人教版七年级数学下册6.1 平方根教案(知识讲解+巩固练习）

第六章 实数
6.1 平方根
1．算术平方根
（1）定义
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的__________．
（2）表示方法
a的算术平方根记为__________，读作“根号a”，a叫被开方数．
（3）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根为；
②0的算术平方根是0，即=__________；
③负数__________算术平方根．
④算术平方根具有双重非负性：被开方数a是非负数，即a≥0；算术平方根本身是非负数，即≥0．
2．平方根
（1）平方根的概念
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的__________或二次方根．
【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．
（2）平方根的性质
①一个正数a有__________个平方根，其中一个是“”，另一个为“-”，它们互为相反数；
②0的平方根是0；
③负数没有平方根．
（3）开平方的概念
求一个数a的平方根的运算，叫做__________．
（4）利用平方根的定义解方程
将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=±或ax+b=±，进而得到原方程的解．
3．平方根与算术平方根的区别
（1）定义不同；
（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；
（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示；
（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．
知识参考答案：
1．（1）算术平方根（2）（3）0，没有2．（1）平方根（2）两（3）开平方
重点
算术平方根的概念及表示方法
难点
平方根的概念及其性质
易错
混淆平方根和算术平方根
一、求平方根和算术平方根
若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．
【例1】9的算术平方根是
A． B．-3 C．±3 D．3
【答案】D
【解析】∵32=9，∴9的算数平方根是3，故选D．
【例2】（-2）2的算术平方根是
A．2 B．±2 C．-2 D．
【答案】A
【解析】∵（-2）2=4，4的算术平方根是2，∴（-2）2的算术平方根是2，故选A．
【名师点睛】求一个式子的算术平方根时，先把这个式子化简，再按算术平方根的定义求化简所得数的算术平方根即可．
【例3】25的平方根是
A．5 B．-5 C．± D．±5
【答案】D
【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，故选D．
【例4】设a-3是一个数的算术平方根，那么
A．a≥0 B．a>0 C．a>3 D．a≥3
【答案】D
【解析】∵是一个数的算术平方根，∴，解得，故选D．
【名师点睛】本题考查的是算术平方根的“非负性”，即非负数a的算术平方根．
【例5】下列说法正确的是
①–是2的一个平方根
②–4的算术平方根是2
③的平方根是±2
④0没有平方根
A．①②③ B．①④ C．①③ D．②③④
【答案】C
【解析】①–是2的一个平方根，正确；②–4没有算术平方根，错误；
③的平方根是±2，正确；④0有平方根，是0，错误；故选C．
【例6】求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）=12．
（2）=-0.9．
（3）=．
（4）=56．
二、算术平方根非负性的应用
常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．
【例7】当式子的值取最小值时，a的取值为
A．0 B．? C．–1 D．1
【答案】B
【解析】∵2a+1≥0，∴当式子的值取最小值时，2a+1=0，
∴a的取值为–．故选B．
【例8】若实数x，y满足，则xy的值为__________．
【答案】
【解析】根据题意得：，解得，则xy=，故答案为：．
【例9】x、y是实数，+＝0，则xy=__________．
【答案】–6
【解析】由题意可知：x+2=0，y–3=0，∴x=–2，y=3，∴xy=–6，故答案为：–6．
三、利用平方根的知识解方程
先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解．
【例10】求下列各式中的x．
（1）x2=17；（2）=0．
【解析】（1）因为，
所以x=．
（2），
，
x=．
【例11】求下列各式中x的值：
（1）4（x-1）2-16=0；
（2）8（2x+1）3-1=0.
