人教版七年级数学下册6.3 实数教案(知识讲解+巩固练习）

第六章 实数
6.3 实数
知识
1．无理数
（1）无限不循环小数叫做__________．如：，π，0.1225486…等．
（2）判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．
（3）常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如，，1+等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．
2．实数的概念和分类
（1）概念：有理数与无理数统称为__________．
（2）实数按定义分类：
按正负分类：
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是__________的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
（2）在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数__________．
4．相反数与绝对值
相反数：数a的相反数是-a．
绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即．
5．实数的运算
实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．
知识参考答案：
1．（1）无理数2．（1）实数3．（1）一一对应（2）大4．
重点
重点
无理数的概念；实数的概念及分类；实数的运算
难点
实数与数轴上的点一一对应关系
易错
对实数与数轴上点的关系理解不透
一、无理数的判断
1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．
2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数．
【例1】在下列各数中：；0；3π；；；1.1010010001…，无理数的个数是
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】因为0；；是有限小数或无限循环小数，；3π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C．
二、实数的概念和分类
1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．
2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．
【例2】在中，其中__________是整数，__________是无理数，__________是有理数.
【答案】0，；
【例3】将这些数按要求填入下列集合中：
，4，，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，．
负数集合｛ …｝；分数集合｛ …｝；非负整数集合｛ …｝；
无理数集合｛ …｝．
【解析】负数集合｛，-1，-|-5|，…｝；
分数集合｛，3.2…｝；
非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝；
无理数集合｛，…｝．
三、实数与数轴
两个实数比较大小：
1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；
2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．
【例4】如图，数轴上点P表示的数可能是
A． B．? C．–3.2 D．?
【答案】B
【解析】∵≈2.65，–≈–3.16，设点P表示的实数为x，由数轴可知，–3∴符合题意的数为?．故选B．
【例5】和数轴上的点成一一对应关系的数是
A．自然数 B．有理数 C．无理数 D．实数
【答案】D
【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D．
【例6】已知实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是
A．m<0 B．n＞0 C．n＞m D．n【答案】D
【解析】由数轴上的点，得m<0【例7】已知数轴上A、B两点表示的数分别为–3和，则A、B间的距离为__________．
【答案】+3
【解析】A、B两点表示的数分别为–3和，则A、B间的距离为–（–3）=+3，故答案为：+3．
【例8】如图，点A、B、C在数轴上，O为原点，且BO：OC：CA=2：1：5．
（1）如果点C表示的数是x，请直接写出点A、B表示的数；
（2）如果点A表示的数比点C表示的数两倍还大4，求线段AB的长．
【解析】（1）∵BO：OC：CA=2：1：5，点C表示的数是x，
∴点A、B表示的数分别为：6x，–2x；
（2）设点C表示的数是y，则点A表示的数为6y，
由题意得，6y=2y+4，
解得：y=1，
∴点C表示的数是1，点A表示的数是6，点B表示的数是–2，
∴AB=8．
四、相反数与绝对值
