的概念，∠A的余角是(90°－∠A)，(90°－∠A)的余角是∠A； (2)sinA＝cos(90°－∠A)，是指∠A的正弦值与∠A的余角(90°－∠A)的余弦值相等．
易错点 应用互余两角的三角函数关系时，书写格式出现错误
例2 把sin20°改写成余角的余弦的形式．
解：sin20°＝sin(90°－70°)＝cos70°.
注意：对此类问题，常出现sin20°＝sin(90°－20°)＝cos70°的错误，第一步实际上就是sin20°＝sin70°，第二步实际上就是sin70°＝cos70°，这样分析错误就非常明显了．
课件27张PPT。23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值第2课时 互余两角三角函数的关系第二十三章 解直角三角形C B C A 45° 0.618 1 C 1 23.1.3 一般锐角的三角函数值
知识点一 利用计算器求锐角的三角函数值 精练版P85
用计算器进行数学运算是我们应该掌握的一种技能，而用计算器求一般锐角的三角函数值则会给我们计算三角函数值带来很大方便．
计算器上只要有sin，cos，tan键，就可以用来求锐角的三角函数值．计算器显示的是三角函数值的近似值，不同计算器给出近似值的数字个数也不同．不同计算器的按键方法各有不同，本书介绍的这种计算器，先按ON/C键，再按MODE键，使显示器屏幕出现“DEG”，然后再按有关三角函数的键．
温馨提示：0°，90°的三角函数值如下表：
α
sinα
cosα
tanα
0°
0
1
0
90°
1
0
不存在
请用计算器验证以上结果，然后正确识记．
例1 求sin27°31′45″的值．(精确到0.0001)
解析：按照计算器的说明操作．
解：按下列顺序依次按键：.
显示结果为0.462 200 09.
所以sin27°31′45″＝0.4622.
注意：用计算器求得的三角函数值，一般都是近似数，但仍然用“＝”表示，而不用“≈”．
知识点二 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数 精练版P85
一般地，计算器中都有sin－1，cos－1，tan－1键，这些是由正弦值、余弦值或正切值求锐角度数的功能键．已知—个锐角的正弦值、余弦值或正切值，求锐角时，要用到2ndF，sin－1，cos－1，tan－1键．
例2 计算：若tanA＝0.2567，求锐角A.(精确到0.1度)
解：按键顺序：
显示结果：14.396 970 46 所以∠A＝14.4°.
知识点三 三角函数的大小比较 精练版P85
在锐角范围内正弦、正切随着角度的增大而增大；余弦随着角度的增大而减小．
例3 比较大小：sin47°________cos52°.(填“>”“＝”或“<”)
解析：sin47°≈0.7314，cos52°≈0.6157.sin47°>cos52°.
答案：>
课件17张PPT。23.1.3 一般锐角的三角函数值第二十三章 解直角三角形C 0.7193 0.6115 0.0347 0.7660 B C ＞ ＝ ＜ ＞ 23.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
知识点 解直角三角形 精练版P89
1．在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的主要依据——直角三角形的性质．
(1)直角三角形的两锐角互余；(2)两直角边的平方和等于斜边的平方．
3．解直角三角形的类型
图形
已知类型
已知条件
解法步骤
两边
斜边，一直角边(如c，a)
(1)b＝；
(2)由sinA＝求∠A；
(3)∠B＝90°－∠A
两直角边(如a，b)
(1)c＝；
(2)由tanA＝求∠A；
(3)∠B＝90°－∠A
一边一角
斜边，一锐角(如c，∠A)
(1)∠B＝90°－∠A；
(2)由sinA＝求a；
(3)由cosA＝求b
一直角边，一锐角(如a，∠A)
(1)∠B＝90°－∠A；
(2)由tanA＝求b；
(3)由sinA＝求c
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．解下列直角三角形：
(1)c＝8，∠A＝60°
(2)b＝2，c＝4
解析：(1)已知一个锐角A和斜边c，求另一个锐角B用两锐角互余，求直角边a用正弦，求直角边b用余弦．(2)已知一直角边和斜边，求另一直角边用勾股定理，求两锐角用正弦或余弦．
解：(1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∵sinA＝，∴a＝csinA＝8×＝4.
∵cosA＝，∴b＝ccosA＝8×＝4.
(2)∵a2＋b2＝c2，∴a＝＝＝2.
∵cosA＝＝＝，
∴∠A＝45°.∴∠B＝45°.
