4、2、3直线与圆的方程的应用（一）
【教学目标】
利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题
【教学重难点】
教学重点：直线的知识以及圆的知识
教学难点：用坐标法解决平面几何.
【教学过程】
一、复习准备：
直线方程有几种形式? 分别为什么?
(2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?
(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?
(4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?
(5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
(6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?
二、讲授新课：
提出问题、自主探究
例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．
方法一：在中 R2 =422 +(R-15)2 可求出半径R，而在中，
∴，从而可求得长度。
能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？
方法二：先求圆的方程，再把求长度看成的纵坐标。
首先应建立坐标系。
如何建系？四种不同的建系方案：
分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。
归纳总结、巩固步骤
总结解决应用问题的步骤：
(1)审题----分清条件和结论，将实际问题数学化；
(2)建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；
(3)解模----求解数学问题，得出数学结论；
(4) 还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题．
流程图：
实际问题 数学问题 数学结论 实际问题结论
（审题） （建模） （解模） （还原）
变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？
深入讨论、提炼思想
在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明“平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再 看下例：
例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，于，探求线段与的数量关系。
(1).
思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时.
对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？
证明：（平面几何法）连接AP并延长交圆P于点F，连接DF，CF，
∵∠3=∠4 ∴在Rt⊿ADF和Rt⊿AHB中∠1=∠2
∵ ∠5=∠1+ ∠7， ∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ①
又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900 ∴ CF∥BD ②
由① ②可得四边形CFDB为等腰梯形∴|CB|=|FD| 又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE |
用“建系”这一新工具尝试
证明：（解析几何法）以AC，BD交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，，，.
用勾股定理， ，其中为中点；
先求出圆心P的坐标及直线AD的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆心P与点E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。
设圆方程为(x-m )2 + (y-n)2 =r2，考虑到圆与轴交于、两点，令y=0，得关于的一元二次方程x2-2mx+(m2+n2-r2)=0，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标，同理可得圆心的纵坐标。
应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。
过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出圆心的坐标。
变式练习：设为的中点，则，如何用代数方法证明这一结论呢？
还能有什么其他发现？
（1）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对边的平方和等于另一组对边的平方和；
（2）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对角线之积等于两组对边之积的和；
（3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。
．．．．．．
课堂小结：
（1）直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用；
（2）解决实际问题的具体步骤------审题、建模、解模、还原；
（3）解决几何问题的新方法------解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，达到数形结合的一种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论；
【板书设计】
一、指数函数
1．定义
2. 图像
3. 性质
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
习题4.2B组的2、3、4题
４.２.３直线与圆的方程的应用导学案（一）
课前预习学案
一、预习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题
二、预习内容：
（1）直线方程有几种形式? 分别为什么?
(2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?
(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?
(4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?
(5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
(6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?
三、提出疑惑
；
；
。
课内探究学案
一、学习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题
学习重难点：直线的知识以及圆的知识
二、讲授新课：
例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．
变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？
例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，于，探求线段与的数量关系。
(1).
思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时.
对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？
变式练习：设为的中点，则，如何用代数方法证明这一结论呢？
还能有什么其他发现？
当堂检测:
1. 在空间直角坐标系中，画出下列各点：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．
2. 已知：长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以这个长方体的顶点B为坐标原点，射线AB，BC，BB′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．
3. 写出坐标平面yOz上∠yOz平分线上的点的坐标满足的条件．
课后练习与提高
1．圆上的点到直线的距离最大值是（ ）
A B C D
2 将直线，沿轴向左平移个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A B C D
3 在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（ ）
A 条 B 条 C 条 D 条
４ 已知圆和过原点的直线的交点为则的值为________________
5 已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________________
4、2、3直线与圆的方程的应用（二）
【教学目标】
1、坐标法求直线和圆的应用性问题；
2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法.
【教学重难点】
教学重点：坐标法求直线和圆的应用性问题．
教学难点：面积最小圆、中点弦问题的解决方法．
【教学过程】
1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题
例1、求通过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程.
