24.1.3 弧、弦、圆心角学案(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十四章　圆
24.1　圆的有关性质
24.1.3　弧、弦、圆心角
要 点 讲 解
要点一　圆心角的概念及其计算
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角.
经典例题1　如图，在半径为4cm的⊙O中有长为4cm的弦CD，则弦CD所对的圆心角的度数(　　　)
A. 60°　　 B. 90°　　 C. 120°　　 D. 150°
解析：如图，过点O作OE⊥CD于E，则由垂径定理可得CE＝CD＝2cm.又OC＝4cm，∴OE＝2cm.∴∠OCE＝30°，∠COE＝60°，∴∠COD＝120°.故选C.
答案：C
点拨：弦CD所对的圆心角只有一个，就是∠COD.
要点二　弧、弦、圆心角之间的关系
1. 有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
2. 定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
3. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
在同圆或等圆中，两条弧(一般同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
经典例题2　如图所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝________.
解析：由＝得这两条弧所对的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A的度数为40°.
答案：40°
点拨：在运用弦、弧、圆心角之间的关系时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等得到两弦相等就可以了.
易错易混警示　不能正确理解弧、弦、圆心角之间的关系
对于同圆或等圆中的弧、弦、圆心角之间存在的关系判断不准，易出现错误.
经典例题3　已知在⊙O中，＝2，则弦AB与CD的关系是(　　　)
A. AB＝2CD B. AB>2CD C. AB<2CD D. 无法确定
解析：本题应灵活应用“弧、弦、圆心角”之间的关系.由＝2，可考虑取的中点，构造等弧，由弧相等得弦相等，把弧的关系转化为三角形的三边关系.
如图所示，＝2，取的中点E，连接AE，BE，由题意可得＝＝，∴AE＝BE＝CD.在△AEB中，AE＋BE>AB，即2CD>AB.
答案：C
点拨：本题易错之处在于没有正确理解弦长与弧长之间的关系：在同圆或等圆中，弧长之间的倍数关系与对应弦长之间的倍数关系不相等，即若＝n·，则AB≠n·CD(n≠1).
当 堂 检 测
1. 下面图形中的角是圆心角的是(　　)
A B C D
2. 在同圆或等圆中，下列说法错误的是(　　)
A. 相等弦所对的弧相等 B. 相等弦所对的圆心角相等
C. 相等圆心角所对的弧相等 D. 相等圆心角所对的弦相等
3. 如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于(　　)
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°

第3题 第4题
4. 在半径为5的圆O中，弦AB的长为5，则弦AB所对的圆心角的度数为 度.
5. 如图，圆心角∠AOB＝50°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则弧CD的度数是 .
6. 如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系？为什么？

7. 如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°.
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
(2)求证：OC∥BD.
当堂检测参考答案
1. B 2. A 3. A
4. 60
5. 50°
6. 解：BE＝CE.理由如下：∵AB，DE是⊙O的直径，∴∠AOD＝∠BOE.∴＝.∵＝，∴＝.∴BE＝CE.
7. 解：(1)△AOC是等边三角形.理由：∵＝，∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形.　
(2)证明：∵∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形.∴∠ODB＝60°.∴∠ODB＝∠COD＝60°.∴OC∥BD.