圆与圆的位置关系
【教学目标】
1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
【教学重难点】
教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系．
【教学过程】
㈠复习导入、展示目标
问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？
前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系．
㈡检查预习、交流展示
1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？
2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？
㈢合作探究、精讲精练
探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？
例1.已知圆：，圆：，是判断圆与圆的位置关系.
解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系.
解:(法一)
圆的方程配方,得.
圆心的坐标是,半径长.
圆的方程配方,得.
圆心的坐标是,半径长.
连心线的距离为1,,.
因为,
所以两圆相交.
(法二)
方程与相减,得
把代入,得
因为根的判别式,所以方程有两个实数根,因此两圆相交.
点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法.
变式的位置关系
解：根据题意得，两圆的半径分别为，两圆的圆心距
因为 ，所以两圆外切．
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
判断两圆的位置关系的方法:
(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定；
(2)依据连心线的长与两半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系．
【板书设计】
圆与圆的位置关系
（1）相离，无交点
（2）外切，一个交点
（3）相交，两个交点；
（4）内切，一个交点；
（5）内含，无交点.
二.判断圆与圆位置关系的方法
例1
变式
【作业布置】
导学案课后练习与提高
圆与圆的位置关系
课前预习学案
预习目标
回忆圆与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用圆的方程判断圆的位置关系的方法．
预习内容
1．圆与圆的位置关系有哪几种呢？
2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标
1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
学习重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
学习难点：用坐标法判断两圆的位置关系．
学习过程
探究：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？
例1.已知圆：，圆：，是判断圆与圆的位置关系.
变式的位置关系.
反思总结
判断两圆的位置关系的方法:
当堂检测
圆和位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
2．两圆和的公切线有_____条．
3．求圆和的公共弦的长．
课后练习与提高
1.若直线与圆相切，则为( )
A.0或2? Ｂ. ?Ｃ.2 ?Ｄ.无解
2.两圆和的位置关系是( )
A.外切? Ｂ.内切? Ｃ.相交? Ｄ.外离
3.已知圆 的弦长为时，则a=( )
A． B． C． D．
4.两圆和的公切线有＿＿＿条
5．一圆过圆和直线的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程是________________.
6.已知圆C与圆相外切，并且与直线相切于点，求圆C的方程．
4.2.2 圆与圆的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.
2．过程与方法
设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；
（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；
（3）当|r1 – r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；
（4）当l = |r1– r2|时，圆C1与圆C2内切；
（5）当l＜|r1 – r2|时，圆C1与圆C2内含.
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.
（二）教学重点、难点
重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系.
（三）教学设想
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？
教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流.
结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣.
概念形成
2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？
利用连心线的长与两圆半径和、差的关系.
教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法.
学生观察图形并思考，发表自己的解题方法.
引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置关系的方法.
应用举例
3．例3 你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？
教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给矛表扬. 同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科.
培养学生“数形结合”的意识.
应用举例
4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系. 如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？
师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题.
生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解.
进一步培养学生解决问题、分析问题的能力.
利用判别式来探求两圆的位置关系.
5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？
师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.
生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻找解题的途径.
进一步激发学生探求新知的精神，培养学生.
6．如何判断两个圆的位置关系呢？
师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？
引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法.
从具体到一般总结判断两个圆的位置关系的一般方法.
7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题.
师：指导学生完成练习题.
生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题.
巩固方法，并培养学生解决问题的能力.
方法
拓展
延伸
8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？
师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法.
生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程.
得出两个圆的相交弦所在直线的方程.
9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系呢？
师：引导学生验证结论.
生：互相讨论、交流，验证结论.
进一步验证相交弦的方程.
归纳总结
10．课堂小结：
教师提出下列问题让学思考：
（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？
（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？
回顾、反思、总结，构建知识体系.
课外作业
布置作业：见习案4.2第二课时
学生独立完成
巩固深化所学知识.
备选例题
例1 已知圆C1：x2 + y2 – 2mx + 4y + m2 – 5 = 0，圆C2：x2 + y2 + 2x – 2my + m2 – 3 = 0，m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切； （2）圆C1与圆C2内含.
【解析】对于圆C1，圆C2的方程，经配方后
C1：(x – m)2 + (y + 2)2 = 9，C2：(x + 1)2 + (y – m)2 = 4.