注意：(1)在直角三角形中，若已知一锐角和斜边，则可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、余弦)求出两条直角边．(2)若已知一个直角三角形的一个锐角和其相邻的直角边，则可用余弦求出其斜边，用正切求出其对边．
易错点 思考问题不全面导致漏解
例2 在△ABC中，AB＝4，AC＝，∠B＝60°，求BC的长．
解：(1)如图(1)所示，过A作AD⊥BC，垂足为D.
在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，
∴AD＝AB·sinB＝4·sin60°＝4×＝2，
BD＝AB·cos60°＝4×＝2.
又∵AC＝，
∴在Rt△ADC中，DC＝＝＝1.∴BC＝BD＋DC＝2＋1＝3.
(1) (2)
(2)如图(2)所示，过点A作AD⊥
BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，
AD＝AB·sin60°＝4×＝2，
BD＝AB·cos60°＝4×＝2.
在Rt△ACD中，AC＝，AD＝2，
∴CD＝＝＝1，
∴BC＝BD－CD＝2－1＝1.
综上所述，BC的长为3或1.
注意：本题中三角形的形状不确定，所以应该分两种情况来考虑问题．本题易出现只考虑△ABC为锐角三角形，而忽略△ABC为钝角三角形的情况．
课件28张PPT。23.2 解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形第二十三章 解直角三角形C A B B 30 第2课时 仰角与俯角问题
知识点 仰角与俯角 精练版P91
1．仰角与俯角：进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时所成的角叫做俯角．如图所示．
2．铅垂线：垂直于水平线的直线称为铅垂线(如图)．
例 某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”知识时，开展了测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C处测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°，请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结论均不取近似值)
解：由已知可得∠ACB＝30°，∠ADB＝45°，CD＝60米．设AB＝x米，在Rt△ABD中，BD＝AB＝x米．
在Rt△ABC中，∵tanC＝，
∴BC＝＝＝x(米)．
∵BC－BD＝CD，∴x－x＝60，即(－1)x＝60.
∴x＝＝30(＋1)，
∴教学楼的高度为30(＋1)米．
注意：本题中的两个直角三角形都只有已知角，没有已知边，不能直接求解，故设公共边，列方程求解．
课件21张PPT。23.2 解直角三角形及其应用第2课时 仰角与俯角问题第二十三章 解直角三角形A C A 58 第3课时 方位角问题
知识点 方位角问题 精练版P93
1．方位角：如图所示，以东西方向为横轴，南北方向为纵轴建立一平面，用平面内的角度来表示平面内的方向．
2．方位角的表示：规定水平线上是左西右东，铅垂线上为上北下南，方位角通常用南偏东(西)或北偏东(西)多少度来表示．
例 如图，某船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东60°的方向上，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在该岛周围6海里内有暗礁．若船继续向东航行，有无触礁的危险？请说明理由．
解：有触礁的危险．理由如下：过C作CD⊥AB于点D，设BD＝x海里，
∴AD＝(6＋x)海里，由已知条件可知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°.
∴CD＝AD·tan∠CAB＝BD·tan∠CBD，
即(6＋x)tan30°＝xtan60°，解得x＝3，
∴CD＝3tan60°＝3海里．
∵3<6，∴若船继续向东航行，有触礁的危险．
注意：观测点不同，所得的方位角也不同，确定方位角时，以观测点为坐标原点进行分析，各个观测点的南北方向线和东西方向线分别平行．
课件19张PPT。23.2 解直角三角形及其应用第3课时 方位角问题第二十三章 解直角三角形A C B D 第4课时 坡度、坡角问题
知识点 坡度、坡角问题 精练版P95
求解与坡度有关的问题时，常利用坡度i＝tanα＝转化已知条件，同时以坡角为基准构建直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题来解答．
例 如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角∠B＝30°，背水坡AD的坡度为i＝1∶，坝顶DC宽25m，坝高CE是45m.求：坝底AB的长、迎水坡BC的长及BC的坡度．
解析：坡度是铅直高度与水平长度的比，恰好是坡角的正切，根据AD的坡度可计算AF的长．由∠B＝30°可求出BE的长，而EF＝DC，即可求出AB的长，求BC时，可利用∠B＝30°的正弦求解．BC的坡度是CE与BE的比．
解：∵tan∠DAF＝＝＝，∴AF＝45m.
∵tan∠CBE＝＝＝tan30°＝，∴BE＝45m.
