四川省成都市数学中考三轮专题复习学案（共6专题，教师版，含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省成都市数学中考三轮专题复习学案（共6专题，教师版，含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 6.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-26 15:37:45 | ||
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文档简介
目 录
第八讲 二次函数与圆综合 1
第十讲 全等和相似三角形的存在性问题（一） 17
第十一讲 全等和相似三角形的存在性问题（二） 30
第十二讲 角度和角度关系的存在性问题 46
第十三讲 距离的存在性问题（一） 64
第十四讲 距离的存在性问题（二） 81
第八讲 二次函数与圆综合
模块一：直线和圆的位置关系
1．直线和圆的位置关系判断
d、R法则：设圆心到直线的距离是d，圆的半径是R．
①当，直线和圆相离；
②当，直线和圆相切；
③当，直线和圆相交．
2．直线和圆相切
（1）圆和坐标轴相切：圆心到坐标轴的距离和半径相等．
（2）圆和特殊的直线相切：圆心到直线的距离和半径相等．
注意：特殊直线是指倾斜角度为，，，，，，或者与两坐标轴平行的直线．
（3）圆和一般的直线相切：圆心到直线的距离和半径相等．
模块二：二次函数和圆计算综合
在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，若将经过A、C两点的直线沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上的一点，设三角形ABP、三角形BPC的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，与两坐标轴同时相切？
（1）因为沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
所以，，将代入，
得，解得．所以直线AC为：
因为抛物线的对称轴是直线，
所以，解得.
所以抛物线的函数表达式为：.
（2）如图，过点B作于点D.
因为，所以.
过点P作轴于点E，则，
所以. 所以.
所以. 所以，解得. 所以点P的坐标为.
（3）存在，设点Q的坐标为
①当与y轴相切时，有，即.
当时，得，所以.
当时，得，所以，
②当与x轴相切时，有，即，
当时，得，
即，解得，所以
当时，得，即，
解得，所以，
综上所述，存在符合条件的，其圆心Q的坐标分别为，，，，
探究：设点Q的坐标为.
当与两坐标同时轴相切时，有.
①当时，得，即，
此时，所以次方程无解.
②当时，得，即.
解得.
∴当的半径为时，与两坐标同时轴相切.
【教师备课提示】这道题主要考查圆和坐标轴相切.
在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM的长为半径作，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作的切线l，且l与x轴的夹角为？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果保留根号）
（1）设抛物线的解析式为，
由题意，得，解得.
所以抛物线的解析式为.
（2）存在，抛物线
所以抛物线的顶点为，作抛物线和（如图）
设满足条件的切线l与x轴交于点B，与相切于点C.
连接MC，过点C作轴于点D.
因为，，，
所以，，.
所以，所以.
在中，，.
所以，. 所以.
设切线l的解析式为，则可得
，解得.
所以切线BC的解析式为.
由题意，解得，.
所以点P的坐标为、.
因为抛物线和都关于直线对称，
则存在切线l关于对称的直线也满足条件.
同样得到满足的点P关于和对称，则得到、.
综上所述，这样的点P共有4个，、、、.
【教师备课提示】这道题主要考查圆和特殊的直线相切.
如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）求直线BC的解析式．
（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心、r为半径作．
①当点P运动到点D时，若与直线BC相交，求r的取值范围；
②若，是否存在点P使与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）抛物线中，
令，得，解得，；
令，得；∴，，；
设直线BC的解析式为，则有：，解得，
∴直线BC的解析式为：；
（2），；∴，；
①过D作于G，则；
∴，即；
中，设，则，
由勾股定理，得：，
即：，解得；∴；
故D、P重合时，若与直线BC相交，则，即；
②存在符合条件的P点，且P点坐标为：，，，；过点F作于M；
∵，则；∴；
分别过D、F作直线m、n平行于直线BC，则直线m与直线BC、直线n与直线BC之间的距离都等于x；所以P点必为直线m、n与抛物线的交点；
设直线m的解析式为：，
由于直线m与直线m与直线BC平行，则；
∴，，即直线m的解析式为；
同理可求得直线x的解析式为：；
联立直线m与抛物线的解析式，
得：，解得，；
∴，；
同理，联立直线n与抛物线的解析式可求得：
，；
故存在符合条件的P点，
且坐标为：，，，．
【教师备课提示】这道题主要考查圆和一般的直线相切．
已知，如图4-1，抛物线经过点，，，其顶点为D．以AB为直径的交y轴于点E、F，过点E作的切线交x轴于点N．，．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图4-2，点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
图4-1 图4-2
（1）圆的半径．
连接ME，∵NE是切线，
∴．
在中，，
．
∴，，
∴．
∴，．
∴点A、B的坐标分别为、．
∵抛物线过A、B两点，所以可设抛物线解析式为：
，
又∵抛物线过点，
∴，解得：．
∴抛物线解析为：，
∴当时，．
即抛物线顶点D的坐标为．
（2）连接AF、QF，
在和中，
由垂径定理易知：．
∴，又，
∴，∴，∴
在中，
（或利用）
∴即：为定值．
【教师备课提示】这道题主要考查圆和二次函数的计算综合．
（嘉祥半期考试）如图，已知点A的坐标是，点B的坐标是，以AB为直径作，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，的平分线CD交于点D，连接BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）连接，因为，，
所以，，，
由勾股定理，得，所以，
设抛物线的解析式为，
则，解得，
所以抛物线的解析式为；
（2）连接，则由圆周角定理，，
又CD平分，所以，，
所以可以得到，又，所以直线BD的解析式为：.
（3）存在，①当时，能使，又可得，
所以，且点，所以直线的解析式为，则
由题意，解得或（舍去）
所以此时点.
②过点C作BD的平行线，交于点G，
此时有，.
又可得，，所以直线CG的解析式为：，
设点，作轴交x轴于点H，连接，
则在中，由勾股定理可得，，所以此时，
所以直线DG的解析式为：，则
由题意，解得或（舍去），
所以此时点.
综上所述，，．
如图所示，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点．以AB为直径作，过抛物线上一点P作的切线PD，切点为D，并与的切线AE相交于点E，连结DM并延长交于点N，连结AN、AD．
（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形EAMD的面积为，求直线PD的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（1）因为抛物线与轴交于点，两点，
设抛物线的函数关系式为：，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴
所以，抛物线的函数关系式为：，
又，
因此，抛物线的顶点坐标为.
（2）连结EM，∵EA、ED是的两条切线，
∴∴，
又四边形EAMD的面积为∴∴
又，∴，
因此，点E的坐标为或.
当E点在第二象限时，切点D在第一象限．
在直角三角形EAM中，
∴∴，
过切点D作垂足为点F，
∴，.
因此，切点D的坐标为，
设直线PD的函数关系式为，将、的坐标代入得
解之，得
所以，直线PD的函数关系式为
当E点在第三象限时，切点D在第四象限．
同理可求：切点D的坐标为，直线PD的函数关系式为
因此，直线PD的函数关系式为或
（3）若四边形EAMD的面积等于的面积
又
∴
∴E、D两点到x轴的距离相等，
∵PD与相切，∴点D与点E在x轴同侧，
∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为或
当时，由得，
当时，由得，
故满足条件的点P的位置有4个，
分别是、、、.
如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点.
（1）写出B、C、D三点的坐标；
（2）若B、C、D三点在抛物线上，求这个抛物线的解析式；
（3）若圆A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P且，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由.
（1），，
（2）由题意得，，解得，
所以抛物线的解析式为，
（3）连接AP，则，
在中，，则，所以,
所以直线MN解析式为，
又（2）得抛物线，
所以抛物线的顶点为，将顶点代入直线MN验证，
得顶点在直线MN上.
已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式为，并且线段CM的长为；
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴有两个交点、，且点A在B的左侧，求线段AB的长；
（3）若以AB为直径作，请判断直线CM与的位置关系，并说明理由．
（1）因为直线CM的解析式为，所以，又线段CM的长为，所以或，所以抛物线的解析式可得或.
（2）因为抛物线和x轴有两个交点、，所以此时抛物线为，令，得和是方程的两根，且，
则由韦达定理得，，，所以，所以；
（3）相切，由题意抛物线的对称轴应为，所以，作于点P，设直线CM与x轴相交于点D，则，且，，所以得，而AB为的直径，且，N点到直线CM的距离等于的半径，所以直线CM与相切.
（武侯区上期期末考试）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作与x轴相切，交y轴于点E、F两点，求劣弧EF所对圆心角的度数；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得的面积被直线AC分为1:2两部分．
（1）由题意，得，
解得
所以抛物线的解析式为：.
（2）由（1）得，
所以它的对称轴为，所以得，所以的半径为8，
作于点H，连接EH、FH，
则，，且，
在中，，，，
所以，，
所以劣弧EF所对圆心角的度数为.
（3）设AC交PG于点Q，则由题可知被直线AC分为和，
故或，所以或，
所以或，
由题，，，所以直线AC为，
因为P点为抛物线第二象限上的一个点，设，，
则，，
所以，，
①当时，得，
解得，(舍去)，此时，
②当时，得，
解得，(舍去)，此时，
综上所述，或.
第十讲 全等和相似三角形的存在性问题（一）
1．全等三角形的存在性问题
（1）找确定对应点
对应点根据对应边和对应角确定，在两个全等的三角形中，相等的边一定是对应边，相等的角一定是对应角，因此先寻找相等的边或角．
（2）分类讨论
按照角度和边相等，逐步确定各个对应点，分类讨论进行求解．
2．直角三角形相似的存在性问题
由相似三角形产生的存在性问题可分为相似的直角三角形和相似的非直角三角形两类，其中相似的直角三角形考查较多且相对简单．
（1）找确定对应点
对应点根据对应角确定，在两个相似的三角形中，相等的角一定是对应角，因此先寻找相等的角，通常是两个直角对应相等．
（2）分类讨论
按照角度和边，逐步确定各个对应点，分类讨论进行求解．
几何法：按照对应边成比例分类讨论，列等式．
解析法：按照对应角相等，利用斜率，进行联立求解．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点C(0,4)，对称轴与x轴交于点D，顶点为M，且．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点是第一象限内该抛物线上的一个动点，的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．
（1）；
（2）S关于x的函数关系式为：；
（3）存在．∵，
∴D点和E点一定是对应点，可能有以下情形：
（I）当时，，．
若点E在y轴正半轴上，如图1所示：点P在第一象限的角平分线上，，P点坐标为：，
∴直线PE的解析式为：；
若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下不存在．
（II）当时，，．
此时PD//OE，PE//OD，∴四边形PDOE为矩形，如图2所示．
∴直线PE的解析式为：．
综上所述，存在以O、P、E为顶点的三角形与全等，直线PE的解析式为，．
图1 图2
【教师备课提示】这道题主要讲解方法，先寻找确定的对应点．
在第一象限内作与x轴的夹角为的射线OC，在射线OC上取一点A，过点A作轴于点H．在抛物线上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，Q，O为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是__________________________．
，，，．
思路分析：以P，Q，O为顶点的三角形与全等，已知，，从图象可知，∴或.
当时，
情况一，，如图1；情况二，，如图2；当时，
情况三，，如图3；情况四，，如图4.