结论：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为
.配方得到标准式方程如下所示，可以得到，当时，此时半径，所求圆的方程为.解法二：利用平面几何知识.以直线与圆的交点连线为直径的圆符合条件.把两个方程式联立，消去，得.因为判别式大于零，我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段的中点的横坐标为，，又半径（弦长公式），所以所求的圆的方程是:.解法三：我们可以求出两点的坐标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程.
变式练习：求圆上的点到的最远、最近的距离。
例2、已知圆O的方程为，求过点所作的弦的中点的轨迹.
结论：解法一：参数法（常规方法）设过A所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时），P（x,y)，则，消去y，得到如下方程所以我们可以得到下面结果，利用中点坐标公式及中点在直线上，得：(k为参数）.消去k得P点的轨迹方程为，当k不存在时，中点P（1，0）的坐标也适合方程.所以P点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法二：代点法（涉及中点问题可考虑此法）我们可以设过点A的弦为MN，则可以设两点的坐标为.因为M、N都在圆上，所以我们可以得到，然后我们把两式向减可以得到：设P（x,y)则.所以由这个结论和M、N、P、A四点共线，可以得到.所以2x+[(y-2)/(x-
1)]2y=0，所以P点的轨迹方程为（x=1时也成立），所以P点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法三：数形结合（利用平面几何知识），由垂径定理可知,故点P的轨迹是以AO为直径的圆.
变式练习：已知直线，是上一动点，过作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则在、连线上，且满足的点的轨迹方程。
反思总结：
当堂检测:
已知与曲线C：相切的直线交的正半轴与两点，O为原点，=a，，．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）求的最小值．
【板书设计】
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
1、必做题：习题4.2B组的2、3、题；
4、2、3直线与圆的方程的应用导学案（二）
课前预习学案
一、预习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题
二、预习内容：
1．你能说出直线与圆的位置关系吗？
2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？
三、提出疑惑
；
；
。
课内探究学案
一、学习目标：
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
学习重难点：直线的知识以及圆的知识
二、学习过程：
1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题
例1、求通过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程.
变式练习：求圆上的点到的最远、最近的距离。
例2、已知圆O的方程为，求过点所作的弦的中点的轨迹.
变式练习：已知直线，是上一动点，过作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则在、连线上，且满足的点的轨迹方程。
反思总结：
当堂检测:
已知与曲线C：相切的直线交的正半轴与两点，O为原点，=a，，．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）求的最小值．
课后练习与提高
1、M（为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为
A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相交
2.从直线：上的点向圆引切线，则切线长的最小值为
A、 B、 C、 D、
3、已知分别是直线上和直线外的点，若直线的方程是，则方程表示
A、与重合的直线 B、过P2且与平行的直线
C、过P1且与垂直的直线 D、不过P2但与平行的直线
4.如果实数 ．
5、已知集合A＝｛(x,y)｜＝2,x、y∈R｝，B＝｛(x,y)｜4x+ay＝16,x、y∈R｝，若
A∩B＝，则实数a的值为 ．
6.等腰三角形ABC的顶点，求另一端点C的轨迹方程.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.
（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.
2．过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.
（二）教学重点、难点
重点与难点：直线与圆的方程的应用.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
你能说出两点间的距离公式直线方程的四种形式及圆的方程的两种形式吗？
学生思考后作答
教师再引入课题
现在我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.
启发并引导学生回顾，从而引入新课.
应用举例
3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？
例4 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB = 20m，拱高OP = 4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).
解析：建立图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是
x2 + (y – b)2 = r2.
下面确定b和r的值.
因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2 + (y – b)2 = r2.于是，得到方程组
解得
b = –10.5，r2 = 14.52
所以，圆的方程是
x2 + (y + 10.5)2 = 14.52.
把点P2的横坐标x = –2代入圆的方程，得
(–2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52，
取(P2的纵坐标y＞0平方根取正值).所以
≈14.36 – 10.5
=3.86(m)
师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面坐标系求解.
生：自学例4，并完成练习题1、2.
师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间.
指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择.
4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？
教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值.
使学生加深对圆的方程的认识.
5．你能利用“坐标法”解决例5吗？
例5 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.
生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法.
证明：如图，以四边形ABCD互直垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.设A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d).
过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点.由线段的中点坐标公式，得
所以
又
所以.
巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力.
6．完成教科书第140页的练习题2、3、4.
练习2 赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.
练习3 某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？
练习4 等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且，|CE| = |CA|，AD、BE相交于点P.求证AP⊥CP.
教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4，教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据.
练习2解：建立如图所示的直角坐标系.|OP| = 7.2m，|AB| = 37.4m.即有
A(–18.7，0)，B (18.7，0)，C(0，7.2) .
设所求圆的方程是(x – a)2 + (y – b)2 = r2.
于是有
解此方程组，得
a = 0，b = –20.7，r = 27.9.
所以这这圆拱桥的拱圆的方程是
x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0≤y≤7.2)
练习3解：建立如图所示的坐标系.依题意，有
A(–10，0)，B (10，0)，P(0，4)，D(–5，0)，E(5，0).
设所求圆的方程是(x – a)2 + (y – b)2 = r2.于是有
解此方程组，得
a = 0，b = –10.5，r = 14.5.
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0≤y≤4).
把点D的横坐标x = –5代入上式，得y = 3.1.
由于船在水面以上高3m，3＜3.1，所以该船可以从桥下穿过.
练习4解： 以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段BC长的为单位长，建立如图所示的坐标系.则
.
由已知，得D(2,0)，.
直线AD的方程为.
直线BE的方程为
.
解以上两方程联立成的方程组，得
.
所以，点P的坐标是.
直线PC的斜率.
因为，
所以，AP⊥CP.
使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤.
练习题 直角△ABC的斜边为定长m，以斜边的中点O为圆心作半径为长定长n的圆，BC的延长线交此圆于P、Q两点，求证|AP|2 + |AQ|2 + |PQ|2为定值.
7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？
学生独立解决练习题，教师组织学生讨论交流.
证明：如图， 以O为原点，分别以直线PQ为x轴，建立直角坐标系.
于是有，
，
设A(x，y)，由已知，点A在圆上.
AP2 + AQ2 + PQ2
=
=(定值)
反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识.
归纳总结
8．小结：
（1）利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作？
（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？
（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？
（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？
师：指导学生完成练习题.
生：阅读教科书的例3，并完成.
教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究.
对知识进行归纳概括，体会利用“坐标法”解决实际问题的作用.
课后作业
布置作业习案4.2第2课时
学生独立完成
巩固所学知识
备选例题
例1 一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？
【解析】建立坐标系如图所示：
C(–11，0 )，D(11，0)，M(0，9)
可求得过C、D、M三点的圆的方程是
故A点坐标是(2，y1)，则
得y1≈8.82，(取y1＞0)
∴y1＞7.5，因此船不能从桥下通过.
例2 设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3:1，问A、B两人在何处相遇.
【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北为y轴的正方向，建立直角坐标系，设A、B两人的速度分别的为3vkm/h，vkm/h，设A出发ah，在P处改变方向，又经过bh到达相遇点Q，则P(3av，0)Q?(0，(a + b)v)，则
|PQ| = 3bv，|OP| = 3av，|OQ| = （a + b）v
在Rt△OPQ中|PQ|2 = |OP|2 + |OQ|2 得5a = 4b
∴
设直线PQ方程为
由PQ与圆x2 + y2 = 9相切，
解得
故A、B两人相遇在正北方离村落中心km.
例3 有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B相距10km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)
【解析】以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.
|AB| = 10，所以A(–5，0)，B(5，0)
设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则运住A地的运费|PA|·3a
当运费相等时，就是|PB|·a = 3a·|PA| ，
即
整理得 ①
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买.
课件18张PPT。4.2.3直线与圆
的方程的应用复习引入1. 直线方程有几种形式? 分别是什么?
复习引入1. 直线方程有几种形式? 分别是什么?
2. 圆的方程有几种形式?分别是哪些?
复习引入1. 直线方程有几种形式? 分别是什么?
2. 圆的方程有几种形式?分别是哪些?
3. 求圆的方程时，什么条件下用标准方程?
什么条件下用一般方程?
复习引入1. 直线方程有几种形式? 分别是什么?
2. 圆的方程有几种形式?分别是哪些?