又∵EF＝CD＝25m，
∴AB＝AF＋EF＋BE＝(45＋25＋45)m.
又∵sin∠CBE＝＝＝sin30°＝，∴BC＝90m.
∵CE∶BE＝45∶45＝1∶.
∴BC的坡度为i＝1∶.
课件21张PPT。23.2 解直角三角形及其应用第4课时 坡度、坡角问题第二十三章 解直角三角形A A C A 第5课时 坐标系中直线与x轴的夹角
知识点 坐标系中直线与x轴的夹角 精练版P97
在平面直角坐标系中，可构造直角三角形，将该锐角置于直角三角形中，根据三角形的边长或边的关系可求得锐角的三角函数值．
求一条直线与x轴所夹锐角的大小时，一般先在直线上取两个点或求出k的值，进而求出夹角的正切值，从而求出夹角的大小．注意锐角的正切值都是正数．
例 直线l1∶x＋3＝0与直线l2∶x＋y－1＝0所夹锐角的大小为________．
解析：因为直线x＋3＝0与y轴平行，所以将此问题转化为求与y轴的夹角的大小．由题意可知，x＋y－1＝0与x轴的夹角为30°，所以与y轴所夹的锐角为60°.由此解答即可．
答案：60°
课件11张PPT。23.2 解直角三角形及其应用第5课时 坐标系中直线与x轴的夹角第二十三章 解直角三角形B 3 1 B 90° 课件20张PPT。强化专题七 求锐角三角函数值的常用方法第二十三章 解直角三角形C 2 1∶2 A B B B B D 课件9张PPT。强化专题八 解直角三角形应用的基本模型第二十三章 解直角三角形课件17张PPT。滚动训练七 (23.2)第二十三章 解直角三角形B D B C 100 11 课件10张PPT。滚动训练六 (23.1)第二十三章 解直角三角形D A A 1 1 1 1 章末知识汇总
题型一 锐角三角函数的定义
命题点：余弦的定义．
例1 如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB＝________.
解析：如图所示，连接AB，设每个小正方形网格边长为1，则OA＝＝，OB＝AB＝＝，所以AB2＋OB2＝20，OA2＝20，AB2＋OB2＝OA2，故∠ABO＝90°，cos∠AOB＝＝＝.
答案：
注意：在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题．
题型二 求特殊的三角函数值
命题点：相似三角形的判定与特殊角的三角函数值的综合应用．
例2 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是________．
解析：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴＝.
在Rt△ACB中，∠B＝45°
∴AB＝AC.∴＝.
在Rt△ACD中，∠D＝30°，
∴＝tan30°＝，∴＝.
答案：
注意：本题通过相似三角形对应边成比例和等腰直角三角形两直角边相等，将转化为求tanD的值，考查了特殊角的三角函数值这一知识点．
题型三 解直角三角形
命题点：解直角三角形．
例3 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为________．(结果保留根号)
解析：如图2，分别过点A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.
在Rt△AEO中，AO＝AC＝3，∠AOB＝60°，
∴AE＝AO·sin60°＝，
∴S△ABD＝BD·AE＝6.
同理S△CBD＝BD·CF＝6.
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△CBD＝12.
答案：12
题型四 解直角三角形的应用
命题点：应用解直角三角形解决仰角、俯角问题．
例4 天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m.根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD.(tan36°≈0.73，结果保留整数)
解析：在等腰直角三角形ADC中，AD＝CD，而AD＝AB＋BD＝112＋BD，所以BD＝CD－112，故可以在Rt△BDC中，利用∠BCD的正切把BD和CD联系在一起．
解：解法一：根据题意，得
∠CAD＝45°，∠CBD＝54°，AB＝112m.
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD.
又AD＝AB＋BD，
∴BD＝AD－AB＝CD－112.
∵在Rt△BCD中，tan∠BCD＝，
∠BCD＝90°－∠CBD＝36°，
∴tan36°＝，即BD＝CD·tan36°，
∴CD·tan36°＝CD－112，
∴CD＝≈≈415(m)．
答：天塔的高度CD约为415m.
解法二：本题也可以通过列方程求解．
设CD＝xm.
在Rt△ACD中，∵∠A＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD＝xm.
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝54°，
∴∠BCD＝36°.
∴BD＝CD·tan∠BCD＝xtan36°m.
∵AB＝AD－BD＝112m，
∴x－xtan36°＝112，
解得x＝≈≈415.
答：天塔的高度CD约为415m.
