4. 1.1 圆的标准方程
【教学目标】
１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．
２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
【教学重难点】
教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．
教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
【教学过程】
（一）情景导入、展示目标
前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．
2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．
（二）检查预习、交流展示
求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；
(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．
其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
（三）合作探究、精讲精练
探究一：如何建立圆的标准方程呢？
1．建系设点
由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
2．写点集
根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．
3．列方程
由两点间的距离公式得：
4．化简方程
将上式两边平方得： (x-a)+(y-b) =r (1)
方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x+y=r．
教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．
例1 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．
解：(1)x+y=9；(2)(x-3)+(y-4)=5；
点评： 圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关，应熟练掌握．
变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)
(1)(x-3)+(y-2)=5； (2)(x+4)+(y+3)=7； (3)(x+2)+ y=4
答案：(1) 圆心是(3,2),半径是；(2) 圆心是(－４,－３),半径是；(3) 圆心是(－２,０),半径是２．
例２ (1)已知两点P(4，9)和P2(6，3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解析：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决；分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．
解：(1) 解法一：(学生口答)
设圆心C(a，b)、半径r，则由C为PP的中点得：
又由两点间的距离公式得：
∴所求圆的方程为：(x-5)+(y-6)=10
解法二：(给出板书)
∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP⊥PP．
化简得：x+y-10x-12y+51=0．
即(x-5)+(y-6)=10为所求圆的方程．
解(2)：(学生阅读课本)
分别计算点到圆心的距离：
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
点评：1．求圆的方程的方法
(1)待定系数法，确定a，b，r；
(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．
2．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
(1)点在圆上 d=r；
(2)点在圆外 d＞r；
(3)点在圆内 d＜r．
变式训练２：求证：以A(x，y)、B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0．
证明：略．
（四）反馈测试
导学案当堂检测
（五）总结反思、共同提高
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．
【板书设计】
探究一：圆的标准方程
1．建系设点
2．写点集
3．列方程
4．化简方程
探究二：圆的方程形式特点
例1
变式训练１
例２
变式训练２
课堂小结
【作业布置】
导学案课后练习与提高
4.１.1 圆的标准方程
课前预习学案
预习目标
回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．
预习内容
1：圆的定义是怎样的？
2：圆的特点是什么？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标
１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．
２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．
学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
学习过程
探究一：如何建立圆的标准方程呢？
1．建系设点
2．写点集
3．列方程
4．化简方程
探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)
(1)(x-3) +(y-2)=5；
(2)(x+4)+(y+3) =7；
(3)(x+2)+ y=4
例２ (1)已知两点P(4，9)和P(6，3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
变式训练２：求证：以A(x，y)、B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0．
反思总结
圆的定义
几何特征
方程特征
待定系数法法
轨迹法法
四．当堂检测
１．圆(x＋1)2+(y－2)2=4的圆心、半径是 （ ）
A．(1,－2),4 B．(1,－2),2 C．(－1,2),4 D．(－1,2),2
２．过点A(4,1)的圆C与直线相切于点 B(2,1)．则圆C的方程为 .
3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．
参考答案:１．Ｄ ２．
课后练习与提高
１．圆的周长是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．
２．点Ｐ（）与圆的位置关系是( )
Ａ．在圆外 Ｂ．在圆内 Ｃ．在圆上 Ｄ．不确定
３．已知圆Ｃ与圆关于直线对称，则圆Ｃ的方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
４．已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 ．
５.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是 ．
６．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．
4.1.1 圆的标准方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
（2）会用待定系数法求圆的标准方程.
2．过程与方法
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.
3．情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：圆的标准方程
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.
（三）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？
由学生回答，然后引入课题
设置情境引入课题
概念形成
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r (其中a、b、r都是常数，r＞0)设M (x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P = {M|MA| = r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件
①
化简可得：(x – a)2 + (y – b)2 = r2②
引导学生自己证明(x – a)2 + (y – b)2 = r2为圆的方程，得出结论.
方程②就是圆心为A (a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.
通过学生自己证明培养学生的探究能力.
应用举例
例1 写出圆心为A (2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，是否在这个圆上.
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.