3. 求圆的方程时，什么条件下用标准方程?
什么条件下用一般方程?
4. 直线与圆的方程在生产生活实践中有广
泛的应用，想想身边有哪些呢?5. 如何用直线和圆的方程判断它们之间的
位置关系？复习引入5. 如何用直线和圆的方程判断它们之间的
位置关系？复习引入6. 如何根据圆的方程，判断它们之间的位
置关系?讲授新课例1. 求圆(x－2)2 ＋(y＋3)2＝4上的点到
x－y＋2＝0的最远、最近的距离.1. 标准方程问题2. 轨迹问题 充分利用几何图形的性质，熟练
掌握两点间的距离公式、点到直线的
距离公式.2. 轨迹问题例2.过点A(4,0)作直线l交圆O: x2＋y2＝4
于B、C两点，求线段BC的中点P的轨迹
方程. 3. 弦问题 主要是求弦心距（圆心到直线的距
离），弦长，圆心角等问题.一般是构成
直角三角形来计算.3. 弦问题例3. 直线l经过点(5,5)，且和圆x2＋y2＝25
相交，截得的弦长为 ，求l的方程.3. 弦问题例3. 直线l经过点(5,5)，且和圆x2＋y2＝25
相交，截得的弦长为 ，求l的方程.练习.求圆x2＋y2＝9与
圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的公共弦的长.4. 对称问题 圆关于点对称，圆关于直线对称.4. 对称问题 圆关于点对称，圆关于直线对称.例4.求圆(x－1)2 ＋(y＋1)2＝4关于点(2,2)
对称的圆的方程.4. 对称问题 圆关于点对称，圆关于直线对称.例4.求圆(x－1)2 ＋(y＋1)2＝4关于点(2,2)
对称的圆的方程.练习.求圆(x－1)2 ＋(y－1)2＝4关于直线
l：x－2y－2＝0对称的圆的方程.《习案》P.182第4、5题；
《习案》 P.183第6题.作业讲评课后作业1. 阅读教材P.130到P.132；
2. 《习案》二十九.课件7张PPT。4.2.3直线与圆
的方程的应用 圆关于点对称，圆关于直线对称.4.对称问题 圆关于点对称，圆关于直线对称.例1.求圆(x－1)2 ＋(y＋1)2＝4关于点(2,2)
对称的圆的方程.4.对称问题 圆关于点对称，圆关于直线对称.例1.求圆(x－1)2 ＋(y＋1)2＝4关于点(2,2)
对称的圆的方程.练习.求圆(x－1)2 ＋(y－1)2＝4关于直线
l：x－2y－2＝0对称的圆的方程.4.对称问题例2. 下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意
图.这个圆的圆拱跨度AB＝20cm，拱高
OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根
支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到
0.01m).O5.实际问题例3. 已知内接于圆的四边形的对角线互
相垂直，求证圆心到一边的距离等于这
条边所对边长的一半.AODCB6.用代数法证明几何问题课后作业1. 阅读教材P.130到P.132；
2. 《习案》三十.4.2.3 直线与圆的方程的应用
【课时目标】 1．正确理解直线与圆的概念并能解决简单的实际问题．2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．3．体会用代数方法处理几何问题的思想．
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：
一、选择题
1．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．都有可能
3．如果实数满足(x＋2)2＋y2＝3，则的最大值为( )
A． B．－ C． D．－
4．一辆卡车宽2．7米，要经过一个半径为4．5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )
A．1．4米 B．3．0米
C．3．6米 D．4．5米
5．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )
A．3－ B．3＋
C．3－ D．
6．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是( )
A．[－3，3] B．[－3,3]
C．(－3,3] D．[－3，3)
二、填空题
7．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
9．如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是________．
三、解答题
10．如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4．过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|＝|PN|．试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
11．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
能力提升
12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使得l被C截得的弦AB为直径的圆经过原点．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
13．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化归结为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．
4．2．3 直线与圆的方程的应用 答案
知识梳理
作业设计
1．C [令t＝x2＋y2，则t表示直线上的点到原点距离的平方，当过原点的直线与l：x＋y－4＝0垂直时，可得最小距离为2，则tmin＝8．]
2．B [由题意<1?a2＋b2>1，故P在圆外．]
3．A [
令t＝，则t表示圆(x＋2)2＋y2＝3上的点与原点连线的斜率，如图所示，此时k＝＝＝，相切时斜率最大．]
4．C [
可画示意图，如图所示，通过勾股定理解得：OD＝＝3．6(米)．]
5．A [lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离
d＝＝，∴AB边上的高的最小值为－1．
∴Smin＝×(2)×＝3－．]
6．C [M∩N≠?，说明直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)相交，画图探索可知
－30)的图形是半圆．]
7．
解析 设P(x0，y0)为直线y＝x＋1上一点，圆心C(3,0)到P点的距离为d，切线长为l，则l＝，当d最小时l最小，当PC垂直直线y＝x＋1时，d最小，此时d＝2，
∴lmin＝＝．
8．(－13,13)
解析 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1．
∵d＝＝，∴0≤|c|<13，即c∈(－13,13)．
9．
解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值，