求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
【例9】的相反数是
A．- B． C． D．
【答案】A
【解析】根据相反数的定义可知：的相反数是，故选A．
【例10】3-π的绝对值是
A．3-π B．π-3 C．3 D．π
【答案】B
【解析】∵3?π<0，∴|3?π|=π?3，故选B．
【例11】是的
A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根
【答案】A
【解析】与只是符号不同，所以它们是一对相反数，故选A．
五、实数的运算
1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．
2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．
【例12】计算下列各式：
（1）；（2）．
【解析】（1）原式
．
（2）原式=
．
【名师点睛】此题考查了二次根式的加减混合运算，关键是熟练掌握绝对值的化简及同类二次根式的合并．
基础训练
1．在下列实数中，属于无理数的是
A．0 B． C．3 D．
2．在每两个1之间依次多一个中，无理数的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．实数的值在
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
4．下列四个数中，最小的一个数是
A．
5．的绝对值是
A．3 B．
6．下列说法中，正确的个数有
①不带根号的数都是有理数；
②无限小数都是无理数；
③任何实数都可以进行开立方运算；
④不是分数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．下列各组数中互为相反数的一组是
A．-|-2|与 B．-4与-
C．-与|| D．-与
8．如图，数轴上点表示的数可能是
A． B． C． D．
9．的相反数是__________，绝对值是__________．
10．计算：__________．
11．在数轴上离原点距离是的点表示的数是__________．
12．化简：（1-）=__________，（1-）=__________．
13．把下列各数填入相应的集合内：
，4，，，，0.15，-7.5，-，0，．
①有理数集合：｛ …｝；
②无理数集合：｛ …｝；
③正实数集合：｛ …｝；
④负实数集合：｛ …｝．
14．已知：x是|-3|的相反数，y是-2的绝对值，求2x2-y2的值．
15．已知a是的整数部分，b是的小数部分，|c|=，求a-b+c的值．
能力测试
16．已知5+与5–的小数部分分别是a、b，则（a+b）（a–b）=__________．
17．6–的整数部分是a，小数部分是b．
（1）a=__________，b=__________．
（2）求3a–b的值．
18．如图，点A表示的数为–，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n．
（1）求n的值；
（2）求|n+1|+（n+2–2）的值．
真题练习
19．（2018?鄂尔多斯）在，–2018，，π这四个数中，无理数是
A． B．–2018 C． D．π
20．（2018?辽阳）在实数–2，3，0，–中，最大的数是
A．–2 B．3 C．0 D．–
21．（2018?巴彦淖尔）的算术平方根的倒数是
A． B． C． D．
22．（2018?锦州）下列实数为无理数的是
A．–5 B． C．0 D．π
23．（2018?南通）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数–2，–1，0，1，2，则表示数2–的点P应落在
A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上
24．（2018?荆州）如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是
A．原点在点A的左边 B．原点在线段AB的中点处
C．原点在点B的右边 D．原点可以在点A或点B上
25．（2018?常州）已知a为整数，且，则a等于
A．1 B．2 C．3 D．4
26．（2018?攀枝花）如图，实数–3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是
A．点M B．点N C．点P D．点Q
27．（2018?贺州）在–1、1、、2这四个数中，最小的数是
A．–1 B．1 C． D．2
28．（2018?宁夏）计算：|–|–的结果是
A．1 B． C．0 D．–1
29．（2018?攀枝花）下列实数中，无理数是
A．0 B．–2 C． D．
30．（2018?包头）计算––|–3|的结果是
A．–1 B．–5 C．1 D．5
31．（2018?福建）已知m=+，则以下对m的估算正确的
A．232．（2018?湖北）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是
A．|b|<2<|a| B．1–2a＞1–2b
