4. 2.1 直线与圆的位置关系
【教学目标】
１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
【教学重难点】
教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
【教学过程】
㈠情景导入、展示目标
问题：
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下.
㈡检查预习、交流展示
1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？
2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？
㈢合作探究、精讲精练
探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？
教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？
学生：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为
轮船航线所在直线 l 的方程为
.
教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系.
让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究.
由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法：
方法一：代数法
由直线与圆的方程，得： 消去y，得
因为
所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。
方法二：几何法
圆心（0，0）到直线的距离
所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.
探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？
让学生通过实际问题的解决，对比总结，掌握方法.
①代数法：
由方程组，
得，
,则方程组有两解,直线与圆相交；，则方程组有一解，直线与圆相切；，则方程组无解，直线与圆相离.
②几何法：
直线与圆相交 ,则；直线与圆相切 ,则；直线与圆相离 ,则.
例1 已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：，判断直线和圆的位置关系.
解析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.
解:(法一)
联立方程组,消y得
因为
所以直线与圆相交.
(法二)
将圆的方程化为.
可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5.
因为圆心到直线的距离d=<5,
所以直线与圆相交.
点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法.
变式1.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：的位置关系.
解:将圆的方程化为.
可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5.
因为圆心到直线的距离d=>5,
所以直线与圆相离.
例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：截得的弦ＡＢ的长．
解析:可以引导学生画图分析几何性质.
解:(法一)
将圆的方程化为.
可得圆心Ｃ(1,2),半径r=.
圆心到直线的距离
.
弦ＡＢ的长.
(法二)
联立方程组,消y得
得,
则,
所以直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长
.
(法三)
联立方程组,消y得
根据一元二次方程根与系数的关系,有
直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长
点评:强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合.
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
位置关系
几何特征
方程特征
几何法
代数法
相交
有两个公共点
方程组有两个不同实根
d△>0
相切
有且只有一公共点
方程组有且只有一实根
d=r
△=0
相离
没有公共点
方程组无实根
d>r
△<0
【板书设计】
直线与圆的位置关系
(1)相交，两个交点；
(2)相切，一个交点；
(3)相离，无交点.
二.实例的解决
方法一
方法二
判断直线与圆位置关系的方法
例题
例1
变式1
例2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
4.2.1 直线与圆的位置关系学案
课前预习学案
预习目标
回忆直线与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用方程判断直线与圆的位置关系的方法．
预习内容
初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？
怎样判断直线与圆的位置关系呢？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标
１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
学习重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
学习难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
学习过程
问题：
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？
如何建立直角坐标系？
根据直角坐标系写出直线和圆的方程.
3.怎样用方程判断他们的位置关系?
探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？
例1 已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：，判断直线和圆的位置关系.
变式１.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：的位置关系.
例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：截得的弦ＡＢ的长．
反思总结
位置关系
几何特征
方程特征
几何法
代数法
四．当堂检测
1．已知直线与圆相切，则的值为（ ）
A．8 B．-18 C．－18或8 D．不存在
2．设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平 分线方程是 .
3．求经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y= -2x上的圆的方程．
参考答案:1.Ｃ 2．
3．解：设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2
由题意则有
解得a=1，b=-2，r=，故所求圆的方程为
（x-1）2+（y+2）2=2.
课后练习与提高
1．直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.圆在点处的切线方程为
A、 B、 C、 D、
3．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )
A.[] B.[] C.[ D.
4．设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则________ ____．
5．已知圆和直线. 若圆与直线没有公 共点，则的取值范围是 .
6．已知圆，定点P(4，0)，问过P点的直线斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆(1)相切？(2)相交？(3)相离？
4.2.1 直线与圆的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
（二）过程与方法
设直线l：ax + by + c = 0，圆C：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当d＞r时，直线l与圆C相离；
（2）当d＝r时，直线l与圆C相切；
（3）当d＜r时，直线l与圆C相交；
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.
（二）教学重点、难点
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系.
（三）教学过程设想
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？
师；让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.
生：看图，并说出自己的看法.
启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课.
概念形成
2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？三种
（1）直线与圆相交，有两个公共点.