此时ABO2O1为矩形，
且Smax＝2×1－··12×2＝2－．
10．解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，
则O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知|PM|＝|PN|，
∴|PM|2＝2|PN|2．
又∵两圆的半径均为1，
所以|PO1|2－1
＝2(|PO2|2－1)，设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即(x－6)2＋y2＝33．
∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33．
11．解
如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．
设l的方程为y－3＝k(x＋3)，
则＝1，即12k2＋25k＋12＝0．
∴k1＝－，k2＝－．
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0．
12．解 假设存在，设直线方程为y＝x＋b，
则
?2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0．
∴－3－3而x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝，
由y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
＝，
∵AB为直径，·＝－1，即y1y2＋x1x2＝0，
∴＋＝0即b2＋3b－4＝0，
∴b＝1或b＝－4．
∴直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－4．
13．
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
则轮船航线所在直线l的方程为
＋＝1，即4x＋7y－28＝0．
圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离
d＝＝，而半径r＝3，∵d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、基础过关
1．已知两点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 ( )
A．9π B．8π C．4π D．π
2．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是 ( )
A．6－2 B．8 C．4 D．10
3．如果实数满足(x＋2)2＋y2＝3，则的最大值为 ( )
A. B．－ C. D．－
4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是 ( )
A．3－ B．3＋ C．3－ D.
5．已知圆x2＋y2＝9的弦PQ的中点为M(1，2)，则弦PQ的长为________．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
7．已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．
8. 如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
二、能力提升
9．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是 ( )
A．[－3，3] B．[－3,3]
C．(－3,3] D．[－3，3)
10．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间是 ( )
A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h
11．一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为______米．
12．等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且|BD|＝|BC|，|CE|＝|CA|，AD、BE相交于点P，求证：AP⊥CP.
三、探究与拓展
13．有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B相距10 km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)
答案
1．C 2．B 3．A 4．A
5．4
6．(－13,13)
7．解 (1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，显然当5－m>0，即m<5时，方程C表
示圆．
(2)圆的方程化为
(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
圆心C(1,2)，半径r＝，
则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离d＝＝.
∵|MN|＝，∴|MN|＝.
根据圆的性质有
r2＝d2＋2，
∴5－m＝2＋2，得m＝4.
8．解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则
O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知|PM|＝|PN|，
∴|PM|2＝2|PN|2.
又∵两圆的半径均为1，
所以|PO1|2－1
＝2(|PO2|2－1)，设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.
∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
9．C 10．B
11．2
12．证明 以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段BC长的为单位长，建立平面直角坐标系．则A(3,3)，B(0,0)，C(6,0)．由已知，得D(2,0)，E(5，)．直线AD的方程为y＝3(x－2)．
直线BE的方程为y＝(x－5)＋.
解以上两方程联立成的方程组，
得x＝，y＝.
所以，点P的坐标是(，)．
直线PC的斜率kPC＝－.
因为kADkPC＝3×(－)＝－1，
所以，AP⊥CP.
13．解 以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．
|AB|＝10，所以A(－5，0)，B(5,0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则A地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a＝3a·|PA|，即3＝，
整理得(x＋)2＋y2＝()2.①
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买．