【教师备课提示】这道题主要考查分析能力，没有已知的对应点，逐个分析．
已知抛物线经过点、和原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点B的直线与抛物线相交于点，求的面积；
（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E．是否存在点P，使得以C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）由题意得：，解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）∵在抛物线上，∴，，
∴C点坐标为(2, 6)，∴、在直线上，
∴，解得，∴直线BC的解析式为．
设BC与x轴交于点G，则点G的坐标为(4, 0)，
∴．
（3）设存在点满足题意要求，则，．
∴，．
因为，所以分两种情况讨论：
①当时，
∴，
∴
整理，得．
②当时，，
∴，
∴．
整理，得．
∵点在抛物线上，
∴，
解得，
解得，
∵点P在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，
∴不符合题意，舍去．
∴存在满足题意要求的点和．
【教师备课提示】这道题还可以利用角度相等，然后求直线的解析式，联立进行求解，主要通过这道题讲解直角三角形相似存在性问题的两种方法，第一步一定是寻找确定的对应点．
如图，已知二次函数的图象过点，．
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）由题意得，函数图象经过点，，
故可得：，
解得：，故二次函数关系式为：．
（2）由（1）所求函数关系式可得点坐标为，点坐标为，
又∵点，，∴，
，，
∵满足，∴是直角三角形．
（3）存在点的坐标，点的坐标为或．
设点坐标为，
则，，
①若，则，
即，
解得：或（因为点在第二象限，故舍去）；
代入可得，即坐标为；
②若，则，
即，
解得：或（因为点在第二象限，故舍去）．
代入可得，即坐标为：．
综上所述，满足条件的点有两个，即、．
【教师备课提示】这道题主要是让学生们练习下方法，而且计算量有点大．
（实外周考）如图，抛物线交x轴于A、B两点，A点坐标为(3, 0)，与y轴交于点，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断的形状；若不存在，请说明理由．
（1）∵，在抛物线上
∴，解得：，∴所求抛物线的解析式为：
（2）设直线AC的解析式为，∵，在直线AC上
∴解得：，∴直线AC的解析式为：
∴，
∵点P在M上方
∴．
（3）①若，此时是直角三角形且
则即，
又∵，∴，即，∴，
∵，，
∴，∵，∴．
②若，此时是等腰三角形且
则即，由①得，∴，∴．
同理，，∴∵，∴
综合所得：存在这样的点P使与相似
此时m的值为或1，为直角三角形或等腰三角形.
【教师备课提示】这道题其中的一个三角形在变化，但是相当于是没有变化，方法还是一样的，主要是练习下．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点(2, 2)，且当时y取得最小值1.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图，过点的直线交已知抛物线于P、Q两点（P点为抛物线上不同于A的一点）过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R.
①判断的形状；
②在线段SR上求点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似；
（3）已知点在已知抛物线内部，试探索是否存在满足下列条件的直线l；①直线l过点；②直线l交抛物线于E、F两点且C点恰好是线段EF的中点. 若存在，请求出直线l的函数解析式：若不存在，请说明理由.
（1）；
（2）①为直角三角形；②满足条件的点为原点或SR的中点；
（3）.
定义：对于抛物线（a、b、c是常数，），若，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：是黄金抛物线．
（1）若抛物线（a、b、c是常数，）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（2）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位．
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）依题意，得，
∴．
当时，，此时抛物线与x轴有一个公共点，当时，，此时抛物线与x轴没有公共点，当时，，，此时抛物线与轴没有公共点，
（2）①新抛物线的解析式为
②分析：先根据全等的条件求出点的坐标，再代入抛物线解析式看是否成立．
在求点的坐标时，可从边相等的条件去思考，先考虑的长度确定点，再考虑的长度确定点．综上所述，存在．有四个符合条件的点P的坐标：，，，．
如图，抛物线与x轴交于点A、B，且A点的坐标为(1, 0)，与y轴交于点C(0, 1)．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ACBD的周长；（结果保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵点和点在抛物线上，∴，解得：，b=1，∴抛物线的解析式为：，抛物线的对称轴为y轴，则点B与点关于y轴对称，∴．
（2）设过点，的直线解析式为，可得：
，解得，b=1，∴．
∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为，
∵点在直线BD上，∴，得，
∴直线BD的解析式为：．
将代入抛物线的解析式，得：，解得：，，
∵B点横坐标为，则D点横坐标为2，
D点纵坐标为，∴D点坐标为．
如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则，，，
在中，，由勾股定理得：；
在中，，，由勾股定理得：；
又，OC⊥AB，由勾股定理得：；
∴四边形ABCD的周长为：．
（3）假设存在这样的点P，则与相似有两种情形：
（I）若，如答图②所示，则有，即，
∴PE=3BE．设OE=m(m＞0)，则，，，
∴点P的坐标为．
∵点P在抛物线上，
∴，解得或，当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去．因此，此种情况不存在；
（II）若，如答图③所示，则有，即，
∴BE=3PE．设OE=m(m＞0)，则E(m, 0)，BE=1+m，，
∴点P的坐标为．
∵点P在抛物线上，∴，解得或，
∵m＞0，故m=1舍去，
∴，点P的纵坐标为：，∴点P的坐标为．
综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与相似，点P的坐标为．
如图，抛物线的顶点坐标为，并且与y轴交于点，与x轴交于两点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求的面积；
（3）点E是直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与相似？若存在，求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）；
（2）；
（3）假设存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，由EF//OC得，则直角顶点为D点或F点，
若，，则DF所在地直线为．
由，得或
将或分别代入得或，
或，
若，，此时，
点在直线上，可求直线的解析式为，
由，得或，
将或分别代入得或，
或．
综上所述，满足条件的点的坐标为、、、．
第十一讲 全等和相似三角形的存在性问题（二）
非直角三角形相似的存在性问题
（1）找确定对应点
对应点根据对应角确定，在两个相似的三角形中，相等的角一定是对应角，因此先寻找相等的角，从而确定对应点．
（2）分类讨论
按照角度和边，逐步确定各个对应点，分类讨论进行求解．
几何法：按照对应边成比例分类讨论，列等式．
解析法：按照对应角相等，利用斜率，进行联立求解．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，轴于点H，MA交y轴于点N，．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使以A、N、G为顶点的三角形与相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．
（1）∵M为抛物线的顶点，
∴．∴， ．
∵，且抛物线与x轴有交点，
∴，∴，
∵，∴．
∴，
∵，∴，
∴，
∴；
（2）∵，∴D(1, 0)，∵M(2, 4)，D(1, 0)，
∴直线MD解析式：，
∵ON//MH，∴，
∴，
∴，，．
如图，若，可得NG//MD，
∴直线QG解析式：，
如图，若，可得
∴，∴，∴，
综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：或．
如图，已知点和点都在抛物线上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，若四边形为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点、C、D为顶点的三角形与相似．
（1）因为点和点都在抛物线上，
所以 解得，．
（2）如图，由点和点，可得．因为四边形为菱形，所以．因为，
所以原抛物线的对称轴向右平移5个单位后，对应的直线为．
因此平移后的抛物线的解析式为．
（3）由点和点，可得．如图，由，可得，即．解得．所以．又．
①如图，当时，，解得．此时，点的坐标为．
②如图，当时，，解得．此时，点D的坐标为．综上所述，，满足条件．
如图，已知抛物线C1:与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使最小，并求出点H的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
（1）∵抛物线C1过点，∴，解得．
（2）由（1）可得的对称轴为．
连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时最小．
设直线CE的解析式为，
则，解得．
∴直线CE的解析式为.
当时，．∴．
（3）存在．分两种情形讨论：
①当时，如图所示.
则，∴.由（2）知，，即，
∴，∴.作轴于点F，则
∴令(x＞0)，又点F在抛物线上，∴=，
∵(∵x＞0)，∴，.
此时
又，∴(m+2)2=，解得.
，.
②当时，如图所示．则，．同①，，，．
令，又点F在抛物线上，
．，．
，，．
又，．显然不成立．
综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形．
（2014成都中考）如图，已知抛物线（k为常数，且）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与相似，求k的值．
（1）；（2）．
【教师备课提示】例1主要讲解方法，例2主要练习；例3和例4主要是含参的计算．
如图5-1，已知抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图5-2，若点N在抛物线上，且，则在（2）的条件下，求出所有满足的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
图5-1 图5-2
（1）∵抛物线经过点、．
∴，解得．
∴抛物线的解析式是．
（2）设直线OB的解析式为，由点，
得：，解得：．
∴直线OB的解析式是．
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：．
∵点D在抛物线上．
∴可设．
又点D在直线上，
∴，即．
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴，解得：．
此时，，
∴D点坐标为．
（3）∵直线OB的解析式为，且，点A关于直线OB的对称点的坐标是(0, 3)．
设直线的解析式为，过点，
∴，解得：．
∴直线的解析式是．
∵，
∴点N在直线上，
∴设点，又点N在抛物线上，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为．
方法一：如图1，将沿x轴翻折，得到，
则，，
∴O、D、都在直线上．
∵，
∴，
∴，
点的坐标为．
将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点．
综上所述，点P的坐标是或．
方法二：如图2，将绕原点顺时针旋转，得到，
则，，
∴O、D、B2都在直线上．
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点．
综上所述，点的坐标是或．
如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得，和中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）令，即，解得：或b，
∵b是实数且，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为(b, 0)，令，解得：，∴点C的坐标为，故答案为：(b, 0)，；
（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为(x, y)，连接OP．
则S四边形，
∴．过P作轴，轴，垂足分别为D、E，
∴．∴四边形PEOD是矩形．
∴．∴．
∴，
∴，即．
由解得
由得，
即，
解得符合题意．∴P的坐标为；
（3）假设存在这样的点Q，使得，和中的任意两个三角形均相似．
∵，
∴，．
∴要使与相似，只能，即轴．
∵，∴，∴．
∴只能．此时，
由轴知QA∥y轴．∴．
∴要使与相似，只能或．
（I）当时，．
∴．
由得：．
解得：．∵，∴．
∴点Q的坐标是．
（II）当时，，
∴，即．又，∴．即．解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，∴点Q的坐标是(1, 4)．
∴综上可知，存在点或Q(1, 4)，使得，和中的任意两个三角形均相似．
如图，已知中，，以AB所在直线为x轴，过C点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为，B点坐标为(4, 0)．
（1）试求点C的坐标；
（2）若抛物线过的三个顶点，求抛物线的解析式；
（3）点在抛物线上，过点A的直线交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
（1）在中，，，
由射影定理，得：，即，∴；
（2）∵抛物线经过，，，
可设抛物线的解析式为，
则有：，，
∴
（3）存在符合条件的点，
且或．
根据抛物线的解析式易知：，
联立直线和抛物线的解析式有：，
解得，，∴，
∴，即，
，即，
∴，若以、、为顶点的三角形与相似，则有两种情况：①；②．
易知，，，
由①得：，即，
即，，
由②得：，即
即，，
∴或．
已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
（1）∵，∴点A的坐标为、点B两的坐标为，
∵直线经过点A，∴，
∴，
当时，，则点D的坐标为，
∴，解得，，
则抛物线的解析式为
；
（2）如图1中，作轴于H，设点P坐标，
当时，，
∴，即，∴，即，
∴解得或1（舍弃），
当时，，
∵，∴，
∴，∴，
解得或（舍弃），则，∴点P坐标．
当时，，∴，即，
∴，∴，∴，
解得或1（舍弃），当时，，
∵，∴，即，
∴，解得或（不合题意舍弃），则点P坐标，综上所述，符合条件的点P的坐标和．
（3）如图2中，作DM//x轴交抛物线于M，作轴于N，作于F，则，
∴，∴，∴，
∴Q的运动时间，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则，此时点E坐标．
如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
（4）连结AN，当面积最大时，在坐标平面内求使得与相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．
（1）设 将点，代入得
得，．∴ 当时，．∴
（2）设抛物线的函数解析式为，
，解得，．∴抛物线的解析式为．
（3）过点作轴的垂线NG，垂足为G，交OB于点Q，
过B作轴于H，设，则
则
∴当时，面积最大，最大值为，此时点的坐标为．
（4）解：过点作于S
∵，，
∴，，，，
在和中，∴
∴ ∴
∴．
∴的延长线上存在一点，使．
∵，，在中，
当时， 得
过点P作轴于点T，∴．
∴，设P(4t, t)，
∴
，（舍）．
∴点的坐标为．
将沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点
由以上推理可知，当点P的坐标为或时，与相似．
第十二讲 角度和角度关系的存在性问题
1．角度的存在性问题
角度的存在性问题分为特殊角和非特殊角的存在性问题，在考试中主要以特殊角的存在性问题为主，特殊角通常包括、、、等．
几何法：利用（特殊）角度构造直角三角形，从边长比例关系进行求解．
工具：
角 、角 角
解析法：利用直线与抛物线的交点．
工具：
和角公式： 2倍角公式：
2．角度关系的存在性问题
角度关系的问题一般指两角或多角的和差倍分或大小关系的问题．
几何法：构造相似或全等三角形进行求解．
解析法：利用三角函数值进行求解．
和差关系 （） 等量关系 大小关系
转化为三角形全等或相似 找临界值，即找等量关系
如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在第一象限的抛物线上，连接BD，在抛物线上是否存在点P使得？若存在，请求出点P的坐标；不存在，说明理由．
（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）∵点在抛物线上，∴，
即，∴或．
∵点D在第一象限，∴点D的坐标为．
过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，
过点D作轴于H．过Q点作于G．
∵,∴．∴，
又，
∴．∴，∴，．
由（2）知，∴．∵，
∴直线BP的解析式为．
∴，得，，∴点P的坐标为．
【教师备课提示】这道题主要讲解角度存在性问题的两种方法，还可以利用和差公式进行求解．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转，与直线交于点N．在直线DN上是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（1）由题意把、、代入
∴，解得 ．
∴抛物线的解析式是．
∵，
∴抛物线的顶点D的坐标为．
（2）存在，理由：方法（一）：
由旋转得，在中，∵，，
∴．∴．
∴F点的坐标为．
设过点D、F的直线解析式是，
把，代入求得．
分两种情况:①当点M在射线ND上时，
∵，，
∴．
∴．
∴直线OM的解析式为．
∴，
解得，．
∴点M的坐标为．
②当点M在射线NF上时，不存在点M使得
理由：∵，，∴.
