1.3.3 函数奇偶性 学案

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1.3.2　奇偶性
1.函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性.
温馨提示：注意函数奇偶性定义中x的任意性，不能认为某个(或某些)x使定义中的等式成立，这个函数就是奇函数或偶函数.
2.奇偶函数的图象对称性
(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来，若一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.
(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来，若一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.
3.奇偶性与单调性
(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性.
(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性.
类型一　函数奇偶性的判断
【例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3－2|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝3－2|－x|＝3－2|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠3}，不关于原点对称.
∴f(x)是非奇非偶函数.
【训练1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解　(1)f(x)的定义域为{2}，不关于原点对称，
∴f(x)＝＋既不是奇函数，也不是偶函数.
(2)由1－x2≥0，得－1≤x≤1.
由|x＋2|－2≠0，得x≠0且x≠－4.
故函数f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称.[来源:学科网]
当x∈[－1，0)∪(0，1]时，x＋2>0，
则f(x)＝＝.
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数.
(3)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
类型二　奇偶函数的图象问题
【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________.

解析　因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).

答案　(－2，0)∪(2，5)
【训练2】 设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________.
解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解.
∵当x∈[0，5]时，f(x)<0的解为2所以当x∈[－5，0]时，f(x)<0的解为－5≤x<－2.
∴f(x)<0的解是－5≤x<－2或2答案　{x|－5≤x<－2，或2类型三　利用奇偶性求参数或求值
【例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝________.
(2)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A.[－2，2] B.[－1，1]
C.[0，4] D.[1，3]
解析　(1)因为定义域[a－1，2a]关于原点对称，
所以a－1＝－2a，得a＝.
又因为f(－x)＝f(x)，所以x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b，由对应项系数相等，得－b＝b，所以b＝0.
因此a＋b＝.
(2)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝1，于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D.
答案　(1)　(2)D

【训练3】 (1)已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
解析　(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x.又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x2＋x，因此ax2＋x＝x2＋x，得a＝1.
(2)f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.
答案　(1)1　(2)12
类型四　利用函数的奇偶性求解析式
【例4】 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)求f(－2)；(2)求f(x)的解析式.
解　(1)因为f(x)是R上奇函数，且x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2＋3)＝－3.
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3.
又f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3(x<0),
易知f(0)＝0.故函数f(x)＝
【训练4】 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是(　　)
A.f(x)＝－x(x－2) B.f(x)＝－x(|x|－2)
C.f(x)＝－|x|(x－2) D.f(x)＝|x|(|x|－2)
解析　因为f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x，所以当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2).
又当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，
因此f(x)＝|x|(|x|－2).
答案　D





课时同步训练
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于(　　)
A.－3 B.－1 C.1 D.3
解析　∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3.
答案　A
2.函数y＝＋是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析　由函数可知，定义域为[－1，1]，函数解析式满足f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数.
答案　B
3.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A.f(x)＋|g(x)|是偶函数 B.f(x)－|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|＋g(x)是偶函数 D.|f(x)|－g(x)是奇函数
解析　由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，所以f(x)＋|g(x)|为偶函数.
答案　A
4.函数f(x)＝x3(x∈(－2，2])的奇偶性为(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析　函数f(x)＝x3(x∈(－2，2])的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数.
答案　D
5.下列函数中既是奇函数又在(0，＋∞)上是增函数的为(　　)
A.y＝x＋1 B.y＝x|x|
C.y＝ D.y＝－x3
解析　由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除C、D，由y＝x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数.
答案　B


6.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析　F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x).又因为x∈(－a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数.
答案　B
7.若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)[来源:学*科*网]
A. B. C. D.1
解析　函数f(x)的定义域为.
又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.
答案　A
8.下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A.y＝x3 B.y＝|x|＋1
C.y＝－x2＋1 D.y＝－[来源:Z#xx#k.Com]
解析　对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增.另外函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－不是偶函数，故选B.
答案　B

9.偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________.
解析　偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1，0]，[1，＋∞).
答案　[－1，0]，[1，＋∞)
10.已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－x2，则f(－2)＝________.
解析　因为当x>0时，f(x)＝x－x2，所以f(2)＝2－22＝－2，又f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝2.
答案　2
11.若函数f(x)＝ax2＋2在[3－a，5]上是偶函数，则a＝________.
解析　由题意可知3－a＝－5，∴a＝8.
12.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
解析　由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.
答案　4
13.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.
解析　因为g(－2)＝3，g(x)＝f(x)＋9，所以f(－2)＝g(－2)－9＝－6，又f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝6.
答案　6
14.若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析　∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，∴a＝0.
答案　0
15.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的解析式.
解　因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，①
得f(－x)＋g(－x)＝(－x)2－x－2，即f(x)－g(x)＝x2－x－2，②
由①②得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
16已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.
解　设x<0，则－x>0.
所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.
所以f(－x)＝x2－x－1.因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
所以f(x)＝x2－x－1.
所以当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.

17.判断函数f(x)＝的奇偶性.
解　函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
(1)当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1
＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)；
(2)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1
＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)，
由(1)(2)知，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数.
18.已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)，讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由.
解　当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数.
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.
19.已知函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在区间(－1，0)上的单调性并加以证明.
解　(1)函数f(x)是偶函数，证明如下：函数f(x)＝x2－2|x|的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数.
(2)f(x)在区间(－1，0)上是增函数.证明如下：
当x∈(－1，0)时，f(x)＝x2＋2x.
设－1－2，即x1＋x2＋2>0.[来源:学科网ZXXK]
∵f(x1)－f(x2)＝(x－x)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)<0，
∴f(x1)20.设函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明.
解　(1)由已知g(x)＝f(x)－a得：g(x)＝1－a－，因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即1－a－＝－，解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数，下面证明：
设0则f(x1)－f(x2)＝1－－＝.
因为00，
从而<0，即f(x1)所以函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数.














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