（1）如果C1与C2外切，则有，
所以m2 + 3m – 10 = 0，解得m = 2或–5.
（2）如果C1与C2内含，则有，
所以m2 + 3m + 2＜0，得–2＜m＜–1.
所以当m = –5或m = 2时，C1与C2外切；
当–2＜m＜–1时，C1与C2内含.
例2 求过直线x + y + 4 = 0与圆x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x相切的圆的方程.
【解析】设所求的圆的方程为x2 + y2 + 4x – 2y – 4 + (x + y + 4) = 0.
联立方程组
得：.
因为圆与y = x相切，所以=0.
即
故所求圆的方程为x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0.
例3 求过两圆x2 + y2 + 6x – 4 = 0求x2 + y2 + 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆的方程.
【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(–3，0)和(0，–3).
则连心线的方程是x + y + 3 = 0.
由 解得.
所以所求圆的圆心坐标是.
设所求圆的方程是x2 + y2 – x + 7y + m = 0
由三个圆有同一条公共弦得m = –32.
故所求方程是x2 + y2 – x + 7y – 32 = 0.
课件13张PPT。4.2.2圆与圆
的位置关系复习引入1. 两圆的位置关系有哪几种？2. 如何利用半径与圆心距之间的关系
来判断两圆的位置关系？复习引入设两圆的圆心距为d，两圆半径
分别为R、r.当d＞R＋r时，两圆 ，
当d＝R＋r时，两圆 ，
当|R－r|＜d＜R＋r时，两圆 ，
当d＝|R－r|时，两圆 ，
当d＜|R－r|时，两圆 . 2. 如何利用半径与圆心距之间的关系
来判断两圆的位置关系？复习引入讲授新课例1. 已知圆C1: x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，
圆C2: x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断
圆C1与圆C2的位置关系.探讨: 问题如何根据圆的方程，判断
两圆之间的位置关系？ 方法：通常是通过解方程或不等式
等方法加以解决.探讨: 问题如何根据圆的方程，判断
两圆之间的位置关系？ 例2.圆C1的方程是:
x2＋y2－2mx＋4y＋m2 －5＝0，
圆C2的方程是:
x2＋y2＋2x－2my＋m2 －3＝0，
m为何值时，两圆
(1)相切；(2)相交；
(3)相离；(4)内含.练习.已知两圆x2＋y2－6x＝0，
与x2＋y2－4y＝m，
问m取何值时，两圆相切.例3.已知两圆C1: x2＋y2－4x＋2y＝0和
圆C2: x2＋y2－2y－4＝0的交点为A、B，
(1) 求AB的长；
(2) 求过A、B两点且圆心在直线
l: 2x＋4y－1＝0上的圆的方程. 小 结：判断两圆的位置关系的方法:
(1) 由两圆的方程组成的方程组有几组
实数解确定.
(2) 依据连心线的长与两圆半径长的和
或两半径的差的绝对值的大小关系.练习1. 求经过点M(2,－2)且过圆x2＋y2－6x＝0
与圆x2＋y2＝4交点的圆的方程.3. 求两圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋y2＝4的外
公切线方程.课后作业1. 阅读教材P.129到P.130；
2. 《习案》二十八.4.2.2 圆与圆的位置关系
【课时目标】 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．2．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断．3．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题．
圆与圆位置关系的判定有两种方法：
1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置
关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、
r2的
关系
d＝r1＋r2
|r1－r2|
<______
d<______
2．代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．一元二次方程
一、选择题
1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4和(x－3)2＋(y＋6)2＝64的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
4．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
6．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )
A．(0，－1) B．(0,1]
C．(0,2－] D．(0,2]
二、填空题
7．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．
8．两圆交于A(1,3)及B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋n＝0上，则m＋n的值为________．
9．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为____________．
三、解答题
10．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
11．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
能力提升
12．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
13．已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9．
(1)画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆，再求出它的方程；
(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A，B．直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？
(3)求直线AB的方程．
1．判定两圆位置关系时，结合图形易于判断分析，而从两圆方程出发往往比较繁琐且不准确，可充分利用两圆圆心距与两圆半径的和差的比较进行判断．
2．两圆的位置关系决定了两圆公切线的条数．
3．两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程作差，但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所在直线方程．
4．2．2 圆与圆的位置关系 答案
知识梳理
1．d>r1＋r2 r1＋r2 d＝|r1－r2| |r1－r2|
2．相交 内切或外切 外离或内含
作业设计
1．A [圆心距d＝r＋R，选A．]