∵，
∴．∴．
∴不存在
综上所述，存在点M，且点M的坐标为．
方法（二）①M在射线ND上，过点M作轴于点P，
由旋转得，在中，∵，
∴．∴．
∵，，∴．
∴．在中，∴．
在中，∵，
∴．∴．∴．
∴M点坐标为．
②M在射线NF上，不存在点M使得
理由：∵，，
∴．
∵．∴．
∴．∴不存在．…综上所述，存在点M，且点M的坐标为．
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点，并与x轴交于点和点C，顶点为P．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设D为线段OC上的一点，若，求点D的坐标．
（1）将点，代入中，得 解得
∴二次函数的解析式为．
（2）令，得，解得，．
∴点C的坐标为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
过点A作轴，过点P作轴，垂足分别为E，F．
易得．
，
．
又，∴．
∴．∵，
∴．
∴．
∴点D的坐标为．
【教师备课提示】这道题主要讲解相似的方法．
如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在抛物线上运动（点异于点），当时，求点P的坐标．
（1）由题意，得，解得，∴抛物线的解析式为．
（2）令，解得，，∴，∴，
∴，设直线CP的解析式为，如图，延长CP交x轴于点Q，设，则，∵，
∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴直线CP的解析式为．∴，得，．∴点P的坐标为．
【教师备课提示】这道题主要考查角度关系，建议讲解三角函数的方法．
如图，已知抛物线的顶点A在双曲线上，直线经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C.
（1）确定直线AB的解析式．
（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90, 与x轴交于点D, 与y轴交于点E, 求sin∠BDE的值．
（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请你直接写出使得的点N的坐标．
（1）
∴.
∵点A在双曲线上，∴.
，解得，（不合题意，舍去）.
∴，A(1, 3).
∵直线经过点A，∴.
故直线AB的解析式为，
（2）由，可得，.
将直线AB绕点O顺时针旋转，
得点B的对应点为，点C的对应点为.
可得直线DE的解析式为，
由，得两直线交点为，
可得，，，∴.
（2），.
【教师备课提示】这道题主要考查角度的和差关系.
抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求点B及点D的坐标；
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使，求点P的坐标；
②若抛物线上一点M，作，交直线CD于点N，使，求点M的坐标．
（1），．
（2）①，，连接BC，
过点C作，交DE于点H，∴，∴，
∴，
∴，，为直角三角形．
分别延长PC，DC与x轴交于点Q，R，则，
，
∴，∴，
∴，
∴，即，
∴直线CQ解析式为，
直线BD解析式为，
由方程组
解得∴．
②1）当点M在对称轴右侧时，
若点N在射线CD上，如图2，
延长MN交y轴于点F，过点M作轴，
∵，∴，
∴，∴，
设，则，
∵，
∴，均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
代入抛物线，
解得，∴．
若点N在射线DC上，如图3，
MN交y轴于点F，
过点M作轴，交y轴于点G，
∵，
∴，
∴，∴，
设，则，
∵，
∴，均为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，均为等腰直角三角形，
∴，，∴，
∴，∴，
∴，
代入抛物线，解得，∴．
2）当点M在对称轴左侧时，
∵，∴，
而抛物线左侧任意一点K，都有，∴点M不存在．
综上所述，点M坐标为，．
（青羊区九上期末）如图直线与抛物线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交CD于点F.
（1）求一次函数和抛物线的解析式．
（2）若点P的横坐标为t，当t为何值时，四边形OCPF是平行四边形？请说明理由．
（3）在CD上方是否存在点P，使，若存在，求出相应的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（1）在图像上，代入，
，．令，，，
将代入，，，
（2）若四边形OCPF为平行四边形，则且，
设，，，
解得，，；
（3）如图，过P作于N，过C作于M，
在和中：
，设则
，，
，即，
，
若，则，即，
解得，.
（石室联中九上半期）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线为对称轴的抛物线与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，且，点在抛物线上，直线l是一次函数的图象．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；
（3）将抛物线作适当平移，求解与探究下列问题；
i）若将抛物线向下平移m个单位长度后，恰与第（2）问中的直线l有且只有一个公共点，求m的值；
ii）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，请在备用图中画出草图，并探究：在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得无论k取何值，总被y轴平分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）抛物线的对称轴为，且 ，
则抛物线解析式为
代入，解得
（2）由（1）易得，
设直线l分别与OB、CD相交于E、F
直线l解析式，令，，，
令，，，
则，，，，
若l平分四边形OBDC，则，
,，
即，
（3）①平移后的抛物线解析式为
则
由题意，，
②抛物线解析式
由题意，平移后的抛物线解析式为
如图，过M做轴，轴，
由题意得，又
设、，
则，，，
，即，
M、N是抛物线与直线交点，，
，，
，，
则在轴正半轴上存在，使得不论取何值，总被轴平分.
如图1，已知直线与抛物线交于点．
（1）求直线的解析式和线段OA的长度．
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段NQ的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由．
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点是轴正半轴上的动点，且满足 ．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
（1）把点代入得，∴．．
（2）是一个定值，理由如下：
如答图1，过点Q作轴于点G，轴于点H．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时；
②当QH与QM不重合时，
∵，
不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．
（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作于点C，
过点A作轴于点R，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，∴点，
设点，过点B作于点K，则，
∴，即，解得，（舍去），
∴点，∴，，∴；
（求AB也可采用下面的方法）
设直线AF为把点，点代入得
，，∴，
∴，∴（舍去），，
∴，∴…
在与中
∵，∴，
∴，∵，∴．
设，则，
由得，∴
∴
∴顶点为
如答图3，当时，，此时E点有1个；
当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．
∴当时，E点只有1个
当时，E点有2个．
【教师备课提示】这道题让孩子们可以练习下，其中第（2）问可以用四点共圆．
第十三讲 距离的存在性问题（一）
1．距离的存在性问题
距离的存在性问题分为定点到动直线和动点到定直线的距离的存在性问题，一般解决方法是解三角形，有时也可以按照面积来进行求解．
（1）定点到动直线的距离为定值
方法：解三角形进行求解．
（2）动点到定直线的距离为定值
①如图，点到定直线的距离为定值，该点的轨迹是作该直线上下两条平行线．
②利用解三角形或者面积求解直线，并联立进行求解．
2．距离关系的存在性问题
距离关系的问题一般指的是两个或者多个距离存在相等或倍数之间的问题．
（1）动点到多条定直线的距离关系
①点到两条平行直线的距离相等问题，其实该点轨迹就是作一条平行线（如图）．
②点到两条平行直线的距离存在倍数关系的问题，其实该点的轨迹就是作内外两条平行线（如图）．
③点到两条相交直线的距离相等问题，其实就是作角平分线（如图）．
④点到两条相交直线的距离相等问题的拓展——点到三角形三边距离相等的点，其实就是作各个角的角平分线的交点，就是三角形的内切圆圆心与旁切圆圆心（如图）．
（2）多个定点到动直线的距离关系．
在直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，抛物线上的一点C的横坐标为1．
（1）求AC的长度．
（2）若顶点A在x轴上，此时抛物线上有一点D，使得直线BD交x轴于点F，且原点O到直线BD的距离为，求点D的坐标．
（1）根据题意，如图所示，过点C作轴交于点，∵抛物线上一点C的横坐标为1，∴，又顶点为A，∴，在中，根据勾股定理得：，得：；
（2）①当直线DB经过第一、二、四象限时，设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作于点M，∵点O到直线DB的距离为，∴，
又∵点在x轴上，∴，，
∴，∴，在中，根据勾股定理得：，
∵，，∴，，
∴，又，∴，
∴，即，∴，∴，
∴直线BF解析式为，
∴，解得：或，∴点D的坐标为．
②当直线BD经过第一、二、三象限时，点D的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【教师备课提示】这道题主要讲解定点到动直线的距离问题．
（2011成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知，，的面积，抛物线经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）s，，
设，则
，由，
得，解得
（舍去负值），
，，．
设抛物线解析式为，
将C点坐标代入，得，
抛物线解析式为，
即；
（2）设E点坐标为，抛物线对称轴为，
由，得
或，
解得或，
，
或，
边长或；
（3）存在．
由（1）可知，
为等腰直角三角形，直线BC解析式为，
依题意，直线或直线与BC的距离为，
联立，，
解得或，
M点的坐标为与．
【教师备课提示】这道题主要讲解动点到定直线的距离问题．
如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标．
（2）设抛物线与y轴交于点C，求的面积．
（3）在图中的抛物线上是否还存在点P（不与C重合），使得？如果不存在，说明理由；如存在，请求出P点的坐标．
（1）根据题意，可得，，解得，
把，代入函数解析式，得，
令，得，解得或，
A点坐标是，B点坐标是；
（2）令，得，则C，
，，，
，，，
，
是直角三角形，
，
（3）存在，过点C作BM的平行线，
∴CP的解析式为，
∴，解得：或，
∴点P的坐标为．
【教师备课提示】这道题主要考查面积问题转化为距离问题．
如图，二次函数的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．
（1）当时，求的值；
（2）设和的面积分别为、，且满足，求点D到直线BC的距离．
（1）当时，．
∴．∴．令，即，
解得，．∴．∴．∴．
（2）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m，设过点，的直线为，则，解得．
∴直线BC为．当时，．∴．
∴，．
∵，，，
∴．
又∵顶点D在第一象限，
∴，解得．
当时，，，．
∴，
．
设点D到BC的距离为d，
∵，
∴，解得．
答：点D到直线BC的距离为．
【教师备课提示】这道题主要考查面积问题转化为距离问题，含参的计算．
抛物线与轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．
（1）若点P到对称轴和轴的距离相等，求P点坐标；
（2）若点P到对称轴和轴的距离相等，求P点坐标；
（3）过点A作BC的平行线AQ且交抛物线于点Q，抛物线上是否存在点P使得P到BC的距离比上P到AQ的距离为1:2．
（1），则抛物线的对称轴为，
由题意到对称轴和轴的距离相等即该直线为平行于对称轴，
则该直线为，与抛物线联立得到．
（2）方法一：（几何法）对称轴与x轴的交点为，
由题意得到到交叉直线距离相等的点在这两条直线的角平分线上，
故可得该两条直线分别为与，联立方程：
解得 或
解得 或
故得到，，，．
方法二：（代数法）设点P为，到x轴的距离为，到对称轴距离为，由题意得到，
当点P在第一象限：，得（另一解舍）；
当点P在第二象限：，得（另一解舍）；
当点P在第三象限：，得（另一解舍）；
当点P在第四象限：，得（另一解舍）．
故得到，，，．
（3）由题意可知，，又，故AQ所在直线为，与y轴交点为，则，
则满足题目条件的点所在直线定过轴上到点距离是到点距离的一半，即过点与点，斜率与所在直线相同，所以满足条件的两个直线解析式为与，
∴，解得与，∴，无解．
故，．
【教师备课提示】这道题主要考查动点到两条定直线的距离关系问题．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，轴于点H，MA交y轴于点N，．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若时，求点P的坐标．
（1）M为抛物线的顶点，，，，
，且抛物线与x轴有交点，，，，，，，，，
抛物线的函数表达式为：；
（2）如图1，，，，，，，，，
，，，，
如图2，同理可得，．
【教师备课提示】这道题主要考查两个定点到动直线的距离关系问题．
如图，已知抛物线经过，两点，直线交x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）求该抛物线的解析式；．
（2）若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是，，，问是否存在直线l，使？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
（1）抛物线 经过，两点，
解得： ；?
