24.2.1 点和圆的位置关系学案(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十四章　圆
24.2　点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1　点和圆的位置关系
要 点 讲 解
要点一　点和圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外?d>r；点在圆上?d＝r；点在圆内?d说明：符号“?”读作“等价于”.“A?B”具有两方面的含义：一方面表示“A?B”，即由A推出B；另一方面表示“B?A”，即由B推出A.
经典例题1　⊙A半径为5，圆心A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(－2，4)，则点P与⊙A的位置关系是(　　　)
A. 点P在⊙A上　　 B. 点P在⊙A内
C. 点P在⊙A外 D. 点P在⊙A上或外
解析：由勾股定理可得AP＝＝5，又∵⊙A半径为5，∴点P在⊙A上.故选A.
答案：A
点拨：判断点和圆的位置关系，关键是先确定点到圆心的距离d和圆的半径r两个量，然后根据d和r的大小判断点和圆的位置关系.
要点二　过已知点作圆
过已知一点可作无数个圆；过已知两点也可作无数个圆；过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.
判断三个点能不能确定一个圆，就是看这三个点在不在同一条直线上，经过同一条直线上的三个点不能作圆，不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.
经典例题2　如图所示，要把残破的圆片复原完整，已知弧上的三点A，B，C，试确定所在圆的圆心O.
解析：要求作的是圆心O，它到A，B，C三点的距离相等，即满足OA＝OB＝OC.因此，圆心就是线段AB，AC的垂直平分线的交点O.
解：如题图所示.
(1)连接AB，AC.
(2)分别作线段AB，AC的垂直平分线，交点为O.点O即为所求作的所在圆的圆心.
要点三　三角形的外接圆与外心
1. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
2. 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
经典例题3　如图1所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－2，－2)，C(4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为________.

图1　 　图2
解析：由题意知BC＝6，如图2，过BC中点N作BC的垂线l，作AC的中垂线m，l与m相交于点M，M点即为△ABC外接圆圆心，由图易发现点M在x轴上，即MN＝2，连接BM，在Rt△BMN中，由勾股定理易求出BM＝＝＝.
答案：
点拨：三角形三边垂直平分线的交点就是三角形的外心.
要点四　反证法
1. 假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确.从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法.
2. 用反证法证明命题一般有下面三个步骤：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确；
(4)反证法是间接证法的一种，当一个命题从正面不容易证明时，常常采用反证法；
(5)第(2)步中的矛盾类型常见的有三种：与已知定义、定理、公理相矛盾；与已知条件相矛盾；推出自相矛盾.
经典例题4　用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.
解析：按用反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假设出发推下去，找出矛盾.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理矛盾，所以假设∠A＝∠B＝90°不成立，所以一个三角形中不能有两个角是直角.
当 堂 检 测
1. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　)
A. 点A在圆上 B. 点A在圆内
C. 点A在圆外 D. 无法确定
2. A，B，C是平面内的三点，AB＝3，BC＝3，AC＝6，下列说法正确的是(　　)
A. 可以画一个圆，使A，B，C都在圆上
B. 可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外
C. 可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外
D. 可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内
3. 下列图形不一定有外接圆的是(　　)
A. 三角形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 矩形
4. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设三角形中(　　)
A. 有一个内角大于60° B. 有一个内角小于60°
C. 每一个内角都大于60° D. 每一个内角都小于60°
5. 用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d>r，则点P在⊙O的外部”，应先假设 .
6. 已知点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是 .
7. 在△ABC中，∠C＝90°.AC＝3，BC＝4，则△ABC外接圆的半径为 .
8. 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，CD⊥AB于点D，O为AB的中点.
(1)以C为圆心，6为半径作圆C，试判断点A，D，B与⊙C的位置关系；
(2)OC的半径为多少时，点O在⊙C上？
当堂检测参考答案
1. B 2. B 3. C 4. C
5. 点P在⊙O上或点P在⊙O内
6. 0cm≤d<3cm
7. 2.5
8. 解：(1)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，CD⊥AB，由勾股定理得AC＝6.由三角形面积公式得S△ABC＝AC·BC＝AB·CD.∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴CD＝4.8.∵AC＝6，∴点A在⊙C上.∵BC＝8>6，∴点B在⊙C外.∵CD＝4.8<6，∴点D在⊙C内.　
(2)∵点O为AB的中点，∠ACB＝90°，∴OC＝AB＝5.∴⊙C的半径为5时，点O在⊙C上.