2．C [∵两圆标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，
(x＋2)2＋(y－2)2＝9，
∴圆心距d＝＝5，
r1＝2，r2＝3，
∴d＝r1＋r2，∴两圆外切，∴公切线有3条．]
3．C [两圆圆心所在直线即为所求，将两圆圆心代入验证可得答案为C．]
4．C [外切时满足r1＋r2＝d，
即＝5，解得m＝2或－5．]
5．D [设动圆圆心为P，已知圆的圆心为A(5，－7)，则外切时|PA|＝5，内切时|PA|＝3，所以P的轨迹为以A为圆心，3或5为半径的圆，选D．]
6．C [由已知M∩N＝N知N?M，
∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，
∴2－r≥，∴07．±2或0
解析 ∵圆心分别为(0,0)和(－4，a)，半径分别为1和5，两圆外切时有
＝1＋5，∴a＝±2，
两圆内切时有＝5－1，
∴a＝0．综上，a＝±2或a＝0．
8．3
解析 A、B两点关于直线x－y＋n＝0对称，
即AB中点(，1)在直线x－y＋n＝0上，
则有－1＋n＝0，①
且AB斜率＝－1②
由①②解得：m＝5，n＝－2，m＋n＝3．
9．
解析 由
②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，
∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为
d＝＝，
设公共弦长为l，∴l＝2＝．
10．解 设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
由①②③得．∴(x－3)2＋(y－3)2＝18．
11．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，
(x＋1)2＋(y＋2)2＝4．
如图，C1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－2)，半径长是2．所以，
|C1C2|＝＝．
因此，|MN|的最大值是＋5．
12．4
解析 如图所示，
在Rt△OO1A中，OA＝，O1A＝2，
∴OO1＝5，
∴AC＝＝2，
∴AB＝4．
13．解
(1)∵已知圆的方程为
(x－4)2＋(y－2)2＝32，
∴Q(4,2)．
PQ中点为Q′，
半径为r＝＝，
故以Q′为圆心的圆的方程为
(x－1)2＋2＝．
(2)∵PQ是圆Q′的直径，∴PA⊥AQ(如图所示)
∴PA是⊙Q的切线，同理PB也是⊙Q的切线．
(3)将⊙Q与⊙Q′方程相减，得6x＋5y－25＝0．
此即为直线AB的方程．
4.2.2 圆与圆的位置关系
一、基础过关
1．已知0A．外切 B．相交 C．外离 D．内含
2．若两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是( )
A．(－2,39) B．(0,81) C．(0,79) D．(－1,79)
3．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有 ( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．0条
4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.
6．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．
7．a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切；(2)内切．
8．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
二、能力提升
9．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系式是 ( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
10．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}且A∩B＝B，则a的取值范围是 ( )
A．a≤1 B．a≥5 C．1≤a≤5 D．a≤5
11．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．
12．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1、C2：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
三、探究与拓展
13．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．
答案
1．B 2．D 3．B 4．D
5．±1
6．3或7
7．解 将两圆方程写成标准方程，得(x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝3＋2＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或2.
(2)当d＝3－2＝1，即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，此时a＝－1或－2.
8．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，
(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
如图，C1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.
所以，
|C1C2|＝＝.
因此，|MN|的最大值是＋5.
9．B 10．D
11．4
12．解 对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切．
当|C1C2|＝|r1－r2|＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5，即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|<3，即013．解 设圆B的半径为r，因为圆B的圆心在直线l：y＝2x上，所以圆B的圆心可设为(t,2t)，
则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，
即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0.①
因为圆A的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，②
所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为
(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0.③
因为圆B平分圆A的周长，所以圆A的圆心(－1，－1)必须在公共弦上，于是将x＝－1，y＝－1代入方程③并整理得r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥，
所以当t＝－时，rmin＝.
此时，圆B的方程是
2＋2＝.