（2）存在．
如图2所示，连接BD，过点C作于点H．
由题意得，，，
，，，
为等腰直角三角形．
，
，，
①，过点且平行于BD的直线满足条件．
作于点E，于点F，设CH交直线于点G．
即：，
则，，即，
，，
，即；
②如图2，在外作直线，延长CH交于点，使，
；
③如图3，过H，点Q作直线，作 于点E，于点F，于点G．
由①可知，，则，即：，
，，
作轴于点I，，，
，
的面积为：
；
④如图3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线，与③情况相同，易证：，．
综上所述，存在直线l，使，的值为：，，．
【教师备课提示】这道题主要考查三个点到动直线的距离关系问题．
（2014武侯一诊）如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）求A，C的坐标；
（2）线段AC上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？
（1）A点坐标为抛物线与y轴交点，故当时，得到，
C点坐标为抛物线与x轴交点，即解一元二次方程，
因式分解得，则．
（2）易得，
设直线AC对应的函数关系式为，
则：，解得
①当时，，，；
②过E点作轴于G点，当时，由，
把，代入到，求出
可得；
③当时，如图，过点E作，
则，
又，，则，
，
；
综上所述，符合条件的E点共有三个：、、
（3）由题意，面积为S相应点P有且只有两个的存在情况分为两种：
情况1，AC上方存在一个，下方存在一个．
情况2，AC上方存在两个，下方不存在．
情况1：如图所示，作AC平行线且与抛物线相切时上面只
存在一个三角形，AC所在直线解析式为，则设与抛物线相切直线的解析式为，该直线与抛物线有且只有一个交点，联立方程有：，则，即该直线与y轴交于，又因为，所以与AC平行且位于AC下方的一条线一定过原点，即的面积为的面积，且满足条件交点在x轴上方，此时解得．
情况2：因为情况一可得情况二不存在．
如图，在平面直角坐标系xOy中，轴于点B，，．将绕着原点O逆时针旋转，得到；再将绕着线段的中点旋转，得到，抛物线经过点B、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵轴，，，
∴，
∴，，
∵抛物线经过点B、、，
∴，
解这个方程组，得，，．
因为，抛物线的解析式是．
（2）假设在第三象限的抛物线上存在点，使点Q到线段的距离为．
过点Q作于点D．
由（2）可知，这时的面积可以表示为：
，
在中，．
∵，
∴，
解得或．
当时，；
当时，；
因此，在第三象限内，抛物上存在点Q，使点Q到线段的距离为，这样的点Q的坐标是或．
如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰中，O为原点，B在x轴正半轴上，且，抛物线对称轴过点B，抛物线经过O、A．
（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；
（2）是否存在下列情况，M为抛物线在 轴下方的一个动点，N为x轴上的一个动点，连接直线MN，若O、A、B到直线MN的距离之比为2:1:1，存在的话，求出M坐标；不存在，则说明理由．
（1） ；
（2）①∵
又∵，易得
∴
②，易得
∴
第十四讲 距离的存在性问题（二）
1．动点到定点和定直线的距离关系的存在性问题
动点M到定点F的距离与到定直线l的距离相等，此时M的轨迹为抛物线．其中，这个定点F叫做抛物线的焦点，这条定直线l叫做抛物线的准线．
2．距离和差最值问题
模型I：最小问题
模型II：最大问题
已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B的坐标；
（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；
（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）由得，
，解得，
点A的坐标，点B的坐标．
（2）由，令，得，
又，得．
，，，
，，直线CD的解析式为．
（3）存在．由（2）得，，
点B的坐标，N是线段OB的中点， ，，
作于Q，设存在满足条件的点,
则，，．
由题意得：，，
即，整理得，
，，
点M的坐标为，．
【教师备课提示】这道题主要讲解动点到定点和定直线的距离关系．
已知抛物线顶点为，且过原点O．
（1）求a、b、c的值；
（2）如图，过抛物线上一点向直线作垂线，垂足为M，连接FM，
在直线上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点，使恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由．
（1）抛物线，顶点为，且过原点O，
可得，，，，，.
（2）由（1）知抛物线的解析式为，
故设P点的坐标为，则M点的坐标，
是以PM为底边的等腰三角形
，即，或
1．当时，P点的坐标为，M点的坐标为
II．当时，P点的坐标为，M点的坐标为，经过计算可知，为正三角形，
点坐标为：或．
（3）当时，即N与F重合时恒成立.
证明：过P作PH与直线的垂线，垂足为H，
则，
，
P是抛物线上的点，；
，
，对任意y恒成立．
，且，，故时，恒成立．
如图，已知抛物线与坐标轴分别交于、、三点，过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点．分别过点C、作平行于x轴的直线、．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
（2）求证：以ON为直径的圆与直线相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．
（1）设抛物线对应二次函数的解析式为，由函数经过，，三点可得：，，，解得，，，．
（2）设，，，，；
，，又因为为正，∴，设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F，则，∴，即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半，∴以ON为直径的圆与l1相切．
（3）过点M作交NP于点H，则
，
又，，，；
，即，
，，
，，
延长NP交l2于点Q，过点M作交l2于点S，
则，
又，
所以，
即M、N两点到l2距离之和等于线段MN的长．
如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若OA、OB的长分别是方程的两根，且．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点A作交抛物线于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C、D到直线l的距离分别记为、，试求的的最大值．
（1）解方程得或，而，则点A的坐标为，点的坐标为．过点D作轴于，则为AB的中点．
∴的坐标为．又因为，∴．∴D的坐标为．令抛物线对应的二次函数解析式为．
∵抛物线过点，则，得．
故抛物线对应的二次函数解析式为．（或写成）
（2）∵，．又∵，∴．
令点C的坐标为，则有．
∵点C在抛物线上，∴．
化简得．解得，（舍去）．
故点C的坐标为．
（3）由（2）知，而，
∴．
过A作，∵，
∴．
∵，∴，
．
即此时的最大值为．
如图，二次函数图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线对称．
（1）求A、B两点坐标,并证明点在直线上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求和的最小值．
(
备用图
)
（1）由题意,得，解得，，
∵B点在A点右侧，∴A点坐标为，B点坐标为，
∵直线，当时，，∴点A在直线l上；
（2）∵点H、B关于过A点的直线对称，
∴，过顶点H作交AB于C点，
则，，∴顶点，
代入得，∴二次函数解析式为，
（3）直线AH的解析式为，直线BK的解析式为，
由 解得 即，则，
∵点H、B关于直线AK对称，
∴的最小值是MB，，
过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则，，，
∴的最小值是BQ，即BQ的长是的最小值．
∵
∴
由勾股定理得．
∴的最小值为8．
在平面直角坐标系中，已知抛物线（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为，C的坐标为，直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q，取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
（1）；
（2）存在最大值．理由如下：
易知为定值，则当取最小值时，有最大值．如图，取点B关于AC的对称点，易得点的坐标为，，取AB中点F，连接QF，FN，，易得，且，∴四边形PQFN为平行四边形．∴．
∴．∴当、Q、F三点共线时，最小，最小值为．∴的最大值为．
如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以AB为边作如图所示的正方形ABCD，顶点在坐标原点的抛物线恰好经过点D，P为抛物线上的一动点．
（1）直接写出点D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差；
（4）当点P位于何处时，的周长有最小值，并求出的周长的最小值．
（1）；
（2）∵抛物线的顶点在坐标原点，∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，∴，
∴抛物线的解析式为，
（3）过点P作轴于点H，设点，则，故，
，
∴；
（4）由（3）查知：，
∵，，∴，
∴的周长，
显然当B、P、H三点在一条直线上时，最小，的周长最小，
把代入得，此时的周长，
故当点P的坐标为时，的周长最小，共最小值为11．
如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为，点在抛物线上运动（点P异于点O）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：；
②是否存在点P，使得为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断的形状．
（1）∵抛物点的顶点为坐标原点，
∴A、D关于抛物线的对称轴对称；
∵E是AB的中点，
∴O是矩形ABCD对角线的交点，又
∴、；
由于抛物线的顶点为，可设其解析式为：，则有：
，
∴抛物线的解析式为：.
（2）①证明：由抛物线的解析式知：，而、，则：
，
，
∴，
②由①得：；
若为等边三角形，则，得：
，
即：，得：
（舍去），；
∴，；
∴存在符合条件的点，坐标为、.