探究：点M(x0，y0)与圆(x – a)2 + (y – b)2 = r2的关系的判断方法：
（1）(x0 – a)2 + (y0 – b)2＞r2，点在圆外.
（2）(x0 – a)2 + (y0 – b)2 = r2，点在圆上.
（3）(x0 – a)2 + (y0 – b)2 ＜r2，点在圆内.
引导学生分析探究
从计算点到圆心的距离入手.
例1 解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x + 3)2 + ( y + 3)2 =25.
把M1 (5，–7)，M2 (，–1) 的坐标代入方程(x –2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2 (，–1)的坐标代入方程(x – 2)2 + (y +3)2 =25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上
通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.
例2 △ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.
例2 解：设所求圆的方程是(x– a)2 + (y – b)2 = r2. ①
因为A (5，1)，B (7，–3)，C (2，– 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是
解此方程组，得
所以，△ABC的外接圆的方程是(x– 2)2 + (y +3)2 =25.
师生共同分析：从圆的标准方程(x – a)2 + (y – b)2 = r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)
例3 已知圆心为C的圆C. 经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在
l : x – y + 1 = 0上，求圆心为C的圆的标准方程.
比较例(2)、例（3）可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：
①根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
练习：课本P127 第1、3、4题
师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，–2)，由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)
例3 解：因为A (1，1)，B (2，– 2)，所以线段AB的中点D的坐标为(，)，直线AB的斜率
kAB == –3，
因为线段AB的垂直平分线l′的方程是
y +，
即x –3y –3 = 0.
圆心C的坐标是方程组
的解.
解此方程组，得
所以圆心C的坐标是(–3，–2) .
圆心为C的圆的半径长
r =|AC|== 5.
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x + 3)2 + (y +2)2 =25.
归纳总结
1．圆的标准方程.
2．点与圆的位置关系的判断方法.
3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.
教师启发，学生自己比较、归纳.
形成知识体系
课外作业
布置作业：见习案4.1第一课时
学生独立完成
巩固深化
备选例题
例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径
（1）x2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a2 (a≠0)
【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为；
（2）圆心为(–2，1)，半径为|a|.
例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.
解法1：设所求的圆的方程为(x – a)2 + (y – b)2 = r2
由条件知
解方程组得
即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10
解法2：，AB的中点是(0，–4)，
所以AB的中垂线方程为2x + y + 4 = 0
由得
因为圆心为(–1, –2 )又.
所以所求的圆的方程是(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10.
例3 已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.
【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值.
.
因为|PA|＜|PB|＜|PC|
所以圆的半径.
故所求的圆的方程为(x – 2)2 + (y + 1)2 = 13.
课件21张PPT。4.1.1 圆的
标准方程复习引入 两点间的距离公式是什么？复习引入 两点间的距离公式是什么？ 点B(x2，y2)到A(x1，y1)的距离为讲授新课讨 论：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
圆的定义？讲授新课讨 论：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
圆的定义？思 考：在平面直角坐标系中，如何确定
一个圆呢？已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？AxyOMr思 考：已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？AxyOMr思 考：求方程的一般步骤：已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？AxyOMr思 考：求方程的一般步骤：已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？AxyOMr思 考：求方程的一般步骤：已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？AxyOMr思 考：求方程的一般步骤：圆的标准方程：圆的标准方程： 圆的标准方程的两个基本要素：
圆心坐标和半径.(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆的标准方程： 圆的标准方程的两个基本要素：
圆心坐标和半径.(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 圆的方程形式有什么特点？
当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 思 考：例1.写出下列各圆的方程：
(1) 圆心在原点，半径是3；
(2) 经过点P(5, 1)，圆心在点C(8, －3). 例2.已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以
P1P2为直径的圆的方程，试判断点
M(6, 9)、N(3，3)、Q(5, 3)是在圆上，
在圆内，还是在圆外？ 例2.已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以
P1P2为直径的圆的方程，试判断点
M(6, 9)、N(3，3)、Q(5, 3)是在圆上，
在圆内，还是在圆外？ 探 究:点M(x0, y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是
什么？在圆外呢？例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是
A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它
的外接圆的方程.例4.已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和
B(2,－2 )，圆心C在直线l: x－y＋1＝0
上，求圆心为C的圆的标准方程.练习3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、
B(x2, y2)，证明：圆的方程是
(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．1. P.120第1题、P.121第4题；2. 求下列条件所决定的圆的方程：
(1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切；
(2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
且与直线y＝2x＋5相切．课堂小结1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示
圆心坐标和圆的半径；3. 求圆的方程的两种方法：
(1)定义法；
(2)待定系数法:确定a，b，r.课后作业1. 阅读教材P.118到P.120；
2. 《习案》二十五.第四章 圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
