1.3.2 奇偶性应用 学案

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学案 函数的奇偶性应用
【知识要点】
1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝__.
2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是___函数，且有__________.
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是_______．

类型一 求函数值，函数解析式
例一
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2＋3x＋1，
（1）当x<0时，f（x）的解析式 （2）f(x)在R上的解析式．


2 .已知，且f（x）为奇函数 g（x）为偶函数，求f（x）与g（x）解析式。


变式1.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于___．


变式2.若定义在R上的偶函数满足>0，对任意xR恒成立，则__________．

类型二 解不等式
例二
1.已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1,1)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.



2.已知偶函数的定义域为R，且在[0，)上为增函数，则不等式的解集为_______．


3.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；
（3）解关于的不等式>1





变式4
1．已知函数f（x）是定义在上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=3，且不等式对任意的x[m，m+2]恒成立，则实数m的取值范围是_____


2.已知函数 则不等式f（x）>f（-x）的解集为____．


当堂练习
已知函数，是定义在区间上的奇函数，则_________.
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是 (　　)
A．4 B．2 C．1 D．0
3.设是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的解析式是______．




答案
例一
1．（1）；（2）. （1）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，当时，,f（0）=0,当x<0时，-x>0
.
（2）

.
联立得，g（x）=，f（x）=
变式1
f（2）+f（-2）=-16，所以f（2）=-26
变式2
f（x）=f（x+4），所以f（x）的周期为4，又因为是偶函数，
所以f（2019）=f（-1）=f（1）=1
例二
1.，所以为x
2因为是偶函数，所以，且f（x）在条件内是增函数
所以，即
（1）a=1，b=0
f（x）=，单调递增函数
（-）
变式4
1.由为奇函数，.
设，，，即，故f(x)，
从而4f(x) =f(2x)，
故不等式f(x+m2)4f(x)同解于f(x+m2)f(2x)，
又为上的单调增函数，故x+m22x，
即m2x对任意的恒成立，∴m2m+2，即或.
变式4
2.由题可得：函数为奇函数，
不等式等价于，即：
当时，由，解得：
当时，由，解得：
综上所述：或
所以不等式的解集为

当堂检测
1.27 2.D 3.












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