③同①可证得：；
在等腰中，；
同理，在等腰中，；
∵、，
∴，，
∴，
∴，即是直角三角形．
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，，，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是，，．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与轴的另一个交点为，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当点在什么位置时有最大？并求出最大值．
（1）∵，，M是BC与y轴的交点，∴，
∵，，∴，则，解得，
∴；
（2）连接AC交y轴与G，∵M是BC的中点，∴，，∴，即，
∵，∴，即BG是AC的垂直平分线，要使，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，
∴点P为直线BG与抛物线的交点，
设直线BG的解析式为，则，解得，∴，
∴，解得，，
∴点或，
（3）∵，∴对称轴，
令，解得，，∴，
故E、D关于直线对称，∴，∴，
要使最大，则延长DC与相交于点Q，即点Q为直线DC与直线的交点，由于M为BC的中点，∴，设直线CD的解析式为，
则，解得，
∴，
当时，，
故当Q在的位置时，最大，
过点C作轴，垂足为F，则．
第八讲 二次函数与圆综合 1
第十讲 全等和相似三角形的存在性问题（一） 17
第十一讲 全等和相似三角形的存在性问题（二） 30
第十二讲 角度和角度关系的存在性问题 46
第十三讲 距离的存在性问题（一） 64
第十四讲 距离的存在性问题（二） 81
第八讲 二次函数与圆综合
模块一：直线和圆的位置关系
1．直线和圆的位置关系判断
d、R法则：设圆心到直线的距离是d，圆的半径是R．
①当，直线和圆相离；
②当，直线和圆相切；
③当，直线和圆相交．
2．直线和圆相切
（1）圆和坐标轴相切：圆心到坐标轴的距离和半径相等．
（2）圆和特殊的直线相切：圆心到直线的距离和半径相等．
注意：特殊直线是指倾斜角度为，，，，，，或者与两坐标轴平行的直线．
（3）圆和一般的直线相切：圆心到直线的距离和半径相等．
模块二：二次函数和圆计算综合
在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，若将经过A、C两点的直线沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上的一点，设三角形ABP、三角形BPC的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，与两坐标轴同时相切？
（1）因为沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
所以，，将代入，
得，解得．所以直线AC为：
因为抛物线的对称轴是直线，
所以，解得.
所以抛物线的函数表达式为：.
（2）如图，过点B作于点D.
因为，所以.
过点P作轴于点E，则，
所以. 所以.
所以. 所以，解得. 所以点P的坐标为.
（3）存在，设点Q的坐标为
①当与y轴相切时，有，即.
当时，得，所以.
当时，得，所以，
②当与x轴相切时，有，即，
当时，得，
即，解得，所以
当时，得，即，
解得，所以，
综上所述，存在符合条件的，其圆心Q的坐标分别为，，，，
探究：设点Q的坐标为.
当与两坐标同时轴相切时，有.
①当时，得，即，
此时，所以次方程无解.
②当时，得，即.
解得.
∴当的半径为时，与两坐标同时轴相切.
【教师备课提示】这道题主要考查圆和坐标轴相切.
在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM的长为半径作，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作的切线l，且l与x轴的夹角为？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果保留根号）
（1）设抛物线的解析式为，
由题意，得，解得.
所以抛物线的解析式为.
（2）存在，抛物线
所以抛物线的顶点为，作抛物线和（如图）
设满足条件的切线l与x轴交于点B，与相切于点C.
连接MC，过点C作轴于点D.
因为，，，
所以，，.
所以，所以.
在中，，.
所以，. 所以.
设切线l的解析式为，则可得
，解得.
所以切线BC的解析式为.
由题意，解得，.
所以点P的坐标为、.
因为抛物线和都关于直线对称，
则存在切线l关于对称的直线也满足条件.
同样得到满足的点P关于和对称，则得到、.
综上所述，这样的点P共有4个，、、、.
【教师备课提示】这道题主要考查圆和特殊的直线相切.
如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）求直线BC的解析式．
（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心、r为半径作．
①当点P运动到点D时，若与直线BC相交，求r的取值范围；
②若，是否存在点P使与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）抛物线中，
令，得，解得，；
令，得；∴，，；
设直线BC的解析式为，则有：，解得，
∴直线BC的解析式为：；
（2），；∴，；
①过D作于G，则；
∴，即；
中，设，则，
由勾股定理，得：，
即：，解得；∴；
故D、P重合时，若与直线BC相交，则，即；
②存在符合条件的P点，且P点坐标为：，，，；过点F作于M；
∵，则；∴；
分别过D、F作直线m、n平行于直线BC，则直线m与直线BC、直线n与直线BC之间的距离都等于x；所以P点必为直线m、n与抛物线的交点；
设直线m的解析式为：，
由于直线m与直线m与直线BC平行，则；
∴，，即直线m的解析式为；
同理可求得直线x的解析式为：；
联立直线m与抛物线的解析式，
得：，解得，；
∴，；
同理，联立直线n与抛物线的解析式可求得：
，；
故存在符合条件的P点，
且坐标为：，，，．
【教师备课提示】这道题主要考查圆和一般的直线相切．
已知，如图4-1，抛物线经过点，，，其顶点为D．以AB为直径的交y轴于点E、F，过点E作的切线交x轴于点N．，．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图4-2，点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
图4-1 图4-2
（1）圆的半径．
连接ME，∵NE是切线，
∴．
在中，，
．
∴，，
∴．
∴，．
∴点A、B的坐标分别为、．
∵抛物线过A、B两点，所以可设抛物线解析式为：
，
又∵抛物线过点，
∴，解得：．
∴抛物线解析为：，
∴当时，．
即抛物线顶点D的坐标为．
（2）连接AF、QF，
在和中，
由垂径定理易知：．
∴，又，
∴，∴，∴
在中，
（或利用）
∴即：为定值．
【教师备课提示】这道题主要考查圆和二次函数的计算综合．
（嘉祥半期考试）如图，已知点A的坐标是，点B的坐标是，以AB为直径作，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，的平分线CD交于点D，连接BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）连接，因为，，
所以，，，
由勾股定理，得，所以，
设抛物线的解析式为，
则，解得，
所以抛物线的解析式为；
（2）连接，则由圆周角定理，，
又CD平分，所以，，
所以可以得到，又，所以直线BD的解析式为：.
（3）存在，①当时，能使，又可得，
所以，且点，所以直线的解析式为，则
由题意，解得或（舍去）
所以此时点.
②过点C作BD的平行线，交于点G，
此时有，.
又可得，，所以直线CG的解析式为：，
设点，作轴交x轴于点H，连接，
则在中，由勾股定理可得，，所以此时，
所以直线DG的解析式为：，则
由题意，解得或（舍去），
所以此时点.
综上所述，，．
如图所示，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点．以AB为直径作，过抛物线上一点P作的切线PD，切点为D，并与的切线AE相交于点E，连结DM并延长交于点N，连结AN、AD．
（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形EAMD的面积为，求直线PD的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（1）因为抛物线与轴交于点，两点，
设抛物线的函数关系式为：，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴
所以，抛物线的函数关系式为：，
又，
因此，抛物线的顶点坐标为.
（2）连结EM，∵EA、ED是的两条切线，
∴∴，
又四边形EAMD的面积为∴∴
又，∴，
因此，点E的坐标为或.
当E点在第二象限时，切点D在第一象限．
在直角三角形EAM中，
∴∴，
过切点D作垂足为点F，
∴，.
因此，切点D的坐标为，
设直线PD的函数关系式为，将、的坐标代入得
解之，得
所以，直线PD的函数关系式为
当E点在第三象限时，切点D在第四象限．
同理可求：切点D的坐标为，直线PD的函数关系式为
因此，直线PD的函数关系式为或
（3）若四边形EAMD的面积等于的面积
又
∴
∴E、D两点到x轴的距离相等，
∵PD与相切，∴点D与点E在x轴同侧，
∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为或
当时，由得，
当时，由得，
故满足条件的点P的位置有4个，
分别是、、、.
如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点.
（1）写出B、C、D三点的坐标；
（2）若B、C、D三点在抛物线上，求这个抛物线的解析式；
（3）若圆A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P且，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由.
（1），，
（2）由题意得，，解得，
所以抛物线的解析式为，
（3）连接AP，则，
在中，，则，所以,
所以直线MN解析式为，
又（2）得抛物线，
所以抛物线的顶点为，将顶点代入直线MN验证，
得顶点在直线MN上.
已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式为，并且线段CM的长为；
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴有两个交点、，且点A在B的左侧，求线段AB的长；
（3）若以AB为直径作，请判断直线CM与的位置关系，并说明理由．
（1）因为直线CM的解析式为，所以，又线段CM的长为，所以或，所以抛物线的解析式可得或.
（2）因为抛物线和x轴有两个交点、，所以此时抛物线为，令，得和是方程的两根，且，
则由韦达定理得，，，所以，所以；
（3）相切，由题意抛物线的对称轴应为，所以，作于点P，设直线CM与x轴相交于点D，则，且，，所以得，而AB为的直径，且，N点到直线CM的距离等于的半径，所以直线CM与相切.
（武侯区上期期末考试）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作与x轴相切，交y轴于点E、F两点，求劣弧EF所对圆心角的度数；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得的面积被直线AC分为1:2两部分．
（1）由题意，得，
解得
所以抛物线的解析式为：.
（2）由（1）得，
所以它的对称轴为，所以得，所以的半径为8，
作于点H，连接EH、FH，
则，，且，
在中，，，，
所以，，
所以劣弧EF所对圆心角的度数为.
（3）设AC交PG于点Q，则由题可知被直线AC分为和，
故或，所以或，
所以或，
由题，，，所以直线AC为，
因为P点为抛物线第二象限上的一个点，设，，
则，，
所以，，
①当时，得，
解得，(舍去)，此时，
②当时，得，
解得，(舍去)，此时，
综上所述，或.
第十讲 全等和相似三角形的存在性问题（一）
1．全等三角形的存在性问题
（1）找确定对应点
对应点根据对应边和对应角确定，在两个全等的三角形中，相等的边一定是对应边，相等的角一定是对应角，因此先寻找相等的边或角．
（2）分类讨论
按照角度和边相等，逐步确定各个对应点，分类讨论进行求解．
2．直角三角形相似的存在性问题
由相似三角形产生的存在性问题可分为相似的直角三角形和相似的非直角三角形两类，其中相似的直角三角形考查较多且相对简单．
（1）找确定对应点
对应点根据对应角确定，在两个相似的三角形中，相等的角一定是对应角，因此先寻找相等的角，通常是两个直角对应相等．
（2）分类讨论
按照角度和边，逐步确定各个对应点，分类讨论进行求解．
几何法：按照对应边成比例分类讨论，列等式．
解析法：按照对应角相等，利用斜率，进行联立求解．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点C(0,4)，对称轴与x轴交于点D，顶点为M，且．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点是第一象限内该抛物线上的一个动点，的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．
（1）；
（2）S关于x的函数关系式为：；
（3）存在．∵，
∴D点和E点一定是对应点，可能有以下情形：
（I）当时，，．
若点E在y轴正半轴上，如图1所示：点P在第一象限的角平分线上，，P点坐标为：，
∴直线PE的解析式为：；
若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下不存在．
（II）当时，，．
此时PD//OE，PE//OD，∴四边形PDOE为矩形，如图2所示．
∴直线PE的解析式为：．
综上所述，存在以O、P、E为顶点的三角形与全等，直线PE的解析式为，．
图1 图2
【教师备课提示】这道题主要讲解方法，先寻找确定的对应点．
在第一象限内作与x轴的夹角为的射线OC，在射线OC上取一点A，过点A作轴于点H．在抛物线上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，Q，O为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是__________________________．
，，，．
思路分析：以P，Q，O为顶点的三角形与全等，已知，，从图象可知，∴或.
当时，
情况一，，如图1；情况二，，如图2；当时，
情况三，，如图3；情况四，，如图4.