C．–a33．（2018?北京）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A．|a|＞4 B．c–b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0
34．（2018?南京）下列无理数中，与4最接近的是
A． B． C． D．
35．（2018?枣庄）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是
A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b36．（2018?益阳）计算：|–5|–+（–2）2+4÷（–）．
37．（2018?大庆）求值：（–1）2018+|1–|–．
38．（2018?台州）计算：|–2|+（–1）×（–3）
参考答案
1．【答案】B
【解析】0、3、都是有理数，是无理数．故选B．
2．【答案】C
【解析】–，π，1.131331333133331……（每两个1之间依次多一个3）是无理数，故选C．
3．【答案】B
【解析】∵1<<2，∴实数的值在：1和2之间．故选B．
4．【答案】D
【解析】∵7<8<9<π2，∴3<π，∴＞–π，∴最小的一个数是–π．故选D．
5．【答案】A
【解析】．–3的绝对值是3．故选A．
6．【答案】C
【解析】①不带根号的数不一定是有理数，如π，错误；
②无限不循环小数是无理数，错误；
③任何实数都可以进行开立方运算，正确；
④不是分数，正确；故选C．
8．【答案】B
【解析】由图可知，点表示的数在到之间，故选B．
9．【答案】
【解析】的相反数是，绝对值是，故答案为：．
10．【答案】
【解析】=，故答案为．
11．【答案】
【解析】在数轴上离原点距离是的点表示的数有两个，它们互为相反数，分别是，故答案为：．
12．【答案】
【解析】（1-）=-3，（1-）=-1，故答案为-3；-1．
13．【解析】有理数集合：｛4，，，，0.15，-7.5，0，…｝；
无理数集合：｛，…｝；
正实数集合：｛，4，，，，0.15，…｝；
④负实数集合：｛-7.5，…｝．
14．【解析】∵x是|?3|的相反数，
∴x是3的相反数?3，即x=?3．
∵y是?2的绝对值，
∴y=2．
∴．
15．【解析】∵2<<3，∴a=2，b=-2，
∵|c|=，
∴c=±，
当c=时，a-b+c=4；
当c=-时，a-b+c=4-2．
16．【答案】2–5
【解析】∵5+与5–的小数部分分别是a、b，
∴a=（5+）–7=–2，b=（5–）–2=3–，
∴（a+b）（a–b）
=（–2+3–）（–2–3+）
=2–5．
故答案为：2–5．
17．【解析】（1）∵4<<9，∴2<<3．
∴–2＞–＞–3．
∴6–2＞6–＞6–3，
∴4＞6–＞3．
∴a=3，b=3–．
（2）3a–b=3×3–（3–）=9–3+=6+．
19．【答案】D
【解析】在，–2018，，π这四个数中，无理数是π，故选．
20．【答案】B
【解析】–2<–<0<3，所以最大的数是3．故选B．
21．【答案】C
【解析】=4，则4的算术平方根为2，故2的倒数是：．故选C．
22．【答案】D
【解析】A、–5是整数，是有理数，选项错误；
B、是分数，是有理数，选项错误；
C、0是整数，是有理数，选项错误；
D、π是无理数，选项正确；
故选D．
23．【答案】B
【解析】2<<3，∴–1<2–<0，∴表示数2–的点P应落在线段BO上，故选B．
24．【答案】B
【解析】∵点A、点B表示的两个实数互为相反数，
∴原点在到在线段AB上，且到点A、点B的距离相等，
∴原点在线段AB的中点处，故选B．
25．【答案】B
【解析】∵a为整数，且，∴a=2．故选B．
26．【答案】B
【解析】∵实数–3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，
∴原点在点M与N之间，∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N，故选B．
27．【答案】A
【解析】在实数–1，1，，2中，最小的数是–1．故选A．
28．【答案】C
【解析】原式=–=0，故选C．
29．【答案】C
【解析】0，–2，是有理数，是无理数，故选C．
30．【答案】B
【解析】原式=–2–3=–5，故选B．
31．【答案】B
【解析】∵m=+=2+，1<<2，∴332．【答案】C
【解析】A、如图所示，|b|<2<|a|，故本选项不符合题意；
B、如图所示，aC、如图所示，a<–2D、如图所示，a<–2故选C．
33．【答案】B
【解析】∵–4又∵a<0c＞0，∴ac<0，∴C不正确；
又∵a<–3c<3，∴a+c<0，∴D不正确；
又∵c＞0b<0，∴c–b＞0，∴B正确；
故选B．
34．【答案】C
【解析】∵=4，∴与4最接近的是：．故选C．
35．【答案】B
【解析】从a、b、c、d在数轴上的位置可知：aA、|a|＞|b|，故选项正确；
B、a、c异号，则|ac|=–ac，故选项错误；
C、bD、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．
故选B．
36．【解析】原式=5–3+4–6=0．
37．【解析】原式=1+–1–2
=–2．
38．【解析】原式=2–2+3=3．