【课时目标】 1．用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．掌握求圆的标准方程的不同求法．
1．设圆的圆心是A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程是________________，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是________________．
2．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，点P在圆外?________；点P在圆上?________；点P在圆内?________．
一、选择题
1．点(sin θ，cos θ)与圆x2＋y2＝的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆内
C．在圆外 D．不能确定
2．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
3．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程是( )
A．(x＋3)2＋(y＋4)2＝1
B．(x＋4)2＋(y－3)2＝1
C．(x－4)2＋(y－3)2＝1
D．(x－3)2＋(y－4)2＝1
5．方程y＝表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
二、填空题
7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________．
8．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
9．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．
三、解答题
10．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
11．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．
能力提升
12．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
1．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．
2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．
3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解．
第四章 圆与方程
§4．1 圆的方程
4．1．1 圆的标准方程
答案
知识梳理
1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
2．d>r d＝r d作业设计
1．C [将点的坐标代入圆方程，得sin2θ＋cos 2θ＝1>，所以点在圆外．]
2．B [点M(5，－7)到圆心A(2，－3)的距离为5，恰好等于半径长，故点在圆上．]
3．D [(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解．]
4．B [两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y＝x的对称点为(－4,3)即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1．]
5．D [由y＝知，y≥0，两边平方移项，得x2＋y2＝9．∴选D．]
6．A [设直径的两个端点为M(a,0)，N(0，b)，
则＝2?a＝4，＝－3?b＝－6．
所以M(4,0)，N(0，－6)．
因为圆心为(2，－3)，
故r＝＝．
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13．]
7．(x－4)2＋(y－1)2＝26
解析 圆心即为两相对顶点连线的中点，半径为两相对顶点距离的一半．
8．5＋
解析 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5＋．
9．[0,2]
解析 由题意知l过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k≤2．
10．解 因为A(1,1)和B(2，－2)，
所以线段AB的中点D的坐标为，
直线AB的斜率kAB＝＝－3，
因此线段AB的垂直平分线l′的方程为y＋＝，即x－3y－3＝0．
圆心C的坐标是方程组的解．
解此方程组，得所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆心为C的圆的半径长
r＝|AC|＝＝5．
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
11．解 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)．
由题意得．
解得a＝3，b＝1，r＝3或a＝111，b＝37，r＝111．
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112．
12．解 由题意得圆心坐标为(，1)，半径为2，则圆心到直线l的距离为d＝＝3－，则圆C上的点到直线l距离的最大值为3－＋2，最小值为3－－2．
13．解 设P点坐标(x，y)，则x2＋y2＝4．
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y．
∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88．
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72．
第四章 圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
一、基础过关
1．(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为 ( )
A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4
2．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是 ( )
A．在圆内 B．在圆外
C．在圆上 D．不确定
3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
4．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离为 ( )
A. B. C．1 D.
5．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．
7．求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；
(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．
8．求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．
二、能力提升
9．方程y＝表示的曲线是 ( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
10．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．
12．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
三、探究与拓展
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
答案
1．A 2.B 3.B 4．A
5．5＋
6.2＋2＝1
7．解 (1)圆的半径r＝|CP|＝＝5，
圆心为点C(8，－3)，
∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设所求圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.
∵点P、Q在所求圆上，依题意有
?
∴所求圆的方程是
x2＋2＝.
8．解 由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，
∴由，
解得
∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝.
∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
9．D 10.D
11．[0,2]
12．解 能．设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
将A，B，C三点的坐标分别代入有
解得
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将D(－1,2)代入上式圆的方程，得
(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一圆上．
13．解 设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.