【教师备课提示】这道题主要考查分析能力，没有已知的对应点，逐个分析．
已知抛物线经过点、和原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点B的直线与抛物线相交于点，求的面积；
（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E．是否存在点P，使得以C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）由题意得：，解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）∵在抛物线上，∴，，
∴C点坐标为(2, 6)，∴、在直线上，
∴，解得，∴直线BC的解析式为．
设BC与x轴交于点G，则点G的坐标为(4, 0)，
∴．
（3）设存在点满足题意要求，则，．
∴，．
因为，所以分两种情况讨论：
①当时，
∴，
∴
整理，得．
②当时，，
∴，
∴．
整理，得．
∵点在抛物线上，
∴，
解得，
解得，
∵点P在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，
∴不符合题意，舍去．
∴存在满足题意要求的点和．
【教师备课提示】这道题还可以利用角度相等，然后求直线的解析式，联立进行求解，主要通过这道题讲解直角三角形相似存在性问题的两种方法，第一步一定是寻找确定的对应点．
如图，已知二次函数的图象过点，．
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）由题意得，函数图象经过点，，
故可得：，
解得：，故二次函数关系式为：．
（2）由（1）所求函数关系式可得点坐标为，点坐标为，
又∵点，，∴，
，，
∵满足，∴是直角三角形．
（3）存在点的坐标，点的坐标为或．
设点坐标为，
则，，
①若，则，
即，
解得：或（因为点在第二象限，故舍去）；
代入可得，即坐标为；
②若，则，
即，
解得：或（因为点在第二象限，故舍去）．
代入可得，即坐标为：．
综上所述，满足条件的点有两个，即、．
【教师备课提示】这道题主要是让学生们练习下方法，而且计算量有点大．
（实外周考）如图，抛物线交x轴于A、B两点，A点坐标为(3, 0)，与y轴交于点，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断的形状；若不存在，请说明理由．
（1）∵，在抛物线上
∴，解得：，∴所求抛物线的解析式为：
（2）设直线AC的解析式为，∵，在直线AC上
∴解得：，∴直线AC的解析式为：
∴，
∵点P在M上方
∴．
（3）①若，此时是直角三角形且
则即，
又∵，∴，即，∴，
∵，，
∴，∵，∴．
②若，此时是等腰三角形且
则即，由①得，∴，∴．
同理，，∴∵，∴
综合所得：存在这样的点P使与相似
此时m的值为或1，为直角三角形或等腰三角形.
【教师备课提示】这道题其中的一个三角形在变化，但是相当于是没有变化，方法还是一样的，主要是练习下．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点(2, 2)，且当时y取得最小值1.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图，过点的直线交已知抛物线于P、Q两点（P点为抛物线上不同于A的一点）过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R.
①判断的形状；
②在线段SR上求点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似；
（3）已知点在已知抛物线内部，试探索是否存在满足下列条件的直线l；①直线l过点；②直线l交抛物线于E、F两点且C点恰好是线段EF的中点. 若存在，请求出直线l的函数解析式：若不存在，请说明理由.
（1）；
（2）①为直角三角形；②满足条件的点为原点或SR的中点；
（3）.
定义：对于抛物线（a、b、c是常数，），若，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：是黄金抛物线．
（1）若抛物线（a、b、c是常数，）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（2）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位．
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）依题意，得，
∴．
当时，，此时抛物线与x轴有一个公共点，当时，，此时抛物线与x轴没有公共点，当时，，，此时抛物线与轴没有公共点，
（2）①新抛物线的解析式为
②分析：先根据全等的条件求出点的坐标，再代入抛物线解析式看是否成立．
在求点的坐标时，可从边相等的条件去思考，先考虑的长度确定点，再考虑的长度确定点．综上所述，存在．有四个符合条件的点P的坐标：，，，．
如图，抛物线与x轴交于点A、B，且A点的坐标为(1, 0)，与y轴交于点C(0, 1)．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ACBD的周长；（结果保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵点和点在抛物线上，∴，解得：，b=1，∴抛物线的解析式为：，抛物线的对称轴为y轴，则点B与点关于y轴对称，∴．
（2）设过点，的直线解析式为，可得：
，解得，b=1，∴．
∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为，
∵点在直线BD上，∴，得，
∴直线BD的解析式为：．
将代入抛物线的解析式，得：，解得：，，
∵B点横坐标为，则D点横坐标为2，
D点纵坐标为，∴D点坐标为．
如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则，，，
在中，，由勾股定理得：；
在中，，，由勾股定理得：；
又，OC⊥AB，由勾股定理得：；
∴四边形ABCD的周长为：．
（3）假设存在这样的点P，则与相似有两种情形：
（I）若，如答图②所示，则有，即，
∴PE=3BE．设OE=m(m＞0)，则，，，
∴点P的坐标为．
∵点P在抛物线上，
∴，解得或，当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去．因此，此种情况不存在；
（II）若，如答图③所示，则有，即，
∴BE=3PE．设OE=m(m＞0)，则E(m, 0)，BE=1+m，，
∴点P的坐标为．
∵点P在抛物线上，∴，解得或，
∵m＞0，故m=1舍去，
∴，点P的纵坐标为：，∴点P的坐标为．
综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与相似，点P的坐标为．
如图，抛物线的顶点坐标为，并且与y轴交于点，与x轴交于两点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求的面积；
（3）点E是直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与相似？若存在，求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）；
（2）；
（3）假设存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，由EF//OC得，则直角顶点为D点或F点，
若，，则DF所在地直线为．
由，得或
将或分别代入得或，
或，
若，，此时，
点在直线上，可求直线的解析式为，
由，得或，
将或分别代入得或，
或．
综上所述，满足条件的点的坐标为、、、．
第十一讲 全等和相似三角形的存在性问题（二）
非直角三角形相似的存在性问题
（1）找确定对应点
对应点根据对应角确定，在两个相似的三角形中，相等的角一定是对应角，因此先寻找相等的角，从而确定对应点．
（2）分类讨论
按照角度和边，逐步确定各个对应点，分类讨论进行求解．
几何法：按照对应边成比例分类讨论，列等式．
解析法：按照对应角相等，利用斜率，进行联立求解．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，轴于点H，MA交y轴于点N，．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使以A、N、G为顶点的三角形与相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．
（1）∵M为抛物线的顶点，
∴．∴， ．
∵，且抛物线与x轴有交点，
∴，∴，
∵，∴．
∴，
∵，∴，
∴，
∴；
（2）∵，∴D(1, 0)，∵M(2, 4)，D(1, 0)，
∴直线MD解析式：，
∵ON//MH，∴，
∴，
∴，，．
如图，若，可得NG//MD，
∴直线QG解析式：，
如图，若，可得
∴，∴，∴，
综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：或．
如图，已知点和点都在抛物线上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，若四边形为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点、C、D为顶点的三角形与相似．
（1）因为点和点都在抛物线上，
所以 解得，．
（2）如图，由点和点，可得．因为四边形为菱形，所以．因为，
所以原抛物线的对称轴向右平移5个单位后，对应的直线为．
因此平移后的抛物线的解析式为．
（3）由点和点，可得．如图，由，可得，即．解得．所以．又．
①如图，当时，，解得．此时，点的坐标为．
②如图，当时，，解得．此时，点D的坐标为．综上所述，，满足条件．
如图，已知抛物线C1:与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使最小，并求出点H的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
（1）∵抛物线C1过点，∴，解得．
（2）由（1）可得的对称轴为．
连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时最小．
设直线CE的解析式为，
则，解得．
∴直线CE的解析式为.
当时，．∴．
（3）存在．分两种情形讨论：
①当时，如图所示.
则，∴.由（2）知，，即，
∴，∴.作轴于点F，则
∴令(x＞0)，又点F在抛物线上，∴=，
∵(∵x＞0)，∴，.
此时
又，∴(m+2)2=，解得.
，.
②当时，如图所示．则，．同①，，，．
令，又点F在抛物线上，
．，．
，，．
又，．显然不成立．
综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形．
（2014成都中考）如图，已知抛物线（k为常数，且）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与相似，求k的值．
（1）；（2）．
【教师备课提示】例1主要讲解方法，例2主要练习；例3和例4主要是含参的计算．
如图5-1，已知抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图5-2，若点N在抛物线上，且，则在（2）的条件下，求出所有满足的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
图5-1 图5-2
（1）∵抛物线经过点、．
∴，解得．
∴抛物线的解析式是．
（2）设直线OB的解析式为，由点，
得：，解得：．
∴直线OB的解析式是．
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：．
∵点D在抛物线上．
∴可设．
又点D在直线上，
∴，即．
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴，解得：．
此时，，
∴D点坐标为．
（3）∵直线OB的解析式为，且，点A关于直线OB的对称点的坐标是(0, 3)．
设直线的解析式为，过点，
∴，解得：．
∴直线的解析式是．
∵，
∴点N在直线上，
∴设点，又点N在抛物线上，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为．
方法一：如图1，将沿x轴翻折，得到，
则，，
∴O、D、都在直线上．
∵，
∴，
∴，
点的坐标为．
将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点．
综上所述，点P的坐标是或．
方法二：如图2，将绕原点顺时针旋转，得到，
则，，
∴O、D、B2都在直线上．
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点．
综上所述，点的坐标是或．
如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得，和中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）令，即，解得：或b，
∵b是实数且，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为(b, 0)，令，解得：，∴点C的坐标为，故答案为：(b, 0)，；
（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为(x, y)，连接OP．
则S四边形，
∴．过P作轴，轴，垂足分别为D、E，
∴．∴四边形PEOD是矩形．
∴．∴．
∴，
∴，即．
由解得
由得，
即，
解得符合题意．∴P的坐标为；
（3）假设存在这样的点Q，使得，和中的任意两个三角形均相似．
∵，
∴，．
∴要使与相似，只能，即轴．
∵，∴，∴．
∴只能．此时，
由轴知QA∥y轴．∴．
∴要使与相似，只能或．
（I）当时，．
∴．
由得：．
解得：．∵，∴．
∴点Q的坐标是．
（II）当时，，
∴，即．又，∴．即．解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，∴点Q的坐标是(1, 4)．
∴综上可知，存在点或Q(1, 4)，使得，和中的任意两个三角形均相似．
如图，已知中，，以AB所在直线为x轴，过C点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为，B点坐标为(4, 0)．
（1）试求点C的坐标；
（2）若抛物线过的三个顶点，求抛物线的解析式；
（3）点在抛物线上，过点A的直线交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
（1）在中，，，
由射影定理，得：，即，∴；
（2）∵抛物线经过，，，
可设抛物线的解析式为，
则有：，，
∴
（3）存在符合条件的点，
且或．
根据抛物线的解析式易知：，
联立直线和抛物线的解析式有：，
解得，，∴，
∴，即，
，即，
∴，若以、、为顶点的三角形与相似，则有两种情况：①；②．
易知，，，
由①得：，即，
即，，
由②得：，即
即，，
∴或．
已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
（1）∵，∴点A的坐标为、点B两的坐标为，
∵直线经过点A，∴，
∴，
当时，，则点D的坐标为，
∴，解得，，
则抛物线的解析式为
；
（2）如图1中，作轴于H，设点P坐标，
当时，，
∴，即，∴，即，
∴解得或1（舍弃），
当时，，
∵，∴，
∴，∴，
解得或（舍弃），则，∴点P坐标．
当时，，∴，即，
∴，∴，∴，
解得或1（舍弃），当时，，
∵，∴，即，
∴，解得或（不合题意舍弃），则点P坐标，综上所述，符合条件的点P的坐标和．
（3）如图2中，作DM//x轴交抛物线于M，作轴于N，作于F，则，
∴，∴，∴，
∴Q的运动时间，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则，此时点E坐标．
如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
（4）连结AN，当面积最大时，在坐标平面内求使得与相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．
（1）设 将点，代入得
得，．∴ 当时，．∴
（2）设抛物线的函数解析式为，
，解得，．∴抛物线的解析式为．
（3）过点作轴的垂线NG，垂足为G，交OB于点Q，
过B作轴于H，设，则
则
∴当时，面积最大，最大值为，此时点的坐标为．
（4）解：过点作于S
∵，，
∴，，，，
在和中，∴
∴ ∴
∴．
∴的延长线上存在一点，使．
∵，，在中，
当时， 得
过点P作轴于点T，∴．
∴，设P(4t, t)，
∴
，（舍）．
∴点的坐标为．
将沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点
由以上推理可知，当点P的坐标为或时，与相似．
第十二讲 角度和角度关系的存在性问题
1．角度的存在性问题
角度的存在性问题分为特殊角和非特殊角的存在性问题，在考试中主要以特殊角的存在性问题为主，特殊角通常包括、、、等．
几何法：利用（特殊）角度构造直角三角形，从边长比例关系进行求解．
工具：
角 、角 角
解析法：利用直线与抛物线的交点．
工具：
和角公式： 2倍角公式：
2．角度关系的存在性问题
角度关系的问题一般指两角或多角的和差倍分或大小关系的问题．
几何法：构造相似或全等三角形进行求解．
解析法：利用三角函数值进行求解．
和差关系 （） 等量关系 大小关系
转化为三角形全等或相似 找临界值，即找等量关系
如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在第一象限的抛物线上，连接BD，在抛物线上是否存在点P使得？若存在，请求出点P的坐标；不存在，说明理由．
（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）∵点在抛物线上，∴，
即，∴或．
∵点D在第一象限，∴点D的坐标为．
过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，
过点D作轴于H．过Q点作于G．
∵,∴．∴，
又，
∴．∴，∴，．
由（2）知，∴．∵，
∴直线BP的解析式为．
∴，得，，∴点P的坐标为．
【教师备课提示】这道题主要讲解角度存在性问题的两种方法，还可以利用和差公式进行求解．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转，与直线交于点N．在直线DN上是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（1）由题意把、、代入
∴，解得 ．
∴抛物线的解析式是．
∵，
∴抛物线的顶点D的坐标为．
（2）存在，理由：方法（一）：
由旋转得，在中，∵，，
∴．∴．
∴F点的坐标为．
设过点D、F的直线解析式是，
把，代入求得．
分两种情况:①当点M在射线ND上时，
∵，，
∴．
∴．
∴直线OM的解析式为．
∴，
解得，．
∴点M的坐标为．
②当点M在射线NF上时，不存在点M使得
理由：∵，，∴.
