24.1.4 圆周角学案(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十四章　圆
24.1　圆的有关性质
24.1.4　圆周角
要 点 讲 解
要点一　圆周角及圆周角定理
1. 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2. 圆周角必须具备两个特征：(1)顶点在圆上；(2)两边都与圆相交；(3)同一条弧所对的圆周角有无数个.
3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
经典例题1　如图，有一圆通过△ABC的三个顶点，与BC边的中垂线相交于点D.若∠B＝74°，∠ACB＝46°，则∠ACD的度数为(　　　)
A. 14°　　 B. 26° C. 30° D. 44°
解析：连接AO，BO，OC，如图所示.
∵∠ABC＝74°，∠ACB＝46°，
∴∠AOC＝2∠B＝148°，∠AOB＝2∠ACB＝92°.
∴∠BOC＝360°－∠AOC－∠AOB＝120°.
∵OD垂直平分BC，∴∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝180°－∠BOC－∠AOB＝28°，
∴∠ACD＝∠AOD＝14°.
答案：A
点拨：已知圆中的同弧所对的圆周角和圆心角，可利用它们之间的倍数关系求值或转化.
要点二　圆周角定理的推论
圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
(1)在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等.
(2)在同圆和等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦及两个圆周角中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.
(3)如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
经典例题2　如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数是(　　　)
A. 116°　　　　　 B. 32° C. 58° D. 64°
解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝58°，∴∠A＝90°－∠ABD＝32°，∵∠A与∠BCD所对的弧均为劣弧，∴∠BCD＝∠A＝32°.
答案：B
点拨：在圆中出现直径，由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等于90°，在直角三角形中，可利用直角三角形的两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度.
要点三　圆内接四边形的性质
1. 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
(1)内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系.
(2)每一个圆有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆.
(3)圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.
经典例题3　如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝130°，则∠AOC＝________°.
解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°－∠ABC＝50°.又∵∠AOC和∠D分别是所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC＝2∠D＝100°.
答案：100
点拨：利用圆内接四边形的性质可实现圆周角之间的互化.
易错易混警示　不能正确理解圆周角及其性质
与圆周角有关的问题常常会出现多解的情况，因此，由于图形不确定而导致多解的情况常被忽略，进而导致出现丢解的错误.
经典例题4　在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角的度数是(　　　)
A. 42°或138° B. 138° C. 69° D. 42°
答案：A
点拨：本题易出现的错误是：考虑片面，得出答案D.在圆中，一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角.
当 堂 检 测
1. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的度数是(　　)
A. 150° B. 140° C. 130° D. 120°

第1题 第2题
2. 如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为(　　)
A. 60° B. 75° C. 80° D. 90°
3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝70°，则∠D的度数是(　　)
A. 110° B. 90° C. 70° D. 50°

第3题 第4题
4. 如图，A，B，C是半径为6的⊙O上的三点，∠BAC＝45°，则弦BC＝　 　.
5. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD的度数是 .
6. 如图，四边形ABCD的四个点均在⊙O上，AB＝BC，BD交AC于点E，求证：DB平分∠ADC.

7. 如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)求BC的长；
(2)求BD的长.
当堂检测参考答案
1. A 2. D 3. A
4. 6
5. 130°
6. 证明：∵AB＝BC，∴＝.∴∠BDC＝∠BDA，即DB平分∠ADC.
7. 解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∴在Rt△ABC中，BC＝＝＝5.　
(2)∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∴∠BAD＝∠ABD＝45°.∴AD＝BD.设BD＝AD＝x，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＋BD2＝AB2.∴x2＋x2＝102.解得x＝5.∴BD＝5.