（2）直线与圆相切，只有一个公共点.
（3）直线与圆相离，没有公共点.
师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想.
生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系.
得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类.
概念深化
3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？
师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程.
生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程.
使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.
4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？
方法一：利用圆心到直线的距离d.
方法二：利用直线与圆的交点个数.
师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法.
生：利用图形，寻找两种方法的数学思想.
抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.
应用举例
5．你能用两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？
例1 如图，已知直线l ：3x + y – 6 = 0和圆心为C的圆x2 + y2 –2y – 4 = 0，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.
分析：方法一：由直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.
6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？
例2 已知过点M (–3，–3)的直线l 被圆x2 + y2 + 4y –21 = 0所截得的弦长为，求直线l 的方程.
师：指导学生阅读教科书上的例1.
生：仔细阅读教科书上的例1，并完成教科书第140页的练习题2.
例1 解法一：由直线l 与圆的方程，得
消去y，得x2 – 3x + 2 = 0，
因为△= (–3)2 – 4×1×2
= 1＞0
所以，直线l与圆相交，有两个公共点.
解法二：圆x2 + y2 –2y – 4 = 0可化为x2 + (y – 1)2 =5，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为，点C (0，1)到直线l 的距离
d =＜.
所以，直线l 与圆相交，有两个公共点.
由x2 –3x + 2 = 0，解得x1 =2，x2 = 1.
把x1=2代入方程①，得y1= 0；
把x2=1代入方程①，得y2= 0；
所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是
A (2，0)，B (1，3).
生：阅读例1.
师：分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.
生：交流自己总结的步骤.
师：展示解题步骤.
例2 解：将圆的方程写成标准形式，得
x2 + (y2 + 2)2 =25，
所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长r =5.
如图，因为直线l 的距离为，所以弦心距为
，
即圆心到所求直线l的距离为.
因为直线l 过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l的方程为
y + 3 = k (x + 3)，
即k x – y + 3k –3 = 0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离
d =.
因此，，
即|3k – 1| =，
两边平方，并整理得到
2k2 –3k –2 = 0，
解得k =，或k =2.
所以，所求直线l 有两条，它们的方程分别为
y + 3 =(x + 3)，
或y + 3 = 2(x + 3).
即x +2y = 0，或2x – y + 3 = 0.
体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系.
使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.
7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？
8．通过例2的学习，你发现了什么？
半弦、弦心距、半径构成勾股弦关系.
师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题.
生：阅读教科书上的例2，并完成137页的练习题.
师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法.
生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法.
进一步深化“数形结合”的数学思想.
明确弦长的运算方法.
9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4.
师：引导学生完成练习题.
生：互相讨论、交流，完成练习题.
巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系.
归纳总结
10．课堂小结：
教师提出下列问题让学生思考：
（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？
（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
（3）如何求出直线与圆的相交弦长？
师生共同回顾
回顾、反思、总结形成知识体系
课外作业
布置作业：
见习题4.2 第一课时
学生独立完成
巩固所学知识
备选例题
例1 已知圆的方程x2 + y2 = 2，直线y = x + b，当b为何值时，
（1）圆与直线有两个公共点；
（2）圆与直线只有一个公共点；
（3）圆与直线没有公共点.
解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b的距离为，圆的半径.
（1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；
（2）当d = r，即b= 时，直线与圆相切，有一个公共点；
（3）当d＞r，即b＞2或b＜–2时，直线与圆相离， 无公共点.
解法2：联立两个方程得方程组.消去y2得
2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0，=16 – 4b2.
（1）当＞0，即–2 ＜b＜2时，直线与圆有两个公共点；
（2）当＝0，即时，直线与圆有一个公共点；
（3）当＜0即b＞2或b＜–2时，直线与圆无公共点.
例2 直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25相交，截得弦长l为，求m的方程.
【解析】设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径r = 5，弦长的一半，
所以由勾股定理，得：，
所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即kx – y + 5 – 5k = 0.
由 ，得或k = 2.
所以直线m的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.
例3 已知圆C：x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l， 使l被圆C截得弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点.
【解析】假设存在且设l为：y = x + m，圆C化为(x – 1)2 – (y + 2)2 = 9，圆心C (1，–2).