∵，
∴．∴．
∴不存在
综上所述，存在点M，且点M的坐标为．
方法（二）①M在射线ND上，过点M作轴于点P，
由旋转得，在中，∵，
∴．∴．
∵，，∴．
∴．在中，∴．
在中，∵，
∴．∴．∴．
∴M点坐标为．
②M在射线NF上，不存在点M使得
理由：∵，，
∴．
∵．∴．
∴．∴不存在．…综上所述，存在点M，且点M的坐标为．
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点，并与x轴交于点和点C，顶点为P．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设D为线段OC上的一点，若，求点D的坐标．
（1）将点，代入中，得 解得
∴二次函数的解析式为．
（2）令，得，解得，．
∴点C的坐标为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
过点A作轴，过点P作轴，垂足分别为E，F．
易得．
，
．
又，∴．
∴．∵，
∴．
∴．
∴点D的坐标为．
【教师备课提示】这道题主要讲解相似的方法．
如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在抛物线上运动（点异于点），当时，求点P的坐标．
（1）由题意，得，解得，∴抛物线的解析式为．
（2）令，解得，，∴，∴，
∴，设直线CP的解析式为，如图，延长CP交x轴于点Q，设，则，∵，
∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴直线CP的解析式为．∴，得，．∴点P的坐标为．
【教师备课提示】这道题主要考查角度关系，建议讲解三角函数的方法．
如图，已知抛物线的顶点A在双曲线上，直线经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C.
（1）确定直线AB的解析式．
（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90, 与x轴交于点D, 与y轴交于点E, 求sin∠BDE的值．
（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请你直接写出使得的点N的坐标．
（1）
∴.
∵点A在双曲线上，∴.
，解得，（不合题意，舍去）.
∴，A(1, 3).
∵直线经过点A，∴.
故直线AB的解析式为，
（2）由，可得，.
将直线AB绕点O顺时针旋转，
得点B的对应点为，点C的对应点为.
可得直线DE的解析式为，
由，得两直线交点为，
可得，，，∴.
（2），.
【教师备课提示】这道题主要考查角度的和差关系.
抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求点B及点D的坐标；
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使，求点P的坐标；
②若抛物线上一点M，作，交直线CD于点N，使，求点M的坐标．
（1），．
（2）①，，连接BC，
过点C作，交DE于点H，∴，∴，
∴，
∴，，为直角三角形．
分别延长PC，DC与x轴交于点Q，R，则，
，
∴，∴，
∴，
∴，即，
∴直线CQ解析式为，
直线BD解析式为，
由方程组
解得∴．
②1）当点M在对称轴右侧时，
若点N在射线CD上，如图2，
延长MN交y轴于点F，过点M作轴，
∵，∴，
∴，∴，
设，则，
∵，
∴，均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
代入抛物线，
解得，∴．
若点N在射线DC上，如图3，
MN交y轴于点F，
过点M作轴，交y轴于点G，
∵，
∴，
∴，∴，
设，则，
∵，
∴，均为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，均为等腰直角三角形，
∴，，∴，
∴，∴，
∴，
代入抛物线，解得，∴．
2）当点M在对称轴左侧时，
∵，∴，
而抛物线左侧任意一点K，都有，∴点M不存在．
综上所述，点M坐标为，．
（青羊区九上期末）如图直线与抛物线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交CD于点F.
（1）求一次函数和抛物线的解析式．
（2）若点P的横坐标为t，当t为何值时，四边形OCPF是平行四边形？请说明理由．
（3）在CD上方是否存在点P，使，若存在，求出相应的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（1）在图像上，代入，
，．令，，，
将代入，，，
（2）若四边形OCPF为平行四边形，则且，
设，，，
解得，，；
（3）如图，过P作于N，过C作于M，
在和中：
，设则
，，
，即，
，
若，则，即，
解得，.
（石室联中九上半期）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线为对称轴的抛物线与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，且，点在抛物线上，直线l是一次函数的图象．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；
（3）将抛物线作适当平移，求解与探究下列问题；
i）若将抛物线向下平移m个单位长度后，恰与第（2）问中的直线l有且只有一个公共点，求m的值；
ii）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，请在备用图中画出草图，并探究：在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得无论k取何值，总被y轴平分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）抛物线的对称轴为，且 ，
则抛物线解析式为
代入，解得
（2）由（1）易得，
设直线l分别与OB、CD相交于E、F
直线l解析式，令，，，
令，，，
则，，，，
若l平分四边形OBDC，则，
,，
即，
（3）①平移后的抛物线解析式为
则
由题意，，
②抛物线解析式
由题意，平移后的抛物线解析式为
如图，过M做轴，轴，
由题意得，又
设、，
则，，，
，即，
M、N是抛物线与直线交点，，
，，
，，
则在轴正半轴上存在，使得不论取何值，总被轴平分.
如图1，已知直线与抛物线交于点．
（1）求直线的解析式和线段OA的长度．
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段NQ的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由．
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点是轴正半轴上的动点，且满足 ．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
（1）把点代入得，∴．．
（2）是一个定值，理由如下：
如答图1，过点Q作轴于点G，轴于点H．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时；
②当QH与QM不重合时，
∵，
不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．
（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作于点C，
过点A作轴于点R，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，∴点，
设点，过点B作于点K，则，
∴，即，解得，（舍去），
∴点，∴，，∴；
（求AB也可采用下面的方法）
设直线AF为把点，点代入得
，，∴，
∴，∴（舍去），，
∴，∴…
在与中
∵，∴，
∴，∵，∴．
设，则，
由得，∴
∴
∴顶点为
如答图3，当时，，此时E点有1个；
当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．
∴当时，E点只有1个
当时，E点有2个．
【教师备课提示】这道题让孩子们可以练习下，其中第（2）问可以用四点共圆．
第十三讲 距离的存在性问题（一）
1．距离的存在性问题
距离的存在性问题分为定点到动直线和动点到定直线的距离的存在性问题，一般解决方法是解三角形，有时也可以按照面积来进行求解．
（1）定点到动直线的距离为定值
方法：解三角形进行求解．
（2）动点到定直线的距离为定值
①如图，点到定直线的距离为定值，该点的轨迹是作该直线上下两条平行线．
②利用解三角形或者面积求解直线，并联立进行求解．
2．距离关系的存在性问题
距离关系的问题一般指的是两个或者多个距离存在相等或倍数之间的问题．
（1）动点到多条定直线的距离关系
①点到两条平行直线的距离相等问题，其实该点轨迹就是作一条平行线（如图）．
②点到两条平行直线的距离存在倍数关系的问题，其实该点的轨迹就是作内外两条平行线（如图）．
③点到两条相交直线的距离相等问题，其实就是作角平分线（如图）．
④点到两条相交直线的距离相等问题的拓展——点到三角形三边距离相等的点，其实就是作各个角的角平分线的交点，就是三角形的内切圆圆心与旁切圆圆心（如图）．
（2）多个定点到动直线的距离关系．
在直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，抛物线上的一点C的横坐标为1．
（1）求AC的长度．
（2）若顶点A在x轴上，此时抛物线上有一点D，使得直线BD交x轴于点F，且原点O到直线BD的距离为，求点D的坐标．
（1）根据题意，如图所示，过点C作轴交于点，∵抛物线上一点C的横坐标为1，∴，又顶点为A，∴，在中，根据勾股定理得：，得：；
（2）①当直线DB经过第一、二、四象限时，设直线DB交x轴正半轴于点F，过点O作于点M，∵点O到直线DB的距离为，∴，
又∵点在x轴上，∴，，
∴，∴，在中，根据勾股定理得：，
∵，，∴，，
∴，又，∴，
∴，即，∴，∴，
∴直线BF解析式为，
∴，解得：或，∴点D的坐标为．
②当直线BD经过第一、二、三象限时，点D的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【教师备课提示】这道题主要讲解定点到动直线的距离问题．
（2011成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知，，的面积，抛物线经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）s，，
设，则
，由，
得，解得
（舍去负值），
，，．
设抛物线解析式为，
将C点坐标代入，得，
抛物线解析式为，
即；
（2）设E点坐标为，抛物线对称轴为，
由，得
或，
解得或，
，
或，
边长或；
（3）存在．
由（1）可知，
为等腰直角三角形，直线BC解析式为，
依题意，直线或直线与BC的距离为，
联立，，
解得或，
M点的坐标为与．
【教师备课提示】这道题主要讲解动点到定直线的距离问题．
如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标．
（2）设抛物线与y轴交于点C，求的面积．
（3）在图中的抛物线上是否还存在点P（不与C重合），使得？如果不存在，说明理由；如存在，请求出P点的坐标．
（1）根据题意，可得，，解得，
把，代入函数解析式，得，
令，得，解得或，
A点坐标是，B点坐标是；
（2）令，得，则C，
，，，
，，，
，
是直角三角形，
，
（3）存在，过点C作BM的平行线，
∴CP的解析式为，
∴，解得：或，
∴点P的坐标为．
【教师备课提示】这道题主要考查面积问题转化为距离问题．
如图，二次函数的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．
（1）当时，求的值；
（2）设和的面积分别为、，且满足，求点D到直线BC的距离．
（1）当时，．
∴．∴．令，即，
解得，．∴．∴．∴．
（2）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m，设过点，的直线为，则，解得．
∴直线BC为．当时，．∴．
∴，．
∵，，，
∴．
又∵顶点D在第一象限，
∴，解得．
当时，，，．
∴，
．
设点D到BC的距离为d，
∵，
∴，解得．
答：点D到直线BC的距离为．
【教师备课提示】这道题主要考查面积问题转化为距离问题，含参的计算．
抛物线与轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．
（1）若点P到对称轴和轴的距离相等，求P点坐标；
（2）若点P到对称轴和轴的距离相等，求P点坐标；
（3）过点A作BC的平行线AQ且交抛物线于点Q，抛物线上是否存在点P使得P到BC的距离比上P到AQ的距离为1:2．
（1），则抛物线的对称轴为，
由题意到对称轴和轴的距离相等即该直线为平行于对称轴，
则该直线为，与抛物线联立得到．
（2）方法一：（几何法）对称轴与x轴的交点为，
由题意得到到交叉直线距离相等的点在这两条直线的角平分线上，
故可得该两条直线分别为与，联立方程：
解得 或
解得 或
故得到，，，．
方法二：（代数法）设点P为，到x轴的距离为，到对称轴距离为，由题意得到，
当点P在第一象限：，得（另一解舍）；
当点P在第二象限：，得（另一解舍）；
当点P在第三象限：，得（另一解舍）；
当点P在第四象限：，得（另一解舍）．
故得到，，，．
（3）由题意可知，，又，故AQ所在直线为，与y轴交点为，则，
则满足题目条件的点所在直线定过轴上到点距离是到点距离的一半，即过点与点，斜率与所在直线相同，所以满足条件的两个直线解析式为与，
∴，解得与，∴，无解．
故，．
【教师备课提示】这道题主要考查动点到两条定直线的距离关系问题．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，轴于点H，MA交y轴于点N，．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若时，求点P的坐标．
（1）M为抛物线的顶点，，，，
，且抛物线与x轴有交点，，，，，，，，，
抛物线的函数表达式为：；
（2）如图1，，，，，，，，，
，，，，
如图2，同理可得，．
【教师备课提示】这道题主要考查两个定点到动直线的距离关系问题．
如图，已知抛物线经过，两点，直线交x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）求该抛物线的解析式；．
（2）若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是，，，问是否存在直线l，使？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
（1）抛物线 经过，两点，
解得： ；?