【解析】（1）4（x-1）2-16=0，
4（x-1）2=16，
（x-1）2=4，
x-1=±2，
x=-1或x=3．
（2）8（2x+1）2-1=0，
8（2x+1）2=1，
（2x+1）2=，
2x+1=±，
2x=-1±，
x=-或x=-+．
四、平方根和算术平方根定义和性质的综合运用
若一个数的平方根是它本身，则这个数是0；若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是0或1．
【例12】若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3的正数的平方根是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据一个正数的算术平方根是a，则这个正数为，则比这个数大3的正数的平方根是，故选C．
【例13】已知2a-1的平方根是±3，的算术平方根是b，求．
【解析】∵2a-1的平方根是±3，
∴2a-1=9，∴a=5，
∵的算术平方根是b，且=16，
即16的算术平方根是b，
∴b=4，∴==3．
【名师点睛】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义，由平方根和算术平方根的定义得到2a-1=9，b=4是解题的关键．
【例14】已知9的算术平方根是a，b的平方是25，求ab的值．
【名师点睛】本题目是一道考查平方根和算术平方根的问题，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
基础训练
1．1的平方根是
A． B． C．1 D．±1
2．若=3，则a的值为
A．3 B．±3 C． D．–3
3．的平方根是
A． B． C． D．
4．若一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数是．
A．3 B．9 C．25 D．49
5．如果x是4的算术平方根，那么x的平方根是
A．4 B．2 C．± D．±4
6．估算＋的运算结果应在
A．3到4之间 B．4到5之间
C．5到6之间 D．6到7之间
7．已知a为实数，那么等于
A．a B．-a C．-1 D．0
8．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m为
A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1
9．x的算术平方根是2，y是36的算术平方根，则x+2y的平方根是__________．
10．若一个数的算术平方根是，则这个数是__________．
11．如果某数的一个平方根是-6，那么这个数的另一个平方根是__________，这个数是__________．
12．已知：若≈1.910，≈6.042，则≈__________．
13．一个正方形的面积是6平方厘米，则这个正方形的边长等于__________厘米．
14．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）．
15．求下列各式中x的值：
（1）9x2–25=0；（2）2（x+1）2–32=0．
16．已知，求的平方根．
17．已知x，y是实数，且（y-2）2与互为相反数，求x2+y3的平方根．
能力测试
18．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是
A．x+1 B．x2+1 C．+1 D．
19．估计+2的值
A．在2和3之间 B．在3和4之间
C．在4和5之间 D．在5和6之间
20．如果的小数部分为，的整数部分为，则=__________．
21．求下列代数式的值
（1）如果a2=4，b的算术平方根为3，求a+b的值．
（2）已知x是25的平方根，y是16的算术平方根，且x真题练习
22.（2018?铜仁市）9的平方根是
A．3 B．–3 C．3和–3 D．81
23.（2018?南京）的值等于
A． B．– C．± D．
24.（2018?杭州）下列计算正确的是
A．=2 B．=±2 C．=2 D．=±2
25.（2018?贺州）4的平方根是
A．2 B．–2 C．±2 D．16
26.（2018?安顺）的算术平方根是
A．± B． C．±2 D．2
27.（2018?株洲）9的算术平方根是
A．3 B．9 C．±3 D．±9
28.（2018?济南）4的算术平方根是
A．2 B．–2 C．±2 D．
参考答案
1．【答案】D
【解析】1的平方根是±1．故选D．
2．【答案】B
【解析】因为=3，所以a2=9，所以a=±3．故选B．
5．【答案】C
【解析】因为x是4的算术平方根，所以x=2，所以x的平方根=±，故选C．
6．【答案】C
【解析】9<15<16,3<<4，5<<6，故选C．
7．【答案】D
【解析】根据非负数的性质a2≥0，根据二次根式的意义，-a2≥0，故只有a=0时，有意义，所以，=0，故选D．
8．【答案】B
【解析】因为与是同一个数的平方根，所以，解得，故选B．
9．【答案】±4
【解析】∵=2，∴x=4．∵=6，∴y=6，∴±，故答案为：±4．
10．【答案】11
【解析】∵一个数的算术平方根是，∴这个数是11，故答案为：11．
11．【答案】6；36
【解析】∵某数的一个平方根是-6，∴这个数的另一个平方根为：6，这个数=，故答案为：6；36．
12．【答案】604.2
解析】若≈1.910，≈6.042，则≈604.2，故答案为：604.2．
13．【答案】4
【解析】设正方形的边长是x平方厘米，则x2=16，∵x>0，∴x=4，故答案为：4．
14．【解析】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
15．【解析】（1）9x2–25=0，
x2=，
故x=±；
（2）2（x+1）2–32=0
则（x+1）2=16，
故x+1=±4，
解得：x=3或–5．
16．【解析】根据平方根的意义可得，
解得，
然后代入原式可得，
把代入，
所以的平方根是．
17．【解析】由题意得（y-2）2+=0，
∴y-2=0，2x+2=0，
∴x=-1，y=2，
∴x2+y3=9，
∴x2+y3的平方根为±3．
18．【答案】D
【解析】一个自然数的算术平方根是x，则这个自然数是，则它后面一个数的算术平方根是，
故选D．
19．【答案】C
【解析】∵<<，即2<<3，∴4<+2<5，故选C．
22.【答案】C
【解析】9的平方根是±3，故选C．
23.【答案】A
【解析】＝，故选A．
24.【答案】A
【解析】A、=2，故原题计算正确；
B、=2，故原题计算错误；
C、=4，故原题计算错误；
D、=4，故原题计算错误；
故选A．
25.【答案】C
【解析】∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故选C．
26.【答案】B
【解析】=2，2的算术平方根是．故选B．
27.【答案】A
【解析】∵32=9，∴9的算术平方根是3．故选A．
28.【答案】A
【解析】∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选A．