解方程组得AB的中点N的坐标，
由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN| = |ON|.
又，
所以
解得m = 1或m = –4.
所以存在直线l，方程为x – y + 1 = 0和x – y – 4 = 0，
并可以检验，这时l与圆是相交于两点的.
课件23张PPT。4.2.1直线与圆
的位置关系复习引入 在初中我们知道直线与圆有三种位置
关系：复习引入 在初中我们知道直线与圆有三种位置
关系：(1) 相交，有两个公共点；
(2) 相切，只有一个公共点；
(3) 相离，没有公共点.复习引入 在初中我们知道直线与圆有三种位置
关系：2. 在初中我们怎样判断直线与圆的位置
关系？现在，如何用直线和圆的方程
判断它们之间的位置关系？(1) 相交，有两个公共点；
(2) 相切，只有一个公共点；
(3) 相离，没有公共点.例1. 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为
C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l
与圆的位置关系；如果相交，求出它
们交点的坐标.讲授新课小 结： 利用直线与圆的位置直观特征导出几
何判定：
小 结： 利用直线与圆的位置直观特征导出几
何判定：
比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.小 结： 利用直线与圆的位置直观特征导出几
何判定：
比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解: 小 结： 利用直线与圆的位置直观特征导出几
何判定：
比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解: 有解，则直线与圆有公共点：
小 结： 利用直线与圆的位置直观特征导出几
何判定：
比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解: 有解，则直线与圆有公共点：
有一组解，则直线与圆相切；
小 结： 利用直线与圆的位置直观特征导出几
何判定：
比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解: 有解，则直线与圆有公共点：
有一组解，则直线与圆相切；
有两组解，则直线与圆相交；小 结： 利用直线与圆的位置直观特征导出几
何判定：
比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解: 有解，则直线与圆有公共点：
有一组解，则直线与圆相切；
有两组解，则直线与圆相交；
无解，则直线与圆相离.例2.直线y＝x与圆x2＋(y－1)2＝r2相切，
求r的值.例3. 已知过点M(－3, －3)的直线l被
圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长
为 求直线l的方程.练习.例4. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，
接到气象台的台风预报: 台风中心位于轮
船正西70km处，受影响的范围是半径长
为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中
心正北40km处，
如果这艘轮船不
改变航线，那么
它是否会受到台
风的影响？Oxy轮船 港口小 结：设直线l：Ax＋By＋C＝0，
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆心C到直线l的距离为小 结：设直线l：Ax＋By＋C＝0，
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆心C到直线l的距离为练习1. P.128练习第2、3、4题.2. 圆：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0到
直线l：x＋y＋1＝0的距离为
的点的坐标.3.求圆心在直线2x－y＝3上，且与
两坐标轴相切的圆的方程.4.若直线4x－3y＝a与圆x2＋y2＝100
(1)相交； (2)相切；(3)相离，
分别求实数a的取值范围.练习课堂小结(1) 判断直线与圆的方程组是否有解：
a. 有解，直线与圆有公共点：
有一组则相切；有两组；则相交；
b. 无解，则直线与圆相离.判断直线与圆的位置关系有两种方法：课堂小结判断直线与圆的位置关系有两种方法：(2) 圆心到直线的距离与半径的关系:a. 如果d＜r，直线与圆相交；
b. 如果d＝r，直线与圆相切；
c. 如果d＞r，直线与圆相离.课后作业1. 阅读教材P.126到P.128；
2. 《习案》二十七.§4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
【课时目标】 1．能根据给定直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系．2．能根据直线与圆的位置关系解决有关问题．
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
____个
____个
____个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离
d＝
d____r
d____r
d____r
代数法：由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ____0
Δ____0
Δ____0
一、选择题
1．直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )
A．相交并且过圆心 B．相交不过圆心
C．相切 D．相离
2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴切于原点，那么( )
A．D＝0，E＝0，F≠0 B．D＝0，E≠0，F＝0
C．D≠0，E＝0，F＝0 D．D≠0，E≠0，F＝0
3．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于( )
A． B． C．1 D．5
4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
6．与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题
7．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为________．
8．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为______________．
9．P(3,0)为圆C：x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是______________．
三、解答题
10．求过点P(－1,5)的圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的切线方程．
11．直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为4，求l的方程．
能力提升
12．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则( )
A．l∥g且与圆相离 B．l⊥g且与圆相切
C．l∥g且与圆相交 D．l⊥g且与圆相离
13．已知直线x＋2y－3＝0与圆x2＋y2＋x－2cy＋c＝0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值．