（2）存在．
如图2所示，连接BD，过点C作于点H．
由题意得，，，
，，，
为等腰直角三角形．
，
，，
①，过点且平行于BD的直线满足条件．
作于点E，于点F，设CH交直线于点G．
即：，
则，，即，
，，
，即；
②如图2，在外作直线，延长CH交于点，使，
；
③如图3，过H，点Q作直线，作 于点E，于点F，于点G．
由①可知，，则，即：，
，，
作轴于点I，，，
，
的面积为：
；
④如图3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线，与③情况相同，易证：，．
综上所述，存在直线l，使，的值为：，，．
【教师备课提示】这道题主要考查三个点到动直线的距离关系问题．
（2014武侯一诊）如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）求A，C的坐标；
（2）线段AC上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？
（1）A点坐标为抛物线与y轴交点，故当时，得到，
C点坐标为抛物线与x轴交点，即解一元二次方程，
因式分解得，则．
（2）易得，
设直线AC对应的函数关系式为，
则：，解得
①当时，，，；
②过E点作轴于G点，当时，由，
把，代入到，求出
可得；
③当时，如图，过点E作，
则，
又，，则，
，
；
综上所述，符合条件的E点共有三个：、、
（3）由题意，面积为S相应点P有且只有两个的存在情况分为两种：
情况1，AC上方存在一个，下方存在一个．
情况2，AC上方存在两个，下方不存在．
情况1：如图所示，作AC平行线且与抛物线相切时上面只
存在一个三角形，AC所在直线解析式为，则设与抛物线相切直线的解析式为，该直线与抛物线有且只有一个交点，联立方程有：，则，即该直线与y轴交于，又因为，所以与AC平行且位于AC下方的一条线一定过原点，即的面积为的面积，且满足条件交点在x轴上方，此时解得．
情况2：因为情况一可得情况二不存在．
如图，在平面直角坐标系xOy中，轴于点B，，．将绕着原点O逆时针旋转，得到；再将绕着线段的中点旋转，得到，抛物线经过点B、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵轴，，，
∴，
∴，，
∵抛物线经过点B、、，
∴，
解这个方程组，得，，．
因为，抛物线的解析式是．
（2）假设在第三象限的抛物线上存在点，使点Q到线段的距离为．
过点Q作于点D．
由（2）可知，这时的面积可以表示为：
，
在中，．
∵，
∴，
解得或．
当时，；
当时，；
因此，在第三象限内，抛物上存在点Q，使点Q到线段的距离为，这样的点Q的坐标是或．
如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰中，O为原点，B在x轴正半轴上，且，抛物线对称轴过点B，抛物线经过O、A．
（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；
（2）是否存在下列情况，M为抛物线在 轴下方的一个动点，N为x轴上的一个动点，连接直线MN，若O、A、B到直线MN的距离之比为2:1:1，存在的话，求出M坐标；不存在，则说明理由．
（1） ；
（2）①∵
又∵，易得
∴
②，易得
∴
第十四讲 距离的存在性问题（二）
1．动点到定点和定直线的距离关系的存在性问题
动点M到定点F的距离与到定直线l的距离相等，此时M的轨迹为抛物线．其中，这个定点F叫做抛物线的焦点，这条定直线l叫做抛物线的准线．
2．距离和差最值问题
模型I：最小问题
模型II：最大问题
已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B的坐标；
（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；
（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）由得，
，解得，
点A的坐标，点B的坐标．
（2）由，令，得，
又，得．
，，，
，，直线CD的解析式为．
（3）存在．由（2）得，，
点B的坐标，N是线段OB的中点， ，，
作于Q，设存在满足条件的点,
则，，．
由题意得：，，
即，整理得，
，，
点M的坐标为，．
【教师备课提示】这道题主要讲解动点到定点和定直线的距离关系．
已知抛物线顶点为，且过原点O．
（1）求a、b、c的值；
（2）如图，过抛物线上一点向直线作垂线，垂足为M，连接FM，
在直线上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点，使恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由．
（1）抛物线，顶点为，且过原点O，
可得，，，，，.
（2）由（1）知抛物线的解析式为，
故设P点的坐标为，则M点的坐标，
是以PM为底边的等腰三角形
，即，或
1．当时，P点的坐标为，M点的坐标为
II．当时，P点的坐标为，M点的坐标为，经过计算可知，为正三角形，
点坐标为：或．
（3）当时，即N与F重合时恒成立.
证明：过P作PH与直线的垂线，垂足为H，
则，
，
P是抛物线上的点，；
，
，对任意y恒成立．
，且，，故时，恒成立．
如图，已知抛物线与坐标轴分别交于、、三点，过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点．分别过点C、作平行于x轴的直线、．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
（2）求证：以ON为直径的圆与直线相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．
（1）设抛物线对应二次函数的解析式为，由函数经过，，三点可得：，，，解得，，，．
（2）设，，，，；
，，又因为为正，∴，设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F，则，∴，即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半，∴以ON为直径的圆与l1相切．
（3）过点M作交NP于点H，则
，
又，，，；
，即，
，，
，，
延长NP交l2于点Q，过点M作交l2于点S，
则，
又，
所以，
即M、N两点到l2距离之和等于线段MN的长．
如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若OA、OB的长分别是方程的两根，且．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点A作交抛物线于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C、D到直线l的距离分别记为、，试求的的最大值．
（1）解方程得或，而，则点A的坐标为，点的坐标为．过点D作轴于，则为AB的中点．
∴的坐标为．又因为，∴．∴D的坐标为．令抛物线对应的二次函数解析式为．
∵抛物线过点，则，得．
故抛物线对应的二次函数解析式为．（或写成）
（2）∵，．又∵，∴．
令点C的坐标为，则有．
∵点C在抛物线上，∴．
化简得．解得，（舍去）．
故点C的坐标为．
（3）由（2）知，而，
∴．
过A作，∵，
∴．
∵，∴，
．
即此时的最大值为．
如图，二次函数图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线对称．
（1）求A、B两点坐标,并证明点在直线上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求和的最小值．
(
备用图
)
（1）由题意,得，解得，，
∵B点在A点右侧，∴A点坐标为，B点坐标为，
∵直线，当时，，∴点A在直线l上；
（2）∵点H、B关于过A点的直线对称，
∴，过顶点H作交AB于C点，
则，，∴顶点，
代入得，∴二次函数解析式为，
（3）直线AH的解析式为，直线BK的解析式为，
由 解得 即，则，
∵点H、B关于直线AK对称，
∴的最小值是MB，，
过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则，，，
∴的最小值是BQ，即BQ的长是的最小值．
∵
∴
由勾股定理得．
∴的最小值为8．
在平面直角坐标系中，已知抛物线（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为，C的坐标为，直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q，取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
（1）；
（2）存在最大值．理由如下：
易知为定值，则当取最小值时，有最大值．如图，取点B关于AC的对称点，易得点的坐标为，，取AB中点F，连接QF，FN，，易得，且，∴四边形PQFN为平行四边形．∴．
∴．∴当、Q、F三点共线时，最小，最小值为．∴的最大值为．
如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以AB为边作如图所示的正方形ABCD，顶点在坐标原点的抛物线恰好经过点D，P为抛物线上的一动点．
（1）直接写出点D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差；
（4）当点P位于何处时，的周长有最小值，并求出的周长的最小值．
（1）；
（2）∵抛物线的顶点在坐标原点，∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，∴，
∴抛物线的解析式为，
（3）过点P作轴于点H，设点，则，故，
，
∴；
（4）由（3）查知：，
∵，，∴，
∴的周长，
显然当B、P、H三点在一条直线上时，最小，的周长最小，
把代入得，此时的周长，
故当点P的坐标为时，的周长最小，共最小值为11．
如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为，点在抛物线上运动（点P异于点O）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：；
②是否存在点P，使得为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断的形状．
（1）∵抛物点的顶点为坐标原点，
∴A、D关于抛物线的对称轴对称；
∵E是AB的中点，
∴O是矩形ABCD对角线的交点，又
∴、；
由于抛物线的顶点为，可设其解析式为：，则有：
，
∴抛物线的解析式为：.
（2）①证明：由抛物线的解析式知：，而、，则：
，
，
∴，
②由①得：；
若为等边三角形，则，得：
，
即：，得：
（舍去），；
∴，；
∴存在符合条件的点，坐标为、.
③同①可证得：；
在等腰中，；
同理，在等腰中，；
∵、，
∴，，
∴，
∴，即是直角三角形．
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，，，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是，，．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与轴的另一个交点为，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当点在什么位置时有最大？并求出最大值．
（1）∵，，M是BC与y轴的交点，∴，
∵，，∴，则，解得，
∴；
（2）连接AC交y轴与G，∵M是BC的中点，∴，，∴，即，
∵，∴，即BG是AC的垂直平分线，要使，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，
∴点P为直线BG与抛物线的交点，
设直线BG的解析式为，则，解得，∴，
∴，解得，，
∴点或，
（3）∵，∴对称轴，
令，解得，，∴，
故E、D关于直线对称，∴，∴，
要使最大，则延长DC与相交于点Q，即点Q为直线DC与直线的交点，由于M为BC的中点，∴，设直线CD的解析式为，
则，解得，
∴，
当时，，
故当Q在的位置时，最大，
过点C作轴，垂足为F，则．
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