24.1.2 垂直于弦的直径学案(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十四章　圆
24.1　圆的有关性质
24.1.2　垂直于弦的直径
要 点 讲 解
要点一　圆的对称性
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
经典例题1　下列命题中，正确的有(　　　)
A. 圆只有一条对称轴
B. 圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C. 圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D. 圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴
解析：由圆的对称性可知：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，经过圆心的每一条直线都是其对称轴，故D正确.
答案：D
点拨：圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线.
要点二　垂径定理及其推论
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
2. 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
(1)定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段.
(2)推论中“平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立了.如图所示，当弦CD为直径时，AB平分CD于点O，但结论不成立.(3)利用垂径定理及其推论可以证明两条弧相等、一条弦垂直平分另一条弦、一条线段是直径.
经典例题2　如图1，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围.
图1 图2
解：如图2，过点O作OE⊥AB于点E，连接OB.
∵AB＝8cm.∴AE＝BE＝AB＝×8＝4(cm).
∵⊙O的直径为10cm，∴OB＝×10＝5(cm)，
∴OE＝＝＝3(cm).
∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm.
点拨：根据垂径定理，在解题时经常利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，借助勾股定理(即半径2＝半弦长2＋弦心距2)求这三个量中的任意一个量，有时把半径、半弦长、弦心距和弓形的高(拱高)四个量联系在一起，在这四个量中知道其中的两个就可以求另外两个.
要点三　垂径定理的应用
在垂径定理的运用中，常涉及弦长a、弦心距d(圆心到弦的距离)、半径r及弓形高h(弦所对的弧的中点到弦中点的距离)这四者之间的关系.应用时，构造直角三角形，利用勾股定理求解.如图所示，它们的关系为r2＝d2＋()2，r＝d＋h.
经典例题3　某地有一座圆弧形拱桥，如图所示，桥下水面宽度AB为7.2m，拱顶C高出水面2.4m，现有一艘宽3m，顶部为长方体并且高出水面2m的货船要经过这里.问此货船能顺利通过拱桥吗？
解析：货船能否通过这座拱桥，关键看货船顶部是否被拱桥拦住，即当货船位于桥下正中EF时，两边的高度是否小于FN(如图所示).
解：如题图所示，设所在圆的圆心为点O，作OD⊥AB，垂足为点D，OD的延长线交于点C.连接OA，ON.
由题意知DC＝2.4m.设OA＝rm，
则OD＝OC－CD＝(r－2.4)m，AD＝AB＝3.6m.
在Rt△OAD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，∴r＝3.9.
若EF＝3m，则DF＝NH＝×3＝1.5(m).
在Rt△ONH中，OH＝＝＝3.6(m)，
∴FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m).
∵2<2.1，∴此货船能顺利通过拱桥，但要小心.
当 堂 检 测
1. 下列说法正确的是(　　)
A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 垂直于直径的弦平分这条直径
D. 弦的垂直平分线必过圆心
2. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝16cm，OC＝6cm，则⊙O的半径为(　　)
A. 3cm B. 5cm C. 6cm D. 10cm

第2题 第3题
3. 如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长是(　　)
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
4. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是(　　)
A. CM＝DM B. ＝
C. ∠ACD＝∠ADC D. OM＝MB

第4题 第5题
5. 如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为 米.
6. 如图所示，直径为10cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4cm.
求弦AB的长.

7. 如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米.

当堂检测参考答案
1. D 2. D 3. A 4. D
5. 0.5
6. 解：连接OA.∵OM⊥AB，∴AM＝AB.∵OA＝×10＝5，OM＝4，∴AM＝＝3.∴AB＝2AM＝6(cm).
7. 解：连接OA.∵CD⊥AB，且CD过圆心O，∴AD＝AB＝1米，∠CDA＝90°.设⊙O的半径为R，则OA＝OC＝R，OD＝5－R.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.故圆拱形门所在圆的半径为2.6米.