1．判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．
2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝·＝|x1－x2|．
3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．
§4．2 直线、圆的位置关系
4．2．1 直线与圆的位置关系
答案
知识梳理
2 1 0 < ＝ > > ＝ <
作业设计
1．D [圆心到直线距离d>r．]
2．C [与y轴切于原点，则圆心，得E＝0，圆过原点得F＝0，故选C．]
3．A [分别求出半径r及弦心距d(圆心到直线距离)再由弦长为2，求得．]
4．C [通过画图可知有三个点到直线x＋y＋1＝0距离为．]
5．B [由题意＝1?|c|＝?c2＝a2＋b2，故为直角三角形．]
6．C [需画图探索，注意直线经过原点的情形．设y＝kx或＋＝1，由d＝r求得k＝±1，a＝4．]
7．{(1,1)}
解析 解方程组
得x＝y＝1．
8．x－y＋2＝0
解析 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为，则过(1，)切线方程为x－y＋2＝0．
9．x＋y－3＝0
解析 过P点最短的弦，应为与PC垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为
x＋y－3＝0．
10．解 ①当斜率k存在时，
设切线方程为y－5＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋5＝0．
由圆心到切线的距离等于半径得＝2，
解得k＝－，∴切线方程为5x＋12y－55＝0．
②当斜率k不存在时，切线方程为x＝－1，此时与圆正好相切．
综上，所求圆的切线方程为x＝－1或5x＋12y－55＝0．
11．解 圆心到l的距离d＝＝，显然l存在斜率．
设l：y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5－5k＝0，d＝．
∴＝，∴k＝或2．
∴l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．
12．A [∵M在圆内，∴a2＋b2r即直线l与圆相离，又直线g的方程为y－b＝－(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，∴l∥g．]
13．解 设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由OA⊥OB，知kOA·kOB＝－1，
即·＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0 ①
由，
得5y2－(2c＋14)y＋c＋12＝0，
则y1＋y2＝(2c＋14)，y1y2＝(c＋12) ②
又x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2，代入①得9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0③
由②、③得，c＝3．
§4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、基础过关
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是 ( )
A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交
2．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝2x B．y＝2x－2
C．y＝x＋ D．y＝x－
3．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是 ( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．都有可能
5．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________．
7．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
8．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点．
二、能力提升
9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为 ( )
A．1 B．2 C. D．3
10．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为__________________．
12．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明
理由．
三、探究与拓展
13．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
答案
1．D 2．A 3．A 4．B
5．4
6．(x－3)2＋y2＝4
7．解 设圆心坐标为(3m，m)，∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.
由半径、弦心距的关系得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
8．解 假设存在且设l为：y＝x＋m，圆C化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．
解方程组
得AB的中点N的坐标N(－，)，
由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.
又|AN|＝＝，
|ON|＝.
所以9－＝2＋2，解得m＝1或m＝－4.
所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆是相交于两点的．
9．C 10．C
11．x2＋y2＝4
12．解 (1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－x)．
圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋x)2＝(x＋1)2＋9.
所以当x＝－时，|PC|＝9.
所以|AP|min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)假设直线上存在点P满足题意．
因为∠APB＝60°，|AC|＝1，
所以|PC|＝2.
设P(x，y)，则有
整理可得25x2＋40x＋96＝0，
所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的．
13．(1)证明 ∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
∴l过的交点M(3,1)．
又∵M到圆心C(1,2)的距离为d＝＝<5，
∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．
(2)解 ∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，∴当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.
∴弦长AB的最小值|AB|min＝4.
此时，kCM＝－，kl＝－.
∵l⊥CM，∴·＝－1，
解得m＝－.
∴当m＝－时，取到最短弦长为4.
